Псевдометрическое пространство

Обобщение метрических пространств, в котором расстояние между двумя точками расстояния может быть 0

В математике, псевдометрическое пространство является обобщением метрического пространства , в котором расстояние между двумя различными точками может быть нулевым. Точно так же, как каждое нормированное пространство является метрическим пространством, каждое полунормированное пространство является псевдометрическим пространством. Из-за этой аналогии термин полуметрическое пространство (который имеет другое значение в топологии ) иногда используется как синоним, особенно в функциональном анализе.

Когда топология сгенерированное с использованием семейства псевдометрии, пространство называется калибровочным пространством.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Топология
• 4 Идентификация метрики
• 5 См. также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки

Псевдометрическое пространство $(X,\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; d)\}$- это множество $Икс\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$вместе с неотрицательной вещественной функцией $d:\; X\; \times \; X\; ⟶\; R\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; times\; X\; \backslash \; longrightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\; \}\; \_\; \{\backslash \; geq\; 0\}\}$(называемый псевдометрическим ) такой, что для каждого $x,\; y,\; z\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y,\; z\; \backslash \; in\; X\}$,

1. $d\; (x,\; x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (x,\; x)\; =\; 0\}$.
2. $d\; (x,\; y)\; =\; d\; (y,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (x,\; y)\; знак\; равно\; d\; (y,\; x)\}$(симметрия)
3. $d\; (x,\; z)\; ⩽\; d\; (x,\; y)\; +\; d\; (y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (x,\; z)\; \backslash \; leqslant\; d\; (x,\; y)\; +\; d\; (y,\; z)\}$(субаддитивность / неравенство треугольника )

В отличие от метрического пространства, точки в псевдометрическом пространстве не должны быть различимыми ; то есть, можно иметь $d\; (x,\; y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (x,\; y)\; =\; 0\}$для различных значений $x\; \ne \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; neq\; y\}$.

• Псевдометрика естественно возникает в функциональном анализе. Рассмотрим пространство $F\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (X)\}$функций с действительным знаком $f:\; X\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; X\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$вместе со специальной точкой $x\; 0\; \in \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; in\; X\}$. Эта точка затем индуцирует псевдометрию на пространстве функций, задаваемую формулой

$d\; (f,\; g)\; =\; |\; f\; (x\; 0)\; -\; g\; (x\; 0)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (f,\; g)\; =\; |\; f\; (x\_\; \{0\})\; -\; g\; (x\_\; \{0\})\; |\}$

для $f,\; g\; \in \; F\; (X)\; \{\backslash \; displaystyle\; f,\; g\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (X)\}$

• Для векторных пространств $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, a seminorm $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \}$индуцирует псевдометрию на $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, как

$d\; (x,\; y)\; =\; p\; (x\; -\; y).\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (x,\; y)\; =\; p\; (xy).\}$

И наоборот, однородная, трансляционно-инвариантная псевдометрия индуцирует полунорму.

• Псевдометрика также возникает в теории гиперболических комплексных многообразий : см. метрика Кобаяши.
• Каждая мера пространства $(\Omega ,\; A,\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\},\; \backslash \; mu)\}$можно рассматривать как полное псевдометрическое пространство, определяя

$d\; (A,\; B):\; =\; \mu \; (A\; △\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (A,\; B):\; =\; \backslash \; mu\; (A\; \backslash \; vartriangle\; B)\}$

для всех $A,\; B\; \in \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; A,\; B\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}$, где треугольник обозначает симметричную разность.

• Если $f:\; X\; 1\; \to \; X\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\_\; \{1\}\; \backslash \; rightarrow\; X\_\; \{2\}\}$- функция, а d 2 - псевдометрия на X 2, затем $d\; 1\; (x,\; y):\; =\; d\; 2\; (f\; (x),\; f\; (y))\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\; (x,\; y):\; =\; d\_\; \{\; 2\}\; (f\; (x),\; f\; (y))\}$дает псевдометрию на X 1. Если d 2 - метрика, а f - инъективный, то d 1 - метрика.

псевдометрическая топология - это топология, порожденная открытыми шарами

, которые образуют базис для топологии. Топологическое пространство называется псевдометризуемым пространством, если этому пространству может быть присвоена псевдометрика, такая, что псевдометрическая топология совпадает с данной топологией на пространстве.

Разница между псевдометрикой и метрикой полностью топологическая. Таким образом, псевдометрика является метрикой тогда и только тогда, когда генерируемая ею топология равна T0 (т.е. различные точки топологически различимы).

Определения последовательностей Коши и завершения метрики для метрических пространств переносятся в псевдометрические пространства без изменений.

Исчезновение псевдометрики вызывает отношение эквивалентности, называемое метрической идентификацией, которое преобразует псевдометрическое пространство в полноценное метрическое пространство. Это делается путем определения $x\; \sim \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; sim\; y\}$if $d\; (x,\; y)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (x,\; y)\; =\; 0\}$. Пусть $X\; \ast \; =\; X\; /\; \sim \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{*\}\; =\; X\; /\; \{\backslash \; sim\}\}$будет частным пространством для Xэтим отношением эквивалентности и определим

$d\; \ast :\; (X\; /\; \sim )\; \times \; (X\; /\; \sim )\; ⟶\; R\; \ge \; 0\; d\; \ast \; ([x],\; [y])\; =\; d\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; d\; ^\; \{*\}\; :(\; X\; /\; \backslash \; sim)\; \backslash \; times\; (X\; /\; \backslash \; sim)\; \backslash \; longrightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \_\; \{\backslash \; geq\; 0\}\; \backslash \backslash \; d\; ^\; \{*\}\; ([x],\; [y])\; =\; d\; (x,\; y)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Тогда $d\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; ^\; \{*\}\}$- метрика на $X\; \ast \; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; ^\; \{*\}\}$и $(X\; \ast ,\; d\; \ast )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\; ^\; \{*\},\; d\; ^\; \{*\})\}$- это четко определенное метрическое пространство, которое называется метрическим пространством, индуцированным псевдометрическим пространством $(X,\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; d)\}$.

Метрическая идентификация сохраняет индуцированное топологии. То есть подмножество $A\; \subseteq \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; substeq\; X\}$открыто (или закрыто) в $(X,\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; d)\}$тогда и только тогда, когда $\pi \; (A)\; =\; [A]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (A)\; =\; [A]\}$открыт (или закрыт) в $(\; X\; \ast ,\; d\; \ast )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\; ^\; \{*\},\; d\; ^\; \{*\})\}$и A насыщено. Топологическая идентификация - это фактор Колмогорова.

Примером этой конструкции является завершение метрического пространства его последовательностями Коши.

• Метрическое пространство
• Метризуемое топологическое векторное пространство

• Архангельский, А.В. Понтрягин, Л. (1990). Общая топология I: основные понятия и конструкции Теория размерностей. Энциклопедия математических наук. Спрингер. ISBN 3-540-18178-4.
• Стин, Линн Артур; Зеебах, Артур (1995) [1970]. Контрпримеры в топологии (новое изд.). Dover Publications. ISBN 0-486-68735-X.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970], Общая топология (Dover переиздание 1970 года), Addison-Wesley
• Эта статья включает материал из Псевдометрического пространства на PlanetMath, который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License.
• «Пример псевдометрического пространства». PlanetMath.