Войти
В математической физике, некоммутативной квантовой теории поля (или квантовой теории поля в некоммутативном пространстве-времени) представляет собой приложение некоммутативной математики к пространству-времени из квантовой теории поля, которое является результатом некоммутативной геометрии и теории индекса, в котором координатные функции некоммутативны. Одна из часто изучаемых версий таких теорий имеет «каноническое» коммутационное соотношение:
![[x ^ {{\ mu}}, x ^ {{\ nu}}] = i \ theta ^ {{\ mu \ nu}} \, \!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cbe8280e325a601937b8a0fca528a0a3e7dd87)
, что означает, что (с любым заданным набором осей) невозможно точно измерить положение частицы относительно более чем одной оси. Фактически, это приводит к соотношению неопределенности для координат, аналогичному принципу неопределенности Гейзенберга.
Для некоммутативной шкалы были заявлены различные нижние пределы (то есть, насколько точно могут быть измерены положения), но в настоящее время нет экспериментальных данных. доказательства в пользу такой теории или основания для их исключения.
Одной из новых особенностей некоммутативных теорий поля является явление УФ / ИК-смешения, при котором физика при высоких энергиях влияет на физику при низких энергиях, чего не происходит в квантовых теориях поля в координаты которых коммутируют.
Другие особенности включают нарушение лоренц-инвариантности из-за предпочтительного направления некоммутативности. Релятивистская инвариантность, однако, может быть сохранена в смысле искаженной пуанкаре-инвариантности теории. Условие причинности является модифицированным по сравнению с условием коммутативных теорий.
Гейзенберг был первым, кто предложил распространить некоммутативность на координаты как возможный способ устранения бесконечных величин, фигурирующих в теориях поля до того, как процедура перенормировки была разработана и получила признание. Первая статья на эту тему была опубликована в 1947 году Хартландом Снайдером. Успех метода перенормировки привел к тому, что некоторое время этому вопросу уделялось мало внимания. В 1980-х математики, в первую очередь Ален Конн, разработали некоммутативную геометрию. Помимо прочего, эта работа обобщила понятие дифференциальной структуры на некоммутативный параметр. Это привело к операторно-алгебраическому описанию некоммутативного пространства-времени с проблемой, что оно классически соответствует многообразию с положительно определенным метрическим тензором, так что там не является описанием (некоммутативной) причинности в этом подходе. Однако это также привело к развитию теории Янга – Миллса на некоммутативном торе.
Сообщество физиков элементарных частиц заинтересовалось некоммутативным подходом из-за статьи Натана Зайберга и Эдвард Виттен. В контексте теории струн они утверждали, что координатные функции конечных точек открытых струн ограничены D-браной в присутствии постоянного B-поля Невё-Шварца - эквивалент постоянному магнитному полю на бране - удовлетворяет некоммутативной алгебре, изложенной выше. Подразумевается, что квантовая теория поля в некоммутативном пространстве-времени может быть интерпретирована как низкоэнергетический предел теории открытых струн.
Две статьи, одна написана Серджио Доплихером, Клаусом Фреденхагеном и Джоном Робертсом, а другая Д. В. Ахлувалиа, изложили еще одну причину возможной некоммутативности пространства-времени. Аргументы следующие: Согласно общей теории относительности, когда плотность энергии становится достаточно большой, образуется черная дыра. С другой стороны, согласно принципу неопределенности Гейзенберга , измерение пространственно-временного разделения вызывает неопределенность в импульсе, обратно пропорциональную степени разделения. Таким образом, энергия, масштаб которой соответствует неопределенности в импульсе, локализован в системе в пределах области, соответствующей неопределенности положения. Когда расстояние достаточно мало, достигается радиус Шварцшильда системы и образуется черная дыра, которая предотвращает утечку любой информации из системы. Таким образом, существует нижняя граница измерения длины. Достаточное условие предотвращения гравитационного коллапса может быть выражено соотношением неопределенностей для координат. Это отношение, в свою очередь, может быть получено из отношения коммутации для координат.
Стоит подчеркнуть, что в отличие от других подходов, в частности тех, которые основаны на идеях Конна, здесь некоммутативное пространство-время является собственно пространством-временем, т.е. оно расширяет идею четырехмерного псевдо- Риманово многообразие. С другой стороны, в отличие от некоммутативной геометрии Конна, предлагаемая модель оказывается зависящей от координат с нуля. В статье Допличера Фреденхагена Робертса некоммутативность координат касается всех четырех пространственно-временных координат, а не только пространственных.
