Ноль в степени нуля

Математическое выражение со спорным статусом

Ноль в степени нуля, обозначается 0, является математическим выражением без согласованного значения . Наиболее распространенные варианты: 1 или оставление выражения неопределенным, с существующими обоснованиями для каждого, в зависимости от контекста. В алгебре и комбинаторике общепринятым значением является 0 = 1, тогда как в математическом анализе выражение иногда остается неопределенным. Языки компьютерного программирования и программное обеспечение также имеют различные способы обработки этого выражения.

• 1 Дискретные показатели
• 2 Полиномы и степенные ряды
• 3 Непрерывные показатели
• 4 Комплексные показатели
• 5 История различных точек зрения
• 6 Обработка на компьютерах
  • 6.1 Стандарт IEEE с плавающей запятой
  • 6.2 Языки программирования
  • 6.3 Математическое и научное программное обеспечение
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Существует много широко используемых формул, содержащих термины с участием натуральных чисел показателей, требующих, чтобы 0 оценивался как 1. Например, если рассматривать b как пустое произведение, присваивает ему значение 1, даже если b = 0. В качестве альтернативы, комбинаторная интерпретация числа b - это количество пустых кортежей элементов из набора с b элементами; имеется ровно один пустой кортеж, даже если b = 0. Эквивалентно, теоретико-множественная интерпретация числа 0 - это количество функций из пустого набора в пустой набор; есть ровно одна такая функция, пустая функция.

Аналогичным образом, при работе с многочленами удобно определить 0 как имеющий значение 1. Полином - это выражение вида a 0 x + ⋅⋅⋅ + a n x, где x является неопределенным, а коэффициенты a n являются действительными числами (или, в более общем смысле, элементами некоторого кольца ). Множество всех действительных многочленов от x обозначается R [x]. Многочлены добавляются почленно и умножаются, применяя обычные правила для показателей в неопределенном x (см. произведение Коши ). С помощью этих алгебраических правил манипуляции полиномы образуют кольцо полиномов . Многочлен x является единичным элементом кольца многочленов, что означает, что это (уникальный) элемент такой, что произведение x на любой многочлен p (x) равно p (x). Многочлены можно вычислить, сделав неопределенный x действительным числом. Точнее, для любого заданного действительного числа x 0 существует единственный унитальный кольцевой гомоморфизм evx0: R[x] → R такой, что ev x0(x) = х 0. Это называется гомоморфизмом оценок. Поскольку это унитальный гомоморфизм, мы имеем ev x0(x) = 1. То есть x = 1 для всех специализаций x на действительное число (включая ноль).

Эта перспектива важна для многих полиномиальных тождеств, появляющихся в комбинаторике. Например, биномиальная теорема (1 + x) = ∑. k = 0 (. k) x недействительна для x = 0, если не 0 = 1. Аналогично, кольца степенной ряд требует, чтобы x = 1 было истинным для всех специализаций x. Таким образом, тождества типа 1/1 − x = ∑. n = 0 x и e = ∑. n = 0 x / n! верны только как функциональные идентичности (в том числе при x = 0), если 0 = 1.

В дифференциальном исчислении правило степени d / dxx = nx не является действительно для n = 1 при x = 0, если не 0 = 1.

График z = x. Красные кривые (с константой z) дают разные пределы, когда (x, y) приближается к (0, 0). Все зеленые кривые (с конечным постоянным наклоном, y = ax) дают предел 1.

Пределы, связанные с алгебраическими операциями, часто можно оценить, заменив подвыражения их пределами; если результирующее выражение не определяет исходный предел, выражение известно как неопределенная форма. Фактически, когда f (t) и g (t) являются действительными функциями, обе стремящиеся к 0 (когда t приближается к действительному числу или ± ∞), при f (t)>0 функция f (t) не обязательно приближается 1; в зависимости от f и g предел f (t) может быть любым неотрицательным действительным числом или + ∞, либо он может расходиться. Например, функции, представленные ниже, имеют вид f (t) с f (t), g (t) → 0 при t → 0 (a односторонний предел ), но пределы разные:

$lim\; t\; \to \; 0\; +\; tt\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; to\; 0\; ^\; \{+\}\}\; \{t\}\; ^\; \{t\}\; =\; 1,\}$

$lim\; t\; \to \; 0\; +\; (e\; -\; 1\; T\; 2)\; T\; знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; to\; 0\; ^\; \{+\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{t\}\; =\; 0,\}$

$lim\; t\; \to \; 0\; +\; (e\; -\; 1\; t\; 2)\; -\; t\; =\; +\; \infty ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; to\; 0\; ^\; \{+\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; t\}\; =\; +\; \backslash \; infty,\}$

$lim\; t\; \to \; 0\; +\; (e\; -\; 1\; t)\; at\; =\; e\; -\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; to\; 0\; ^\; \{+\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{at\}\; =\; e\; ^\; \{-\; a\}.\}$

Таким образом, функция двух переменных x, хотя и непрерывна на множестве {(x, y): x>0}, не может быть расширена до непрерывной функции на { (x, y): x>0} ∪ {(0, 0)}, независимо от способа определения 0. Однако при определенных условиях, например, когда f и g оба являются аналитическими функциями в нуле и f положительно на открытом интервале (0, b) для некоторого положительного b, предел, приближающийся справа, всегда равен 1.

В комплексе области, функция z может быть определена для ненулевого z, выбирая ветвь журнала z и определяя z как e. Это не определяет 0, так как нет ветви log z, определенной в z = 0, не говоря уже о окрестности 0.

Споры по поводу определения of 0 происходит по крайней мере с начала 19 века. В то время большинство математиков соглашались, что 0 = 1, пока в 1821 году Коши не перечислил 0 вместе с выражениями типа 0/0 в таблице неопределенных форм. В 1830-е годы Гульельмо Либри Каруччи далла Соммаджа опубликовал неубедительный аргумент в пользу 0 = 1, и Мёбиус встал на его сторону, ошибочно утверждая, что lim t → 0 f ( t) = 1 всякий раз, когда lim t → 0 f (t) = lim t → 0 g (t) = 0. Комментатор, подписавший свое имя просто «S», предоставил контрпример (e), и это на некоторое время успокоило дебаты. Более подробные исторические подробности можно найти в Knuth (1992).

Более поздние авторы интерпретируют описанную выше ситуацию по-разному:

• Некоторые утверждают, что наилучшее значение для 0 зависит от контекста, и, следовательно, определить его раз и навсегда проблематично. Согласно Бенсону (1999), «выбор, определять ли 0, основан на удобстве, а не на правильности. Если мы воздержимся от определения 0, то некоторые утверждения станут излишне неудобными. [...] Консенсус заключается в использовании определения 0 = 1, хотя есть учебники, которые воздерживаются от определения 0. "
• Другие утверждают, что 0 следует определять как 1. Кнут (1992) решительно утверждает, что 0" должно быть 1 ", проводя различие между значением 0, которое должно равняться 1, как рекомендует Либри, и ограничивающей формой 0 (сокращение от предела f (x), где f (x), g (x) → 0), которая является обязательно неопределенная форма, как указано Коши: «И Коши, и Либри были правы, но Либри и его защитники не понимали, почему правда на их стороне». Вон приводит несколько других примеров теорем, для (простейших) утверждений которых условно требуется 0 = 1.

Стандарт IEEE с плавающей запятой

IEEE 754- 2008 Стандарт с плавающей запятой используется в разработке большинства библиотек с плавающей запятой. Он рекомендует ряд операций для вычисления мощности:

• powобрабатывает 0 как 1. Если степень является точным целым числом, результат такой же, как для pown, в противном случае результат будет следующим. для powr(за исключением некоторых исключительных случаев).
• pownобрабатывает 0 как 1. Степень должна быть точным целым числом. Значение определяется для отрицательных оснований; например, pown (-3,5)равно -243.
• powrобрабатывает 0 как NaN (Not-a-Number - undefined). Значение также равно NaNдля таких случаев, как powr (-3,2), где основание меньше нуля. Значение powr (x, y)определяется e.

Вариант powоснован на функции powиз C99, в основном для совместимости. Это полезно в основном для языков с одной степенной функцией. Варианты pownи powrбыли введены из-за противоречивого использования функций мощности и различных точек зрения (как указано выше).

Языки программирования

Стандарты C и C ++ не определяют результат 0 (может произойти ошибка домена), но с C99, если поддерживается нормативное приложение F, Результат должен быть 1, потому что есть важные приложения, для которых это значение более полезно, чем NaN (например, с дискретными показателями). Стандарт Java, метод .NET Framework System.Math.Powи Python также обрабатывают 0 как 1. Некоторые языки документируют, что их операция возведения в степень соответствует функции powиз математической библиотеки C ; это случай с Lua и Perl оператором **(где явно упоминается, что результат 0 ** 0зависит от платформы).

Математическое и научное программное обеспечение

APL, R, Stata, SageMath, Matlab, Magma, GAP, Singular, PARI / GP и GNU Octave оценивают xкак 1. Mathematica и Macsyma упростит xдо 1, даже если на xне наложены ограничения; однако, если 0вводится напрямую, это рассматривается как ошибка или неопределенность. SageMath не упрощает 0. Maple, Mathematica и PARI / GP дополнительно различают целочисленные значения и значения с плавающей запятой: если показатель степени является ноль целочисленного типа, они возвращают 1 типа основания; возведение в степень с показателем степени с плавающей запятой, равным нулю, рассматривается как неопределенное, неопределенное или ошибочное.

• Математический портал

• sci.math FAQ: Что такое 0?
• Чему равен 0 (нулевая степень)? на AskAMathematician.com