Актуарное приведенное значение

редактировать

Актуарное приведенное значение(APV) - это ожидаемое значение от приведенной стоимости условного потока денежного потока (т. Е. Серии платежей, которые могут или не могут быть выполнены). Актуарная приведенная стоимость обычно рассчитывается для выплаты вознаграждения или серии выплат, связанных с страхованием жизни и аннуитетами жизни. Вероятность выплаты в будущем основана на предположениях о будущей смертности человека, которая обычно оценивается с использованием таблицы смертности.

Содержание

1 Страхование жизни
2 Пожизненный аннуитет
3 Страхование жизни как функция от пожизненного аннуитета
4 См. Также
5 Ссылки

Страхование жизни

Вся жизнь Страхование выплачивает заранее определенное пособие либо в момент смерти застрахованного, либо вскоре после нее. Символ (x) используется для обозначения «жизни в возрасте x», где x - неслучайный параметр, который предполагается больше нуля. Актуарная приведенная стоимость одной единицы полного страхования жизни, выданной (x), обозначается символом $A x {\ displaystyle \, A_ {x}}$ $\, A_ {x}$ или $A ¯ x { \ displaystyle \, {\ overline {A}} _ {x}}$ $\, \ overline {A} _ {x}$ в актуарной записи. Пусть G>0 («возраст на момент смерти») будет случайной величиной, которая моделирует возраст, в котором человек, например (x), умрет. И пусть T (случайная переменная будущей жизни) будет временем, прошедшим между возрастом x и любым возрастом (x) на момент выплаты пособия (даже если (x), скорее всего, в это время мертв). Поскольку T является функцией G и x, мы будем писать T = T (G, x). Наконец, пусть Z будет случайной величиной приведенной стоимости всего пособия по страхованию жизни в размере 1, подлежащего выплате в момент T. Тогда:

Z = v T = (1 + i) - T = e - δ T {\ displaystyle \, Z = v ^ {T} = (1 + i) ^ {- T} = e ^ {- \ delta T}}

\, Z = v ^ {T} = (1 + i) ^ {{ -T}} = e ^ {{- \ delta T}}

где i - эффективная годовая процентная ставка, а δ - эквивалентная сила процента..

Чтобы определить актуарную приведенную стоимость выгоды, нам нужно рассчитать ожидаемое значение $E (Z) {\ displaystyle \, E (Z)}$ $\, E (Z)$ этого случайная величина Z. Предположим, что пособие в случае смерти выплачивается в конце года смерти. Тогда T (G, x): = потолок (G - x) - это количество «полных лет» (с округлением в большую сторону), прожитых на (x) после достижения возраста x, так что актуарная приведенная стоимость единицы Страховая единица определяется по формуле:

A x = E [Z] = E [v T] = ∑ t = 1 ∞ vt P r [T = t] = ∑ t = 0 ∞ vt + 1 P r [T (G, x) = t + 1] = ∑ t = 0 ∞ vt + 1 P r [t < G − x ≤ t + 1 ∣ G >x] = ∑ t = 0 ∞ vt + 1 (P r [G>x + t] P r [ G>x]) (п р [x + t < G ≤ x + t + 1 ] P r [ G >x + t]) = ∑ t = 0 ∞ vt + 1 tpx ⋅ qx + t {\ displaystyle {\ begin {align} A_ {x} & = E [Z] = E [v ^ {T}] \\ & = \ sum _ {t = 1} ^ {\ infty} v ^ {t} Pr [T = t] = \ sum _ {t = 0} ^ {\ infty} v ^ {t + 1} Pr [T (G, x) = t + 1] \\ & = \ sum _ {t = 0} ^ {\ infty} v ^ {t + 1} Pr [ t x] \\ & = \ sum _ {t = 0} ^ {\ infty} v ^ {t + 1} \ left ({\ frac {Pr [G>x + t]} {Pr [G>x]}} \ right) \ left ({\ frac {Pr [x + t x + t]}} \ right) \\ & = \ sum _ {t = 0} ^ {\ infty} v ^ {t + 1} {} _ {t} p_ {x} \ cdot q_ {x + t} \ end {align}}}

{\begin{aligned}A_{x}&=E[Z]=E[v^{T}]\\&=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}Pr[T=t]=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}Pr[T(G,x)=t+1]\\&=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}Pr[t<G-x\leq t+1\mid G>x] \\ & = \ sum _ {t = 0 } ^ {\ infty} v ^ {t + 1} \ left ({\ frac {Pr [G>x + t]} {Pr [G>x]}} \ right) \ left ({\ frac {Pr [ x + t <G\leq x+t+1]}{Pr[G>x + t]}} \ right) \\ & = \ sum _ {t = 0} ^ {\ infty} v ^ {t + 1} {} _ {t} p_ {x} \ cdot q_ {x + t} \ end {выровнено}}

где $tpx { \ displaystyle {} _ {t} p_ {x}}$ ${} _ {t} p_ {x}$ - вероятность того, что (x) доживет до возраста x + t, а $qx + t {\ displaystyle \, q_ {x + t }}$ $\, q _ {{x + t}}$ - вероятность того, что (x + t) умрет в течение одного года.

Если пособие выплачивается в момент смерти, то T (G, x): = G - x и актуарная приведенная стоимость одной единицы страхования жизни рассчитывается как

A ¯ x Знак равно E [v T] знак равно ∫ 0 ∞ vtf T (t) dt = ∫ 0 ∞ vttpx μ x + tdt, {\ displaystyle \, {\ overline {A}} _ {x} \! = E [v ^ { T}] = \ int _ {0} ^ {\ infty} v ^ {t} f_ {T} (t) \, dt = \ int _ {0} ^ {\ infty} v ^ {t} \, _ {t} p_ {x} \ mu _ {x + t} \, dt,}

\, \ overline {A} _ {x} \! = E [v ^ {T}] = \ int _ {0} ^ {\ infty} v ^ {t} f_ {T} (t) \, dt = \ int _ {0} ^ {\ infty} v ^ {t} \, _ {t} p_ {x} \ mu _ {{x + t}} \, dt ,

где $f T {\ displaystyle f_ {T}}$ $f_ {T}$ - плотность вероятности функция of T, $tpx {\ displaystyle \, _ {t} p_ {x}}$ ${\ displaystyle \, _ {t} p_ {x}}$ - это вероятность жизненного возраста $x {\ displaystyle x}$ $x$ дожить до возраста $x + t {\ displaystyle x + t}$ $x + t$ и $μ x + t {\ displaystyle \ mu _ {x + t}}$ $\ mu _ {{x + t}}$ обозначает силу смертности в момент $x + t {\ displaystyle x + t}$ $x + t$ для жизни в возрасте $x {\ displaystyle x}$ $x$ .

актуарный Текущая стоимость одной единицы страхового полиса сроком на n лет, подлежащего выплате на момент смерти, может быть найдена аналогичным образом путем интегрирования от 0 до n.

Актуарная приведенная стоимость n-летнего чистого пожертвования страхового возмещения в размере 1, подлежащего выплате через n лет, если он жив, может быть найден как

n E x = P r [G>x + n] vn = npxvn {\ displaystyle \, _ {n} E_ {x} = Pr [G>x + n] v ^ {n} = \, _ {n} p_ {x} v ^ {n}}

\,_{n}E_{x}=Pr[G>x + n] v ^ {n} = \, _ {n} p_ {x} v ^ {n}

На практике доступную информацию о случайной переменной G (и, в свою очередь, T) можно получить из таблиц продолжительности жизни, которые дают цифры по годам. Например, трехлетнее страхование жизни на сумму 100 000 долларов, выплачиваемое в конце года смерти, имеет актуарную приведенную стоимость

100 000 A x 1: 3 ¯ | = 100 000 ∑ t = 1 3 vt. П р [T (G, x) = t] {\ displaystyle 100 000 \, A _ {{\ stackrel {1} ​​{x}}: {{\ overline {3}} |}} = 100 000 \ sum _ {t = 1} ^ {3} v ^ {t} Pr [T (G, x) = t]}

100 000 \, A _ {{{\ stackrel 1x}: {\ overline 3 |}}} = 100 000 \ sum _ {{t = 1 }} ^ {{3}} v ^ {{t}} Pr [T (G, x) = t]

Например, предположим, что существует 90% -ная вероятность того, что человек выживет в любой данный год (т. Е. T имеет геометрия tric distribution с параметром p = 0.9 и набором {1, 2, 3,...} для его поддержки). Тогда

P r [T (G, x) = 1] = 0,1, P r [T (G, x) = 2] = 0,9 (0,1) = 0,09, P r [T (G, x) = 3 ] = 0,9 2 (0,1) = 0,081, {\ displaystyle Pr [T (G, x) = 1] = 0,1, \ quad Pr [T (G, x) = 2] = 0,9 (0,1) = 0,09, \ quad Pr [T (G, x) = 3] = 0,9 ^ {2} (0,1) = 0,081,}

Pr [T (G, x) = 1] = 0,1, \ quad Pr [T (G, x) = 2] = 0,9 (0,1) = 0,09, \ quad Pr [T (G, x) = 3] = 0,9 ^ {2} (0,1 ) = 0,081,

и при процентной ставке 6% актуарная приведенная стоимость одной единицы трехлетнего страхования составляет

A x 1: 3 ¯ | = 0,1 (1,06) - 1 + 0,09 (1,06) - 2 + 0,081 (1,06) - 3 = 0,24244846, {\ displaystyle \, A _ {{\ stackrel {1} ​​{x}}: {{\ overline {3}} |}} = 0,1 (1,06) ^ {- 1} +0,09 (1,06) ^ {- 2} +0,081 (1,06) ^ {- 3} = 0,24244846,}

\, A _ {{{ \ stackrel 1x}: {\ overline 3 |}}} = 0,1 (1,06) ^ {{- 1}} + 0,09 (1,06) ^ {{- 2}} + 0,081 (1,06) ^ {{- 3}} = 0,24244846,

, поэтому актуарная приведенная стоимость страховки в размере 100 000 долларов США составляет 24 244,85 долларов США.

На практике пособие может выплачиваться в конце более короткого периода, чем год, что требует корректировки формулы.

Пожизненный аннуитет

Актуарную приведенную стоимость пожизненного аннуитета в размере 1 в год, выплачиваемого непрерывно, можно найти двумя способами:

Метод совокупных платежей(принимая ожидаемое значение общей приведенной стоимости ):

Это аналогично методу для полиса страхования жизни. На этот раз случайная величина Y представляет собой случайную переменную общей приведенной стоимости годового дохода в размере 1, выданного лицам в возрасте x, выплачиваемых непрерывно, пока человек жив, и выражается как:

Y = a ¯ Т (х) | ¯ знак равно 1 - (1 + я) - T δ знак равно 1 - v T (x) δ, {\ displaystyle Y = {\ overline {a}} _ {\ overline {T (x) |}} = {\ frac {1- (1 + i) ^ {- T}} {\ delta}} = {\ frac {1-v ^ {T} (x)} {\ delta}},}

Y = \ overline {a} _ {{\ overline { T (x) |}}} = {\ frac {1- (1 + i) ^ {{- T}}} {\ delta}} = {\ frac {1-v ^ {T} (x)} { \ delta}},

где T = T ( x) - случайная величина будущей жизни для человека в возрасте x. Ожидаемое значение Y:

a ¯ x = ∫ 0 ∞ a ¯ t | ¯ f T (t) d t = ∫ 0 ∞ a ¯ t | ¯ t p x μ x + t d t. {\ displaystyle \, {\ overline {a}} _ {x} = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ overline {a}} _ {\ overline {t |}} f_ {T} (т ) \, dt = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ overline {a}} _ {\ overline {t |}} \, _ {t} p_ {x} \ mu _ {x + t} \, dt.}

\, \ overline {a} _ {x} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ overline {a} _ {{\ overline {t |}}} f_ {T} (t) \, dt = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ overline {a} _ {{\ overline {t |}}} \, _ {t} p_ {x} \ mu _ {{x + t}} \, dt.

Текущий способ оплаты(берется общая приведенная стоимость функции времени, представляющей ожидаемые значения платежей):

a ¯ x = ∫ 0 ∞ vt [1 - FT (t )] dt знак равно ∫ 0 ∞ vttpxdt {\ displaystyle \, {\ overline {a}} _ {x} = \ int _ {0} ^ {\ infty} v ^ {t} [1-F_ {T} (t )] \, dt = \ int _ {0} ^ {\ infty} v ^ {t} \, _ {t} p_ {x} \, dt}

{\ displaystyle \, {\ overline {a}} _ {x} = \ int _ {0} ^ {\ inf ty} v ^ {t} [1-F_ {T} (t)] \, dt = \ int _ {0} ^ {\ infty} v ^ {t} \, _ {t} p_ {x} \, dt}

где F (t) - совокупное функция распределения случайной величины T.

Эквивалентность следует также из интегрирования по частям.

На практике пожизненная рента не выплачивается постоянно. Если платежи производятся в конце каждого периода, актуарная приведенная стоимость определяется как

a x = ∑ k = 1 ∞ v t [1 - F T (t)] = ∑ t = 1 ∞ v t t p x. {\ displaystyle a_ {x} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} v ^ {t} [1-F_ {T} (t)] = \ sum _ {t = 1} ^ {\ infty } v ^ {t} \, _ {t} p_ {x}.}

a_ {x} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {\ infty} v ^ {t} [1-F_ {T} (t)] = \ sum _ {{t = 1}} ^ {\ infty} v ^ {t} \, _ {t} p_ {x}.

Удерживая общий платеж за год равным 1, чем дольше период, тем меньше приведенная стоимость, это связано с двумя эффектами:

Выплаты производятся в среднем на полпериода позже, чем в непрерывном случае.
Не существует пропорциональной выплаты за время в период смерти, то есть «потеря» оплаты в среднем за полпериода.

И наоборот, для контрактов с одинаковой единовременной суммой и одинаковой внутренней нормой прибыли, чем больше период между платежами, тем больше общая сумма платежа в год.

Страхование жизни как функция от пожизненного аннуитета

APV пожизненного страхования может быть получено из APV пожизненного аннуитета следующим образом:

A x = 1 - iva ¨ x {\ displaystyle \, A_ {x} = 1-iv {\ ddot {a}} _ {x}}

\, A_ {x} = 1-iv {\ ddot {a}} _ {x}

Это также обычно записывается как:

A x = 1 - da ¨ Икс {\ Displaystyle \, A_ {x} = 1-d {\ ddot {a}} _ {x}}

\, A_ {x} = 1-d {\ ddot {a}} _ {x}

В непрерывном случае

A ¯ x = 1 - δ a ¯ x. {\ displaystyle \, {\ overline {A}} _ {x} = 1- \ delta {\ overline {a}} _ {x}.}

\, \ overline {A} _ {x} = 1- \ delta \ overline {a} _ {x}.

В случае, если аннуитет и страхование жизни не являются всей жизнью , следует заменить гарантию на n-летнюю гарантию (которую можно выразить как сумму n-летней гарантии и n-летней чистой обеспеченности), а аннуитет - на n-летнюю аннуитетную выплату.

См. Также

Ссылки

Актуарная математика (второе издание) , 1997, Бауэрс, Нидерланды, Гербер, HU, Хикман, JC, Джонс, DA и Несбитт, CJ, Глава 4-5
Модели для количественной оценки риска (четвертое издание), 2011, Робин Дж. Каннингем, Томас Н. Херцог, Ричард Л. Лондон, Глава 7-8