Войти
| Торальф Сколем | |
|---|---|
 | |
| Родился | (1887-05-23) 23 мая 1887 г.. Сандсвэр, Норвегия |
| Умер | 23 марта 1963 (1963-03-23) (в возрасте 75 лет). Осло, Норвегия |
| Гражданство | Норвежский |
| Alma mater | Университет Осло |
| Известен | теоремой Сколема – Нётер. теоремой Левенгейма – Сколема |
| Научная карьера | |
| Филдс | Математик |
| Учреждения | Университет Осло. Chr. Институт Михельсена |
| Научный руководитель | Аксель Туэ |
| Докторант | Ойстейн Оре |
Торльф Альберт Сколем (норвежский язык: ; 23 мая 1887 г. - 23 марта 1963 г.) был норвежским математиком, который занимался математической логикой и теорией множеств.
Хотя отец Сколема был первым школьный учитель, большая часть его большой семьи были фермерами. Сколем учился в средней школе в Кристиании (позже переименованной в Осло ), сдав вступительные экзамены в университет в 1905 году. Затем он поступил в Det Kongelige Frederiks Universitet, чтобы изучать математику, также изучая курсы физики, химии, зоологии и ботаники.
В 1909 году он начал работать помощником физика Кристиана Биркеланд, известный бомбардировкой намагниченных сфер электронами и получением эффектов, подобных сиянию ; таким образом, первые публикации Сколема были статьями по физике, написанными совместно с Биркеландом. В 1913 году Сколем с отличием сдал государственные экзамены и защитил диссертацию «Исследования по алгебре логики». Он также путешествовал с Биркеландом в Судан, чтобы наблюдать зодиакальный свет. Он провел зимний семестр 1915 года в Университете Геттингена, в то время ведущем исследовательском центре в области математической логики, метаматематики и абстрактной алгебры., области, в которых Сколем в конечном итоге преуспел. В 1916 году он был назначен научным сотрудником Det Kongelige Frederiks Universitet. В 1918 году он стал доцентом по математике и был избран в Норвежскую академию наук и литературы.
Сколем сначала формально не поступил на докторскую степень. кандидат, считая, что доктор философии в Норвегии не было необходимости. Позже он изменил свое мнение и в 1926 году защитил диссертацию под названием «Некоторые теоремы об интегральных решениях некоторых алгебраических уравнений и неравенств». Его теоретическим руководителем диссертации был Аксель Туэ, хотя Туэ умер в 1922 году.
В 1927 году он женился на Эдит Вильгельмин Хасволд.
Сколем продолжал преподавать в Det kongelige Frederiks Universitet (переименованный в Университет Осло в 1939 году) до 1930 года, когда он стал научным сотрудником в Chr. Институт Михельсена в Бергене. Эта руководящая должность позволяла Сколему проводить исследования без административных и преподавательских обязанностей. Однако эта должность также требовала, чтобы он проживал в Бергене, городе, в котором тогда не было университета и, следовательно, не было исследовательской библиотеки, так что он не мог быть в курсе математической литературы. В 1938 году он вернулся в Осло, чтобы занять должность профессора математики в университете. Там он читал аспирантуру по алгебре и теории чисел и лишь изредка по математической логике. Сколема к.э.н. студент Øystein Ore продолжил карьеру в США.
Сколем был президентом Норвежского математического общества и много лет редактировал Norsk Matematisk Tidsskrift (Норвежский математический журнал). Он также был редактором-основателем Mathematica Scandinavica.
После выхода на пенсию в 1957 году он совершил несколько поездок в Соединенные Штаты, где выступал и преподавал в университетах. Он оставался интеллектуально активным до своей внезапной и неожиданной смерти.
Подробнее об академической жизни Сколема см. Fenstad (1970).
Сколем опубликовал около 180 работ по диофантовым уравнениям, теории групп, теории решеток и, прежде всего,, теория множеств и математическая логика. Он в основном публиковался в норвежских журналах с ограниченным международным тиражом, так что его результаты время от времени открывались заново. Примером может служить теорема Сколема – Нётер, характеризующая автоморфизмы простых алгебр. Сколем опубликовал доказательство в 1927 году, но Эмми Нётер независимо открыла его заново несколько лет спустя.
Сколем был одним из первых, кто писал на решетках. В 1912 г. он первым описал свободную дистрибутивную решетку, порожденную n элементами. В 1919 году он показал, что каждая импликативная решетка (теперь также называемая a) дистрибутивна и, как частичное обратное, что каждая конечная дистрибутивная решетка импликативна. После того, как эти результаты были переоткрыты другими, Сколем опубликовал статью 1936 года на немецком языке «Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'», в которой был дан обзор его более ранних работ по теории решеток.
Сколем был пионером теоретической модели. В 1920 году он значительно упростил доказательство теоремы Леопольда Левенгейма, впервые доказанной в 1915 году, что привело к теореме Левенхайма – Сколема, которая утверждает, что если счетная теория первого порядка имеет бесконечная модель, то у нее есть счетная модель. В его доказательстве 1920 г. использовалась аксиома выбора , но позже (1922 и 1928 гг.) Он дал доказательства, используя лемму Кёнига вместо этой аксиомы. Примечательно, что Сколем, как и Левенхайм, писал о математической логике и теории множеств, используя обозначения своих товарищей-теоретиков-новаторов Чарльза Сандерса Пирса и Эрнста Шредера, включая ∏, ∑ в качестве переменных. -связывающие кванторы, в отличие от обозначений Пеано, Principia Mathematica и Principles of Mathematical Logic. Сколем (1934) был пионером в построении нестандартных моделей арифметики и теории множеств.
Сколем (1922) уточнил аксиомы Цермело для теории множеств, заменив расплывчатое понятие Цермело об "определенном" свойстве любым свойством, которое может быть закодировано в логике первого порядка. Полученная аксиома теперь является частью стандартных аксиом теории множеств. Сколем также указал, что следствием теоремы Левенгейма – Сколема является то, что сейчас известно как парадокс Сколема : если аксиомы Цермело непротиворечивы, то они должны быть выполнимы в счетной области, даже если они доказывают существование бесчисленных наборов.
Полнота логики первого порядка является следствием результатов, которые Сколем доказал в начале 1920-х годов и обсуждал в Сколеме (1928)., но он не обратил внимания на этот факт, возможно потому, что математики и логики не осознавали в полной мере полноту как фундаментальную метаматематическую проблему до тех пор, пока в первом издании книги Гильберта и Аккермана Принципов математической логики 1928 года она четко не сформулирована. В любом случае Курт Гёдель впервые доказал эту полноту в 1930 году.
Сколем не доверял завершенному бесконечному и был одним из основателей финитизма по математике. Сколем (1923) излагает свою примитивно-рекурсивную арифметику, очень ранний вклад в теорию вычислимых функций, как средство избежать так называемых парадоксов бесконечности. Здесь он разработал арифметику натуральных чисел, сначала определив объекты с помощью примитивной рекурсии, а затем разработал другую систему для доказательства свойств объектов, определенных первой системой. Эти две системы позволили ему определить простые числа и изложить значительный объем теории чисел. Если первую из этих систем можно рассматривать как язык программирования для определения объектов, а вторую - как логику программирования для доказательства свойств объектов, Сколема можно рассматривать как невольного пионера теоретической информатики.
В 1929 году Пресбургер доказал, что арифметика Пеано без умножения непротиворечива, полна и разрешима. В следующем году Сколем доказал, что то же самое можно сказать и об арифметике Пеано без сложения, системе, названной в его честь арифметика Сколема. Знаменитый результат Гёделя 1931 года состоит в том, что арифметика Пеано (как со сложением, так и с умножением) является неполной и, следовательно, апостериорной неразрешимой.
Хао Ван похвалил работу Сколема следующим образом:
«Сколем склонен рассматривать общие проблемы на конкретных примерах. Он часто, казалось, представлял доказательства в том же порядке, в котором он пришел, чтобы их обнаружить. Это приводит к новому неформальность, а также определенная неубедительность. Многие из его работ кажутся отчетами о прогрессе. Тем не менее его идеи часто беременны и потенциально могут найти широкое применение. Он был очень «свободным духом»: он не принадлежал ни к какой школе, он не основал свою собственную школу, он обычно не сильно использовал известные результаты... он был большим новатором, и большинство его статей могут быть прочитаны и поняты теми, у кого нет особых специальных знаний. Вполне вероятно, что если бы он был молод сегодня, логика... ему бы не понравилась ". (Сколем 1970: 17-18)
Подробнее о достижениях Сколема см. Hao Wang (1970).
Портал биографии 
Философский портал 