Синусоидальные плоские волновые решения уравнения электромагнитной волны

редактировать

Синусоидальные плоские волновые решения являются частными решениями уравнения электромагнитной волны.

Общее решение электромагнитного волнового уравнения в однородной, линейной, не зависящей от времени среде может быть записано как линейная суперпозиция плоских волн разных частот и поляризации.

В этой статье рассматривается классический, но из-за общности уравнений Максвелла для электродинамики, рассмотрение может быть преобразовано в квантово-механическое только с новой интерпретацией классических величин (помимо квантово-механической обработки, необходимой для заряда и плотности тока).

Повторная интерпретация основана на теориях Макса Планка и интерпретациях Альберта Эйнштейна этих теорий и других экспериментов. Квантовое обобщение классической трактовки можно найти в статьях о поляризации фотонов и динамике фотонов в эксперименте с двумя щелями.

Содержание

1 Пояснение
2 Плоские волны
3 Вектор состояния поляризации
- 3.1 Вектор Джонса
- 3.2 Двойной вектор Джонса
- 3.3 Нормализация вектора Джонса
4 состояния поляризации
- 4.1 Линейная поляризация
- 4.2 Эллиптическая и круговая поляризация
5 См. Также
6 Ссылки

Объяснение

Экспериментально каждый световой сигнал можно разложить на спектр частот и длин волн, связанных с синусоидальными решениями волнового уравнения. Поляризационные фильтры можно использовать для разложения света на различные поляризационные компоненты. Компоненты поляризации могут быть линейными, круговыми или эллиптическими.

Плоскими волнами

Плоскими синусоидальными решениями для электромагнитная волна, распространяющаяся в направлении z, равна

E (r, t) = (E x 0 cos ⁡ (kz - ω t + α x) E y 0 cos ⁡ (kz - ω t + α y) 0) знак равно Е Икс 0 соз ⁡ (KZ - ω T + α Икс) Икс ^ + E Y 0 соз ⁡ (KZ - ω T + α Y) Y ^ {\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {г }, t) = {\ begin {pmatrix} E_ {x} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {x} \ right) \\ E_ {y} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {y} \ right) \\ 0 \ end {pmatrix}} = E_ {x} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {x } \ right) {\ hat {\ mathbf {x}}} \; + \; E_ {y} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {y} \ right) {\ hat {\ mathbf {y}}}}

{\ mathbf {E}} ({\ mathbf {r}}, t) = {\ begin {pmatrix} E_ {x} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {x} \ right) \\ E_ {y} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {y} \ right) \\ 0 \ end {pmatrix}} = E_ {x} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {x} \ right) { \ hat {{\ mathbf {x}}}} \; + \; E_ {y} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {y} \ right) {\ hat {{\ mathbf {y}}}}

для электрического поля и

c B (r, t) = z ^ × E (r, t) = (- E y 0 cos ⁡ (kz - ω t + α y) E x 0 cos ⁡ (kz - ω t + α x) 0) = - E y 0 cos ⁡ (kz - ω t + α y) x ^ + E x 0 cos ⁡ (kz - ω t + α Икс) Y ^ {\ Displaystyle с \, \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) = {\ hat {\ mathbf {z}} } \ times \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = {\ begin {pmatrix} -E_ {y} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {y} \ справа) \\ E_ {x} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {x} \ right) \\ 0 \ end {pmatrix}} = - E_ {y} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {y} \ right) {\ hat {\ mathbf {x}}} \; + \; E_ {x} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {x} \ right) {\ hat {\ mathbf {y}}}}

c \, {\ mathbf {B}} ({\ mathbf {r}}, t) = {\ hat {{\ mathbf {z}}}} \ times {\ mathbf {E}} ({\ mathbf {r }}, t) = {\ begin {pmatrix} -E_ {y} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {y} \ right) \\ E_ {x} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {x} \ right) \\ 0 \ end {pmatrix}} = - E_ {y} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {y} \ right) {\ hat {{\ mathbf {x}}}} \; + \; E_ {x} ^ {0} \ cos \ left (kz- \ omega t + \ alpha _ {x} \ справа) {\ hat {{\ mathbf {y}}}}

для магнитного поля, где k - волновое число,

ω = ck {\ displaystyle \ omega _ {} ^ {} = ck}

\ omega_ {} ^ {} = ck

$ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ - это угловая частота волны, а $c {\ displaystyle c}$ $c$ - скорость света. Шляпки на векторах указывают единичные векторы в направлениях x, y и z. r = (x, y, z) - вектор положения (в метрах).

Плоская волна параметризована амплитудами

Электромагнитное излучение можно представить как самораспространяющуюся поперечную колеблющуюся волну электрического и магнитного полей. На этой диаграмме показана плоская линейно поляризованная волна, распространяющаяся справа налево. Магнитное поле (обозначено M) находится в горизонтальной плоскости, а электрическое поле (обозначено E) - в вертикальной плоскости.

E x 0 = ∣ E ∣ cos ⁡ θ {\ displaystyle E_ {x} ^ {0 } = \ mid \ mathbf {E} \ mid \ cos \ theta}

E_ {x } ^ {0} = \ mid {\ mathbf {E}} \ mid \ cos \ theta

E y 0 = ∣ E ∣ sin ⁡ θ {\ displaystyle E_ {y} ^ {0} = \ mid \ mathbf {E} \ mid \ sin \ theta}

E_ {y} ^ {0} = \ mid {\ mathbf {E}} \ mid \ sin \ theta

и фазы

α x, α y {\ displaystyle \ alpha _ {x} ^ {}, \ alpha _ {y}}

\ alpha_x ^ {}, \ alpha_y

где

θ = def tan - 1 ⁡ (E Y 0 E Икс 0) {\ displaystyle \ theta \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ tan ^ {- 1} \ left ({E_ {y} ^ {0} \ над E_ {x} ^ {0}} \ right)}

\ theta \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ tan ^ {{- 1}} \ left ({E_ {y} ^ {0} \ over E_ {x} ^ {0}} \ right)

∣ E ∣ 2 = def (E x 0) 2 + (E y 0) 2 {\ displaystyle \ mid \ mathbf {E} \ mid ^ {2} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ left (E_ {x} ^ {0} \ right) ^ {2} + \ left (E_ { y} ^ {0} \ right) ^ {2}}

\ mid {\ mathbf {E}} \ mid ^ {2} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ left (E_ {x} ^ {0} \ right) ^ {2} + \ left (E_ {y} ^ {0} \ right) ^ {2}

Вектор состояния поляризации

Вектор Джонса

Вся информация о поляризации может быть сведена к одному вектору, который называется Вектор Джонса в плоскости xy. Этот вектор, хотя и возникает из чисто классического рассмотрения поляризации, может быть интерпретирован как вектор квантового состояния. Связь с квантовой механикой сделана в статье о поляризации фотона.

. Вектор возникает из решения плоских волн. Решение для электрического поля можно переписать в сложных обозначениях как

E (r, t) = | E | Re ⁡ {| ψ⟩ ехр ⁡ [я (kz - ω t)]} {\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = | \ mathbf {E} | \ OperatorName {Re} {\ bigl \ {} | \ psi \ rangle \ exp {\ bigl [} i (kz- \ omega t) {\ bigr]} {\ bigr \}}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = | \ mathbf {E} | \ operatorname {Re} {\ bigl \ {} | \ psi \ rangle \ exp {\ bigl [} i (kz- \ omega t) {\ bigr]} {\ bigr \}}}

где

| ψ⟩ знак равно def (ψ Икс ψ Y) знак равно (соз ⁡ θ ехр ⁡ (я α x) грех ⁡ θ exp ⁡ (я α Y)) {\ Displaystyle | \ psi \ rangle \ {\ stackrel {\ mathrm {def }} {=}} \ {\ begin {pmatrix} \ psi _ {x} \\\ psi _ {y} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ exp \ left (i \ alpha _ {x} \ right) \\\ sin \ theta \ exp \ left (i \ alpha _ {y} \ right) \ end {pmatrix}}}

| \ psi \ rangle \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ \ begin {pmatrix} \ psi_x \\ \ psi_y \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ exp \ left (i \ alpha_x \ right) \\ \ sin \ theta \ exp \ left (i \ alpha_y \ right) \ end {pmatrix}

- вектор Джонса в плоскости xy. Обозначение для этого вектора - краткое обозначение для Дирака, которое обычно используется в квантовом контексте. Квантовые обозначения используются здесь в ожидании интерпретации вектора Джонса как вектора квантового состояния.

Двойной вектор Джонса

Вектор Джонса имеет двойственный, заданный как

⟨ψ | знак равно def (ψ x ∗ ψ y ∗) = (соз ⁡ θ ехр ⁡ (- i α x) sin ⁡ θ exp ⁡ (- i α y)) {\ displaystyle \ langle \ psi | \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ begin {pmatrix} \ psi _ {x} ^ {*} \ psi _ {y} ^ {*} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ quad \ cos \ theta \ exp \ left (-i \ alpha _ {x} \ right) \ sin \ theta \ exp \ left (-i \ alpha _ {y} \ right) \ quad \ end {pmatrix}} }

\ langle \ psi | \ {\ stackrel {{\ mathrm { def}}} {=}} \ {\ begin {pmatrix} \ psi _ {x} ^ {*} \ psi _ {y} ^ {*} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ quad \ cos \ theta \ exp \ left (-i \ alpha _ {x} \ right) \ sin \ theta \ exp \ left (-i \ alpha _ {y} \ right) \ quad \ end {pmatrix}}

Нормализация вектора Джонса

Линейная поляризация.

Вектор Джонса представляет определенную волну с определенной фазой, амплитудой и состоянием поляризации. Когда вектор Джонса используется просто для обозначения состояния поляризации, то обычно он нормализован. Для этого требуется, чтобы внутреннее произведение вектора с самим собой было единицей:

⟨ψ | ψ⟩ знак равно (ψ x ∗ ψ y ∗) (ψ x ψ y) = 1 {\ displaystyle \ langle \ psi | \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {x} ^ {*} \ psi _ {y} ^ {*} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ psi _ {x} \\\ psi _ {y} \ end {pmatrix}} = 1}

\ langle \ psi | \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {x} ^ {*} \ psi _ {y} ^ {*} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ psi _ {x} \\\ psi _ {y} \ end {pmatrix}} = 1

Произвольный Джонс вектор можно просто масштабировать для достижения этого свойства. Все нормализованные векторы Джонса представляют собой волну одинаковой интенсивности (в определенной изотропной среде). Даже с учетом нормализованного вектора Джонса умножение на чистый фазовый коэффициент приведет к другому нормализованному вектору Джонса, представляющему то же состояние поляризации.

Состояния поляризации

Эллиптическая поляризация.

Линейная поляризация

Как правило, волна линейно поляризована, когда фазовые углы $α x, α y {\ displaystyle \ alpha _ {x} ^ {}, \ alpha _ {y}}$ $\ alpha_x ^ {}, \ alpha_y$ равны,

α x = α y = def α {\ displaystyle \ alpha _ {x} = \ alpha _ {y } \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ alpha}

\ alpha _ {x} = \ alpha _ {y} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def }}} {=}} \ \ alpha

Представляет волну, поляризованную под углом $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ относительно ось x. В этом случае вектор Джонса можно записать как

| ψ⟩ знак равно (соз ⁡ θ грех ⁡ θ) ехр ⁡ (я α) {\ Displaystyle | \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \\\ sin \ theta \ end {pmatrix}} \ exp \ left (i \ alpha \ right)}

| \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \\\ sin \ theta \ end {pmatrix}} \ exp \ left (i \ alpha \ right)

Эллиптическая и круговая поляризация

Общий случай, когда электрическое поле не ограничено одним направлением, а вращается в плоскости xy, называется эллиптической поляризацией.. Вектор состояния задается как

| ψ⟩ знак равно (ψ Икс ψ Y) знак равно (соз ⁡ θ ехр ⁡ (я α Икс) грех ⁡ θ ехр ⁡ (я α Y)) {\ Displaystyle | \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {x} \\\ psi _ {y} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ exp \ left (i \ alpha _ {x} \ right) \\\ sin \ theta \ ехр \ влево (я \ альфа _ {у} \ ​​вправо) \ конец {pmatrix}}}

| \ psi \ rang le = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {x} \\\ psi _ {y} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ exp \ left (i \ alpha _ {x } \ right) \\\ sin \ theta \ exp \ left (i \ alpha _ {y} \ right) \ end {pmatrix}}

= ехр ⁡ (я α) (соз ⁡ θ грех ⁡ θ ехр ⁡ (я Δ α)) {\ Displaystyle = \ exp \ left (i \ alpha \ right) {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \\\ sin \ theta \ exp \ left (i \ Delta \ alpha \ right) \ end {pmatrix}}}

= \ exp \ left (i \ alpha \ right) {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \\\ sin \ theta \ exp \ left (i \ Delta \ alpha \ right) \ end {pmatrix}}

В частном случае Δα = 0 это сводится к линейной поляризации.

Круговая поляризация соответствует частным случаям θ = ± π / 4 с Δα = π / 2. Таким образом, два состояния круговой поляризации задаются векторами Джонса:

| ψ⟩ знак равно (ψ Икс ψ Y) знак равно ехр ⁡ (я α) 2 2 (1 ± я) {\ Displaystyle | \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {x} \\\ psi _ { y} \ end {pmatrix}} = \ exp \ left (i \ alpha \ right) {{\ sqrt {2}} \ over 2} {\ begin {pmatrix} 1 \\\ pm i \ end {pmatrix}} }

| \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {x} \\\ psi _ {y} \ end {pmatrix}} = \ exp \ left (i \ alpha \ right) {{\ sqrt {2}} \ over 2} {\ begin {pmatrix} 1 \\\ pm i \ end {pmatrix}}

См. Также

Ссылки

Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. ISBN 0-471-30932-X.