Войти
В алгебраической геометрии, a период - это число, которое может быть выражено как интеграл от алгебраической функции в алгебраической области. Суммы и произведения периодов остаются периодами, поэтому периоды образуют кольцо .
Максим Концевич и Дон Загир (2001) дали обзор периодов и высказал некоторые предположения о них.
Вещественное число называется периодом, если оно представляет собой разность объемов областей евклидова пространства, заданную полиномом неравенствами с рациональными коэффициентами. В более общем смысле комплексное число называется периодом, если его действительная и мнимая части являются периодами.
Периоды - это числа, которые возникают как интегралы алгебраических функций по областям, которые описываются алгебраическими уравнениями или неравенствами с рациональными коэффициентами (Weisstein 2019). Периоды могут быть определены как комплексные числа, действительная и мнимая части которых являются значениями абсолютно сходящихся интегралов рациональных функций с рациональными коэффициентами по областям в 
Помимо алгебраических чисел, точками известны следующие числа:
Пример действительного числа, не являющегося периодом, дается константой Чейтина Ω. Любое другое невычислимое число также дает пример действительного числа, которое не является точкой. В настоящее время нет естественных примеров вычислимых чисел, которые, как было доказано, не являются периодами, однако можно построить искусственные примеры (Yoshinaga 2008). Правдоподобные кандидаты для чисел, не являющихся периодами, включают e, 1 / π и постоянную Эйлера – Маскерони γ.
Периоды предназначены для преодоления разрыва между алгебраическими числами и трансцендентными числами. Класс алгебраических чисел слишком узок, чтобы включать множество общих математических констант, в то время как набор трансцендентных чисел не счетный, и его члены обычно не вычислимы.
Набор всех периодов исчисляемый, и все периоды вычислимы (Палатка 2010) и, в частности, определяемы.
Многие из постоянных, известных как периоды, также задаются интегралами от трансцендентных функций. Концевич и Загьер отмечают, что «не существует универсального правила, объясняющего, почему определенные бесконечные суммы или интегралы трансцендентных функций являются периодами».
Концевич и Загье предположили, что, если период задается двумя разными интегралами, то каждый интеграл можно преобразовать в другой, используя только линейность интегралов, замен переменных и Формула Ньютона – Лейбница
(или, в более общем смысле, формула Стокса ).
Полезное свойство алгебраических чисел состоит в том, что равенство между двумя алгебраическими выражениями может быть определено алгоритмически. Из гипотезы Концевича и Загьера следует, что равенство периодов также разрешимо: неравенство вычислимых вещественных чисел известно рекурсивно перечислимо ; и наоборот, если два интеграла согласуются, то алгоритм может подтвердить это, испробовав все возможные способы преобразования одного из них в другой.
Не ожидается, что число Эйлера e и постоянная Эйлера – Маскерони γ являются периодами. Периоды могут быть расширены до экспоненциальных периодов, разрешив произведение алгебраической функции и экспоненциальной функции алгебраической функции в качестве подынтегрального выражения. Это расширение включает все алгебраические степени e, гамма-функцию рациональных аргументов и значения функций Бесселя. Если дополнительно добавить постоянную Эйлера γ как новый период, то, согласно Концевичу и Загьеру, «все классические постоянные являются периодами в соответствующем смысле».
