Число Хегнера

В теории чисел, число Хегнера (как обозначается Конвей и Гай) представляет собой положительное целое число без квадратов $d\; \{\backslash \; displaystyle\; d\}$такое, что мнимое квадратичное поле $Q\; [-\; d]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; [\{\backslash \; sqrt\; \{-d\}\}]\}$имеет номер класса $1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\}$. Эквивалентно, его кольцо целых чисел имеет уникальную факторизацию.

Определение таких чисел является частным случаем проблемы числа классов, и они лежат в основе нескольких поразительных результатов в количестве теория.

Согласно теореме (Бейкер–) Старка – Хегнера существует ровно девять чисел Хегнера:

$1,\; 2,\; 3,\; 7,\; 11,\; 19,\; 43,\; 67,\; 163\; \{\backslash \; displaystyle\; 1,2,3,7,11,19,43,67,163\}$. (последовательность A003173 в OEIS )

Этот результат был предположен Гаусс и доказан с незначительными ошибками Куртом Хегнером в 1952 году. Алан Бейкер и Гарольд Старк независимо друг от друга доказали результат в 1966 году, и Старк далее указал, что пробел в доказательстве Хегнера был незначительным.

• 1 Многочлен Эйлера, порождающий простые числа
• 2 Почти целые числа и постоянная Рамануджана
  • 2.1 Подробности
• 3 Формулы Пи
• 4 Другие числа Хегнера
• 5 Числа класса 2
• 6 Последовательные простые числа
• 7 Примечания и ссылки
• 8 Внешние ссылки

Многочлен Эйлера , образующий простые числа

$n\; 2\; -\; n\; +\; 41,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{2\}\; -n\; +\; 41,\; \backslash ,\}$

, которое дает (различные) простые числа для n = 1,..., 40, связано с числом Хегнера 163 = 4 · 41 - 1.

формула Эйлера с $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \}$принятие значений 1,... 40 эквивалентно

$n\; 2\; +\; n\; +\; 41,\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{2\}\; +\; n\; +\; 41,\; \backslash ,\}$

с $п\; \{\backslash \; displayst\; yle\; n\}$принимая значения 0,... 39 и Рабиновиц доказал, что

$n\; 2\; +\; n\; +\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{2\}\; +\; n\; +\; p\; \backslash ,\}$

дает простые числа для $n\; =\; 0,\dots ,\; p\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 0,\; \backslash \; dots,\; p-2\}$тогда и только тогда, когда его дискриминант $1–4\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-4p\}$- отрицательное значение числа Хегнера.

(Обратите внимание, что $p\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p-1\}$дает $p\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{2\}\}$, поэтому $p\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p-2\}$является максимальным.) 1, 2 и 3 не имеют требуемой формы, поэтому числа Хегнера, которые работают, равны $7,\; 11,\; 19,\; 43,\; 67,\; 163\; \{\backslash \; displaystyle\; 7,11,19,43,67,163\}$, что дает простые производящие функции формы Эйлера для $2,\; 3,\; 5,\; 11,\; 17,\; 41\; \{\backslash \; displaystyle\; 2,3,5,11,17,41\}$; эти последние числа названы счастливыми числами Эйлера по Ф. Ле Лионне.

Константа Рамануджана - это трансцендентное число $e\; \pi \; 163\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\}\}\; \}$, которое является почти целым числом, в том смысле, что оно очень близко к целому числу :

$e\; \pi \; 163\; =\; 262\; 537\; 412\; 640\; 768\; 743.999\; 999\; 999\; 999\; 25\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\}\}\; =\; 262\; \backslash ,\; 537\; \backslash ,\; 412\; \backslash ,\; 640\; \backslash ,\; 768\; \backslash ,\; 743.999\; \backslash ,\; 999\; \backslash ,\; 999\; \backslash ,\; 999\; \backslash ,\; 25\; \backslash \; ldots\}$$\approx \; 640\; 320\; 3\; +\; 744.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; about\; 640\; \backslash ,\; 320\; ^\; \{3\}\; +744.\}$

Это число было обнаружено в 1859 году математиком Чарльзом Эрмитом. В статье 1975 года первоапрельский дурак в журнале Scientific American обозреватель «Mathematical Games» Мартин Гарднер выдвинул ложное заявление о том, что это число на самом деле является целым числом, и что гений индийской математики Шриниваса Рамануджан предсказал это - отсюда и его название.

Это совпадение объясняется комплексным умножением и q-разложением j-инварианта.

Деталь

Вкратце, $j\; ((1\; +\; -\; d)\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ((1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-d\}\})\; /\; 2)\}$- целое число для числа да Хегнера, и $е\; \pi \; d\; \approx \; -\; j\; ((1\; +\; -\; d)\; /\; 2)\; +\; 744\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{d\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; -j\; ((1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; d\}\})\; /\; 2)\; +744\}$через q-расширение.

Если $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$является квадратичным иррациональным, то j-инвариант является целым алгебраическим числом степени $|\; Cl\; (Q\; (\tau ))\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \{\backslash \; t\_dv\; \{Cl\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (\backslash \; tau))\; |\}$, номер класса из $Q\; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (\backslash \; tau)\}$и минимальный многочлен (монический интеграл), которому он удовлетворяет, называется «многочленом класса Гильберта». Таким образом, если мнимое квадратичное расширение $Q\; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{Q\}\; (\backslash \; tau)\}$имеет класс номер 1 (так что d - число Хегнера), j-инвариант будет целое число.

q-разложение числа j с его разложением ряда Фурье, записанным как ряд Лорана в терминах $q\; =\; exp\; \; (2\; \pi \; я\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; \backslash \; exp\; (2\; \backslash \; pi\; i\; \backslash \; tau)\}$, начинается как

$j\; (\tau )\; =\; 1\; q\; +\; 744\; +\; 196\; 884\; q\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; (\backslash \; tau)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{q\}\}\; +\; 744\; +\; 196\; \backslash ,\; 884q\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Коэффициенты $cn\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{n\}\}$асимптотически расти как $ln\; \; (cn)\; \sim \; 4\; \pi \; n\; +\; O\; (ln\; \; (n))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (c\_\; \{n\})\; \backslash \; sim\; 4\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; +\; O\; (\backslash \; ln\; (n))\}$, и коэффициенты младшего порядка растут медленнее, чем $200\; 000\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 200\; \backslash ,\; 000\; ^\; \{n\}\}$, поэтому для $q\; \ll \; 1/200\; 000\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; ll\; 1/200\; \backslash ,\; 000\}$j очень хорошо аппроксимируется своими первыми двумя членами. Установка $\tau \; =\; (1\; +\; -\; 163)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-163\}\})\; /\; 2\}$дает $q\; =\; -\; exp\; \; (-\; \pi \; 163)\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; -\; \backslash \; exp\; (-\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\})\}$или эквивалентным образом $1\; q\; =\; -\; exp\; \; (\pi \; 163)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{q\}\}\; =\; -\; \backslash \; exp\; (\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\})\}$. Теперь $j\; ((1\; +\; -\; 163)\; /\; 2)\; =\; (-\; 640\; 320)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; ((1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-163\}\})\; /\; 2)\; =\; (-\; 640\; \backslash ,\; 320)\; ^\; \{3\}\}$, поэтому

$(-\; 640\; 320)\; 3\; =\; -\; e\; \pi \; 163\; +\; 744\; +\; O\; (e\; -\; \pi \; 163).\; \{\backslash \; displaystyle\; (-640\; \backslash ,\; 320)\; ^\; \{3\}\; =\; -\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\}\}\; +\; 744\; +\; O\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\}\})\; \backslash \; right).\}$

Или,

$e\; \pi \; 163\; =\; 640\; 320\; 3\; +\; 744\; +\; O\; (e\; -\; \pi \; 163)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\}\}\; =\; 640\; \backslash ,\; 320\; ^\; \{3\}\; +\; 744\; +\; O\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

где линейный член ошибки равен,

$-\; 196\; 884\; /\; e\; \pi \; 163\; \approx \; -\; 196\; 884\; /\; (640\; 320\; 3\; +\; 744)\; \approx \; -\; 0,000\; 000\; 000\; 000\; 75\; \{\backslash \; displaystyle\; -196\; \backslash ,\; 884\; /\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; -196\; \backslash ,\; 884\; /\; (640\; \backslash ,\; 320\; ^\; \{3\}\; +744)\; \backslash \; приблизительно\; -0,000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 75\}$

, объясняя, почему $e\; \pi \; 163\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{163\}\}\}\}$примерно в пределах указанного выше целого числа.

Братья Чудновские обнаружили в 1987 году, что

$1\; \pi \; =\; 12640320\; 3/2\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; (6\; k)!\; (163\; \cdot \; 3\; 344\; 418\; к\; +\; 13\; 591\; 409)\; (3\; к)!\; (к!)\; 3\; (-\; 640\; 320)\; 3\; к\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{12\}\; \{640\; \backslash ,\; 320\; ^\; \{3/2\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(6k)!\; (163\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash ,\; 344\; \backslash ,\; 418k\; +\; 13\; \backslash ,\; 591\; \backslash ,\; 409)\}\; \{(3k)!\; (k!)\; ^\; \{3\; \}\; (-\; 640\; \backslash ,\; 320)\; ^\; \{3k\}\}\}\}$

, в котором используется тот факт, что $j\; (1\; +\; -\; 163\; 2)\; =\; -\; 640\; 320\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{\; 1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-163\}\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; 640\; \backslash ,\; 320\; ^\; \{3\}\}$. Аналогичные формулы см. В серии Рамануджана – Сато.

Для четырех наибольших чисел Хегнера получаются следующие приближения.

$e\; \pi \; 19\; \approx \; 96\; 3\; +\; 744\; -\; 0,22\; e\; \pi \; 43\; \approx \; 960\; 3\; +\; 744\; -\; 0,000\; 22\; e\; \pi \; 67\; \approx \; 5\; 280\; 3\; +\; 744\; -\; 0,000\; 0013\; e\; \pi \; 163\; \approx \; 640\; 320\; 3\; +\; 744\; -\; 0,000\; 000\; 000\; 000\; 75\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{19\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 96\; ^\; \{3\}\; +\; 744-0,22\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{43\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 960\; ^\; \{3\}\; +\; 744-0.000\; \backslash ,\; 22\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{67\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 5\; \backslash ,\; 280\; ^\; \{3\}\; +\; 744-0.000\; \backslash ,\; 0013\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 640\; \backslash ,\; 320\; ^\; \{3\}\; +\; 744-0.000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 75\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

В качестве альтернативы

$e\; \pi \; 19\; \approx \; 12\; 3\; (3\; 2\; -\; 1)\; 3\; +\; 744\; -\; 0,22\; e\; \pi \; 43\; \approx \; 12\; 3\; (9\; 2\; -\; 1)\; 3\; +\; 744\; -\; 0,000\; 22\; e\; \pi \; 67\; \approx \; 12\; 3\; (21\; 2\; -\; 1)\; 3\; +\; 744\; -\; 0,000\; 0013\; e\; \pi \; 163\; \approx \; 12\; 3\; (231\; 2\; -\; 1)\; 3\; +\; 744\; -\; 0,000\; 000\; 000\; 000\; 75\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{19\}\}\; \}\; \backslash \; приблизительно\; 12\; ^\; \{3\}\; (3\; ^\; \{2\}\; -1)\; ^\; \{3\}\; +\; 744-0,22\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{43\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 12\; ^\; \{3\}\; (\; 9\; ^\; \{2\}\; -1)\; ^\; \{3\}\; +\; 744-0.000\; \backslash ,\; 22\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{67\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 12\; ^\; \{3\}\; (21\; ^\; \{2\}\; -1)\; ^\; \{3\}\; +\; 744-0.000\; \backslash ,\; 0013\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 12\; ^\; \{3\}\; (231\; ^\; \{2\}\; -1)\; ^\; \{3\}\; +744\; -0.000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 75\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где причина квадратов - du е к некой серии Эйзенштейна. Для чисел Хегнера нельзя получить почти целое число; даже $d\; =\; 19\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; =\; 19\}$не заслуживает внимания. Целочисленные j-инварианты легко факторизуемы, что следует из $12\; 3\; (n\; 2\; -\; 1)\; 3\; =\; (2\; 2\; \cdot \; 3\; \cdot \; (n\; -\; 1)\; \cdot \; (n\; +\; 1))\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; 12\; ^\; \{3\}\; (n\; ^\; \{2\}\; -1)\; ^\; \{3\}\; =\; (2\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; (n-1)\; \backslash \; cdot\; (n\; +\; 1))\; ^\; \{3\}\}$и разложить на множители,

$j\; ((1\; +\; -\; 19)\; /\; 2)\; =\; 96\; 3\; =\; (2\; 5\; \cdot \; 3)\; 3\; j\; ((1\; +\; -\; 43)\; /\; 2)\; =\; 960\; 3\; =\; (2\; 6\; \cdot \; 3\; \cdot \; 5)\; 3\; j\; ((1\; +\; -\; 67)\; /\; 2)\; =\; 5280\; 3\; =\; (2\; 5\; \cdot \; 3\; \cdot \; 5\; \cdot \; 11)\; 3\; j\; ((1\; +\; -\; 163)\; /\; 2)\; =\; 640\; 320\; 3\; =\; (2\; 6\; \cdot \; 3\; \cdot \; 5\; \cdot \; 23\; 29)\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; j\; ((1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-19\}\})\; /\; 2)\; =\; 96\; ^\; \{3\}\; =\; (2\; ^\; \{5\}\; \backslash \; cdot\; 3)\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; j\; ((1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-43\}\})\; /\; 2)\; =\; 960\; ^\; \{3\}\; =\; (2\; ^\; \{6\}\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 5)\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; j\; ((1+\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{-67\}\})\; /\; 2)\; =\; 5\; \backslash ,\; 280\; ^\; \{3\}\; =\; (2\; ^\; \{5\}\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 5\; \backslash \; cdot\; 11)\; ^\; \{3\}\; \backslash \backslash \; j\; ((1+\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{-163\}\})\; /\; 2)\; =\; 640\; \backslash ,\; 320\; ^\; \{3\}\; =\; (2\; ^\; \{6\}\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 5\; \backslash \; cdot\; 23\; \backslash \; cdot\; 29)\; ^\; \{3\}.\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

Эти трансцендентные числа, помимо того, что они близко аппроксимируются целыми числами (которые представляют собой просто алгебраические числа степени 1), могут быть близко аппроксимированы алгебраическими числами степени 3,

$e\; \pi \; 19\; \approx \; x\; 24\; -\; 24,000\; 31;\; x\; 3\; -\; 2\; x\; -\; 2\; =\; 0\; e\; \pi \; 43\; \approx \; x\; 24\; -\; 24.000\; 000\; 31;\; x\; 3\; -\; 2\; x\; 2\; -\; 2\; =\; 0\; e\; \pi \; 67\; \approx \; x\; 24\; -\; 24\; 000\; 000\; 001\; 9;\; x\; 3\; -\; 2\; x\; 2\; -\; 2\; x\; -\; 2\; =\; 0\; e\; \pi \; 163\; \approx \; x\; 24\; -\; 24.000\; 000\; 000\; 000\; 0011;\; x\; 3\; -\; 6\; x\; 2\; +\; 4\; x\; -\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{19\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; x\; ^\; \{24\}\; -24.000\; \backslash ,\; 31;\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; x\; ^\; \{3\}\; -2x-2\; =\; 0\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{43\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; x\; ^\; \{24\}\; -24.000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 31;\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; quad\; x\; ^\; \{3\}\; -2x\; ^\; \{2\}\; -2\; =\; 0\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{67\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; x\; ^\; \{24\}\; -24.000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 001\; \backslash ,\; 9;\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; x\; ^\; \{3\}\; -2x\; ^\; \{2\}\; -2x-2\; =\; 0\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; x\; ^\; \{24\}\; -24.000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 0011;\; \backslash \; quad\; x\; ^\; \{3\}\; -6x\; ^\; \{2\}\; +\; 4x-2\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

корни кубиков может быть точно дано частным от функции Дедекинда η (τ), модульной функции, включающей корень 24-й степени, и которая объясняет 24 в приближении. Они также могут быть близко аппроксимированы алгебраическими числами степени 4,

$e π 19 ≈ 3 5 (3 - 2 (1 - 96/24 + 1 3 ⋅ 19)) - 2 - 12.000 06… e π 43 ≈ 3 5 (9 - 2 (1 - 960/24 + 7 3 ⋅ 43)) - 2 - 12.000 000 061… e π 67 ≈ 3 5 (21 - 2 (1 - 5 280/24 + 31 3 ⋅ 67)) - 2 - 12.000 000 000 36… e π 163 ≈ 3 5 (231 - 2 (1 - 640 320/24 + 2 413 3 ⋅ 163)) - 2 - 12.000 000 000 000 000 21… {\ displaystyle {\ begin {выровнено } e ^ {\ pi {\ sqrt {19}}} \ приблизительно 3 ^ {5} \ left (3 - {\ sqrt {2 (1-96 / 24 + 1 {\ sqrt {3 \ cdot 19}}))}} \ right) ^ {- 2} -12.000 \, 06 \ dots \\ e ^ {\ pi {\ sqrt {43}}} \ приблизительно 3 ^ {5} \ left (9 - {\ sqrt { 2 (1-960 / 24 + 7 {\ sqrt {3 \ cdot 43}})}} \ right) ^ {- 2} -12.000 \, 000 \, 061 \ dots \\ e ^ {\ pi {\ sqrt {67}}} \ приблизительно 3 ^ {5} \ left (21 - {\ sqrt {2 (1-5 \, 280/24 + 31 {\ sqrt {3 \ cdot 67}})}} \ right) ^ {- 2} -12.000 \, 000 \, 000 \, 36 \ точек \\ e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} \ приблизительно 3 ^ {5} \ left (231 - {\ sqrt { 2 (1-640 \, 320/24 + 2 \, 413 {\ sqrt {3 \ cdot 163}})}} \ right) ^ {- 2} -12.000 \, 000 \, 000 \, 000 \, 000 \, 21 \ точки \ конец {выровнено}}}$

Если $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$de отмечает выражение в скобках (например, $x\; =\; 3\; -\; 2\; (1\; -\; 96/24\; +\; 1\; 3\; \cdot \; 19)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 3\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; (1-96\; /\; 24\; +\; 1\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\; \backslash \; cdot\; 19\}\}))\}\}\}$), он удовлетворяет соответственно уравнениям четвертой степени

$x\; 4\; -\; 4\; \cdot \; 3\; x\; 3\; +\; 2\; 3\; (96\; +\; 3)\; x\; 2\; -\; 2\; 3\; \cdot \; 3\; (96\; -\; 6)\; x\; -\; 3\; =\; 0\; x\; 4\; -\; 4\; \cdot \; 9\; x\; 3\; +\; 2\; 3\; (960\; +\; 3)\; x\; 2\; -\; 2\; 3\; \cdot \; 9\; (960\; -\; 6)\; x\; -\; 3\; =\; 0\; x\; 4\; -\; 4\; \cdot \; 21\; x\; 3\; +\; 2\; 3\; (5\; 280\; +\; 3)\; x\; 2\; -\; 2\; 3\; \cdot \; 21\; (5\; 280\; -\; 6)\; x\; -\; 3\; =\; 0\; x\; 4\; -\; 4\; \cdot \; 231\; x\; 3\; +\; 2\; 3\; (640\; 320\; +\; 3)\; x\; 2\; -\; 2\; 3\; \cdot \; 231\; (\; 640\; 320\; -\; 6)\; x\; -\; 3\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; ^\; \{4\}\; -4\; \backslash \; cdot\; 3x\; ^\; \{3\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{3\}\}\; (96\; +\; 3)\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; quad\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash \; cdot\; 3\; (96-6)\; x-3\; =\; 0\; \backslash \backslash \; x\; ^\; \{4\}\; -4\; \backslash \; cdot\; 9x\; ^\; \{3\}\; +\; \{\; \backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{3\}\}\; (960\; +\; 3)\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash \; cdot\; 9\; (960-6)\; x-3\; =\; 0\; \backslash \; \backslash \; x\; ^\; \{4\}\; -4\; \backslash \; cdot\; 21x\; ^\; \{3\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{3\}\}\; (5\; \backslash ,\; 280\; +\; 3)\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; \backslash ;\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\; \}\; \{3\}\}\; \backslash \; cdot\; 21\; (5\; \backslash ,\; 280-6)\; x-3\; =\; 0\; \backslash \backslash \; x\; ^\; \{4\}\; -4\; \backslash \; cdot\; 231x\; ^\; \{3\}\; +\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{3\}\}\; (640\; \backslash ,\; 320\; +\; 3)\; x\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash \; cdot\; 231\; (640\; \backslash ,\; 320-6)\; x-3\; =\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$

Обратите внимание на появление целых чисел $n\; =\; 3,\; 9,\; 21,\; 231\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 3,9,21,231\}$, а также тот факт, что

$2\; 6\; \cdot \; 3\; (-\; (1\; -\; 96/24)\; 2\; +\; 1\; 2\; \cdot \; 3\; \cdot \; 19)\; =\; 96\; 2\; 2\; 6\; \cdot \; 3\; (-\; (1\; -\; 960/24)\; 2\; +\; 7\; 2\; \cdot \; 3\; \cdot \; 43)\; =\; 960\; 2\; 2\; 6\; \cdot \; 3\; (-\; (1\; -\; 5\; 280/24)\; 2\; +\; 31\; 2\; \cdot \; 3\; \cdot \; 67)\; =\; 5280\; 2\; 2\; 6\; \cdot \; 3\; (-\; (1\; -\; 640\; 320/24)\; 2\; +\; 2413\; 2\; \cdot \; 3\; \cdot \; 163)\; =\; 640\; 320\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 2\; ^\; \{6\}\; \backslash \; cdot\; 3\; (-\; (1-96\; /\; 24)\; ^\; \{2\}\; +\; 1\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 19)\; =\; 96\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; 2\; ^\; \{6\}\; \backslash \; cdot\; 3\; (-\; (1-960\; /\; 24)\; ^\; \{2\}\; +\; 7\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 43)\; =\; 960\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; 2\; ^\; \{6\}\; \backslash \; cdot\; 3\; (-\; (1-5\; \backslash ,\; 280/24)\; ^\; \{2\}\; +\; 31\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 67)\; =\; 5\; \backslash ,\; 280\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \; 2\; ^\; \{6\}\; \backslash \; cdot\; 3\; (-\; (1-640\; \backslash ,\; 320/24)\; ^\; \{2\}\; +\; 2413\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 163)\; =\; 640\; \backslash ,\; 320\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

которые с соответствующей дробной степенью являются в точности j-инвариантами.

Аналогично для алгебраических чисел степени 6

$e\; \pi \; 19\; \approx \; (5\; x)\; 3\; -\; 6.000\; 010\dots \; e\; \pi \; 43\; \approx \; (5\; x)\; 3\; -\; 6.000\; 000\; 010\dots \; e\; \pi \; 67\; \approx \; (5\; x)\; 3\; -\; 6.000\; 000\; 000\; 061\dots \; e\; \pi \; 163\; \approx \; (5\; x)\; 3\; -\; 6.000\; 000\; 000\; 000\; 000\; 034\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{19\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; (5x)\; ^\; \{3\}\; -6,000\; \backslash ,\; 010\; \backslash \; точек\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{43\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; (5x)\; ^\; \{3\}\; -6,000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 010\; \backslash \; точек\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{67\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; (5x)\; ^\; \{3\}\; -6.000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 061\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\; \}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; (5x)\; ^\; \{3\}\; -6.000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 034\; \backslash \; dots\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где xs даются соответственно соответствующий корень шестнадцатеричных уравнений ,

$5\; x\; 6\; -\; 96\; x\; 5\; -\; 10\; x\; 3\; +\; 1\; =\; 0\; 5\; x\; 6\; -\; 960\; x\; 5\; -\; 10\; x\; 3\; +\; 1\; =\; 0\; 5\; x\; 6\; -\; 5\; 280\; x\; 5\; -\; 10\; x\; 3\; +\; 1\; =\; 0\; 5\; x\; 6\; -\; 640\; 320\; x\; 5\; -\; 10\; x\; 3\; +\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 5x\; ^\; \{6\}\; -96x\; ^\; \{5\}\; -10x\; ^\; \{3\}\; +\; 1\; =\; 0\; \backslash \backslash \; 5x\; ^\; \{6\}\; -960x\; ^\; \{5\}\; -10x\; ^\; \{3\}\; +\; 1\; =\; 0\; \backslash \backslash \; 5x\; ^\; \{6\}\; -5\; \backslash ,\; 280x\; ^\; \{5\}\; -10x\; ^\; \{3\}\; +\; 1\; =\; 0\; \backslash \backslash \; 5x\; ^\; \{6\}\; -640\; \backslash ,\; 320x\; ^\; \{5\}\; -10x\; ^\; \{3\}\; +\; 1\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

с повторением j-инвариантов. Эти секстики не только алгебраичны, они также разрешимы в радикалах, поскольку они делятся на две кубики над расширением $Q\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{5\}\}\}$(с последующим разложением на две квадратичные ). Эти алгебраические приближения могут быть точно выражены в терминах частных Дедекинда. Например, пусть $\tau \; =\; (1\; +\; -\; 163)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; (1\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{-163\}\})\; /\; 2\}$, тогда

$e\; \pi \; 163\; =\; (e\; \pi \; i\; /\; 24\; \eta \; (\tau )\; \eta \; (2\; \tau ))\; 24\; -\; 24\; 000\; 000\; 000\; 000\; 001\; 05\dots \; e\; \pi \; 163\; =\; (e\; \pi \; i\; /\; 12\; \eta \; (\tau )\; \eta \; (3\; \tau ))\; 12\; -\; 12.000\; 000\; 000\; 000\; 000\; 21\dots \; e\; \pi \; 163\; =\; (e\; \pi \; i\; /\; 6\; \eta \; (\tau )\; \eta \; (5\; \tau ))\; 6\; -\; 6.000\; 000\; 000\; 000\; 000\; 000\; 034\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; e\; ^\; \{\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{\backslash \; pi\; i\; /\; 24\}\; \backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\}\; \{\backslash \; eta\; (2\; \backslash \; tau)\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; 24\}\; -24.000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 001\; \backslash ,\; 05\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{\backslash \; pi\; i\; /\; 12\}\; \backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\}\; \{\backslash \; eta\; (3\; \backslash \; tau)\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{12\}\; -12.000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 21\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{163\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{\backslash \; pi\; i\; /\; 6\}\; \backslash \; eta\; (\backslash \; tau)\}\; \{\backslash \; eta\; (5\; \backslash \; tau)\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{6\}\; -6.000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 034\; \backslash \; dots\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где частные эта - алгебраические числа, указанные выше.

Три числа $88,\; 148,\; 232\; \{\backslash \; displaystyle\; 88,148,232\}$, для которых мнимое квадратичное поле $Q\; [-\; d]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\; [\{\backslash \; sqrt\; \{-d\}\}]\}$имеет номер класса $2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \}$, не считаются числами Хегнера, но имеют определенные сходные свойства в терминах почти целых чисел. Например,

$e\; \pi \; 88\; +\; 8\; 744\; \approx \; 2\; 508\; 952\; 2\; -\; 0,077\dots \; e\; \pi \; 148\; +\; 8\; 744\; \approx \; 199\; 148\; 648\; 2\; -.000\; 97\dots \; e\; \pi \; 232\; +\; 8\; 744\; \approx \; 24\; 591\; 257\; 752\; 2\; -.000\; 0078\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{88\}\}\}\; +\; 8\; \backslash ,\; 744\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; 2\; \backslash ,\; 508\; \backslash ,\; 952\; ^\; \{2\}\; -.\; 077\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{148\}\}\}\; +\; 8\; \backslash ,\; 744\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; quad\; 199\; \backslash ,\; 148\; \backslash ,\; 648\; ^\; \{2\}\; -.\; 000\; \backslash ,\; 97\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{232\}\}\}\; +\; 8\; \backslash ,\; 744\; \backslash \; приблизительно\; 24\; \backslash ,\; 591\; \backslash ,\; 257\; \backslash ,\; 752\; ^\; \{2\}\; -.\; 000\; \backslash ,\; 0078\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$

и

$e\; \pi \; 22\; -\; 24\; \approx \; (6\; +\; 4\; 2)\; 6\; +.000\; 11\dots \; e\; \pi \; 37\; +\; 24\; \approx \; (12\; +\; 2\; 37)\; 6\; -.000\; 0014\dots \; e\; \pi \; 58\; -\; 24\; \approx \; (27\; +\; 5\; 29)\; 6\; -.000\; 000\; 0011\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{22\}\}\}\; -\; 24\; \backslash \; приблизительно\; (6\; +\; 4\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\})\; ^\; \{6\}\; \backslash \; quad\; +.000\; \backslash ,\; 11\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{37\}\}\}\; \{\backslash \; color\; \{red\}\; +\}\; \backslash ,\; 24\; \backslash \; приблизительно\; (12+\; 2\; \{\backslash \; sqrt\; \{37\}\})\; ^\; \{6\}\; -.\; 000\; \backslash ,\; 0014\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{58\}\}\}\; -\; 24\; \backslash \; приблизительно\; (27\; +\; 5\; \{\backslash \; sqrt\; \{29\}\; \})\; ^\; \{6\}\; -.\; 000\; \backslash ,\; 000\; \backslash ,\; 0011\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$

Дано нечетное простое число p, если вычисляется $k\; 2\; (модуль\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$для $k\; =\; 0,\; 1,\dots ,\; (p\; -\; 1)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 0,1,\; \backslash \; dots,\; (p-1)\; /\; 2\}$( этого достаточно, потому что $(p\; -\; k)\; 2\; \equiv \; k\; 2\; (mod\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; (pk)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Equiv\; k\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; pmod\; \{p\}\}\}$), получаются последовательные композиты, за которыми следуют последовательные простые числа, если и только если p является числом Хегнера.

Подробнее см. «Квадратичные многочлены, производящие последовательные отдельные простые числа и группы классов комплексных квадратичных полей».

1. ^Конвей, Джон Хортон ; Гай, Ричард К. (1996). Книга чисел. Springer. п. 224. ISBN 0-387-97993-X.
2. ^Старк, HM (1969), «О пробеле в теореме Хегнера» (PDF), Журнал теории чисел, 1: 16–27, doi : 10.1016 / 0022-314X (69) 90023-7
3. ^Рабинович, Георг " Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern ». Proc. Пятый интернат. Congress Math. (Кембридж) 1, 418–421, 1913.
4. ^Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Париж: Герман, стр. 88 и 144, 1983.
5. ^Вайсштейн, Эрик У. «Трансцендентное число». MathWorld.дает $e\; \pi \; d,\; d\; \in \; Z\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{d\}\}\},\; d\; \backslash \; in\; Z\; ^\; \{*\}\}$По материалам Нестеренко Ю. V. «Об алгебраической независимости компонентов решений системы линейных дифференциальных уравнений». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. 38, 495–512, 1974. Английский перевод в Math. СССР 8, 501–518, 1974.
6. ^Константа Рамануджана - из Wolfram MathWorld
7. ^Барроу, Джон Д. (2002). Константы природы. Лондон: Кейп Джонатан. ISBN 0-224-06135-6.
8. ^Гарднер, Мартин (апрель 1975 г.). «Математические игры». Scientific American. Scientific American, Inc. 232 (4): 127.
9. ^Их можно проверить, вычислив $e\; \pi \; d\; -\; 744\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; [\{3\}]\; \{e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{d\}\}\}\; -\; 744\}\}\}$на калькуляторе и $196\; 884\; /\; e\; \pi \; d\; \{\backslash \; displaystyle\; 196\; \backslash ,\; 884\; /\; e\; ^\; \{\backslash \; pi\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{d\}\}\}\}$для линейного члена ошибки.
10. ^http://groups.google.com.ph/group/sci.math.research/browse_thread/thread/3d24137c9a860893?hl=en#
11. ^Абсолютное отклонение случайного действительного числа (выбирается равномерно из [0,1], скажем) - это равномерно распределенная переменная на [0, 0,5], поэтому она имеет медианное абсолютное отклонение 0,25, и отклонение 0,22 не является исключительным.
12. ^«Формулы Пи».
13. ^«Расширение дедекиндовских эти-коэффициентов Рамануджана».
14. ^http://www.mathpages.com/home/kmatdiv class="ht"63.htm
15. ^Моллин Р.А. (1996). «Квадратичные многочлены, производящие последовательные, различные простые числа и группы классов комплексных квадратичных полей» (PDF). Acta Arithmetica. 74 : 17–30.

• Вайсштейн, Эрик У. «Число Хегнера». MathWorld.
• OEISпоследовательность A003173 (числа Хегнера: мнимые квадратичные поля с уникальной факторизацией)
• Проблема числа классов Гаусса для мнимых квадратичных полей, Дориан Голдфельд : Подробная история проблема.
• Кларк, Алекс. «163 и константа Рамануджана». Numberphile. Брэди Харан. Архивировано из оригинала 16 мая 2013 года. Проверено 2 апреля 2013 г.