Войти
| Малый кубокубооктаэдр | |
|---|---|
 | |
| Тип | Однородный звездчатый многогранник |
| Элементы | F = 20, E = 48. V = 24 (χ = −4) |
| Лица по сторонам | 8 {3} +6 {4} +6 {8} |
| Символ Wythoff | 3/2 4 | 4. 3 4/3 | 4 |
| Группа симметрии | Oh, [4,3], * 432 |
| Ссылки на индексы | U 13, C 38, W 69 |
| Двойной многогранник | Малый гексакронный икоситетраэдр |
| Вершинная фигура |  . 4.8.3 / 2.8 |
| Акроним Бауэрса | Socco |
3D-модель небольшого кубокубооктаэдра В геометрии маленький кубокубооктаэдр представляет собой однородный звездный многогранник, индексируется как U 13. Он имеет 20 граней (8 треугольников, 6 квадратов и 6 восьмиугольников ), 48 ребер и 24 вершины. Его вершинная фигура представляет собой скрещенный четырехугольник.
Малый кубокубооктаэдр представляет собой огранку ромбокубооктаэдра. Его квадратные грани и восьмиугольные грани параллельны граням куба, а его треугольные грани параллельны граням октаэдра : отсюда и название кубокубооктаэдра. Маленький суффикс служит для отличия его от большого кубокубооктаэдра, у которого также есть грани в вышеупомянутых направлениях.
У него такое же расположение вершин с звездчатым усеченным шестигранником. Он также имеет общее расположение ребер с ромбокубооктаэдром (имеющим общие треугольные грани и 6 квадратных граней) и с малым ромбогексаэдром (имеющим общие восьмиугольные грани).
 . Ромбокубооктаэдр |  . Маленький кубокубооктаэдр |  . Малый ромбогексаэдр |  . Звездчатый усеченный шестигранник |
The 3 4 | 4 мозаика - это мозаика на универсальной крышке маленького кубокубооктаэдра.. (Желтый и красный в этом мозаике поменяны местами по сравнению с многогранником.) Как показывает характеристика Эйлера, маленький кубокубооктаэдр имеет размер тороидальный многогранник рода 3 (топологически это поверхность рода 3), и поэтому может интерпретироваться как (полиэдральное) погружение полиэдральной поверхности рода 3 в дополнение к ее 24 вершины в 3-мерное пространство. (Окрестность любой вершины топологически является конусом на фигуре 8, что не может возникнуть при погружении. Обратите внимание, что ссылка Рихтера не учитывает этот факт.) Нижележащий многогранник (без учета самопересечений) определяет равномерную мозаику этой поверхности, и поэтому малый кубокубооктаэдр представляет собой однородный многогранник. На языке абстрактных многогранников малый кубокубооктаэдр является точной реализацией этого абстрактного тороидального многогранника, что означает, что это невырожденный многогранник и что они имеют одну и ту же группу симметрии. Фактически, каждый автоморфизм абстрактной поверхности рода 3 с этим замощением реализуется изометрией евклидова пространства.
Поверхности более высокого рода (род 2 или выше) допускают метрику отрицательной постоянной кривизны (по теореме униформизации ), а универсальное покрытие полученной римановой поверхности является гиперболической плоскостью. Соответствующая мозаика гиперболической плоскости имеет вершину фигуры 3.8.4.8 (треугольник, восьмиугольник, квадрат, восьмиугольник). Если поверхности задана соответствующая метрика кривизны = -1, карта покрытия является локальной изометрией и, таким образом, абстрактная фигура вершины такая же. Эта мозаика может быть обозначена символом Wythoff 3 4 | 4, и изображен справа.
Малый кубокубооктаэдр также можно интерпретировать как многогранное погружение (раскраску) квартики Клейна, которая является частным от треугольной мозаики порядка 7.Альтернативно и более тонко, разделив каждую квадратную грань на 2 треугольника и каждую восьмиугольную грань на 6 треугольников, малый кубокубооктаэдр можно интерпретировать как нерегулярную раскраску комбинаторно правильной (а не просто однородной) мозаики поверхности рода 3 на 56 равносторонних треугольников, пересекаются в 24 вершинах, каждая со степенью 7. Это регулярное замощение важно, поскольку оно является замощением квартики Клейна, поверхности рода 3 с наиболее симметричной метрикой (автоморфизмы этого замощения равны изометриям поверхности), а группа сохраняющих ориентацию автоморфизмов этой поверхности изоморфна проективной специальной линейной группе PSL (2,7), что эквивалентно GL (3,2) (группа порядка 168 всех сохраняющих ориентацию изометрии). Обратите внимание, что малый кубокубооктаэдр не является реализацией этого абстрактного многогранника, поскольку он имеет всего 24 симметрии, сохраняющие ориентацию (не каждый абстрактный автоморфизм реализуется евклидовой изометрией) - изометрии малого кубокубооктаэдра сохраняют не только треугольную мозаику, но и также раскраска и, следовательно, являются собственной подгруппой полной группы изометрий.
Соответствующее замощение гиперболической плоскости (универсальное покрытие) является треугольным замощением порядка 7. Группа автоморфизмов квартики Клейна может быть увеличена (с помощью симметрии, которая не реализуется симметрией многогранника, а именно «заменой двух концов ребер, которые делят квадраты пополам и октаэдры), чтобы получить группу Матье M24.
