Изоморфизм категорий

редактировать

В теории категорий, две категории C и D являются изоморфными, если существуют функторы F : C → D и G : D → C, которые взаимно обратны друг другу, т.е. FG = 1 D (тождественный функтор на D ) и GF = 1 C. Это означает, что обе эти объекты и морфизмы из C и D стоять в соответствие один к одному друг к другу. Две изоморфные категории обладают всеми свойствами, которые определены исключительно в терминах теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями их объектов и морфизмами.

Изоморфизм категорий - очень сильное условие, которое редко выполняется на практике. Гораздо важнее понятие эквивалентности категорий ; грубо говоря, для эквивалентности категорий мы не требуем, чтобы быть равными с, но только естественно изоморфна к, а также, что, естественно изоморфно. ${\ displaystyle FG}$ $FG$ ${\ displaystyle 1_ {D}}$ $1_D$ ${\ displaystyle 1_ {D}}$ $1_D$ ${\ displaystyle GF}$ $GF$ ${\ displaystyle 1_ {C}}$ $1_C$

СОДЕРЖАНИЕ

1 Недвижимость
2 Примеры
3 См. Также
4 ссылки

Характеристики

Как и любое понятие изоморфизма, мы обладаем следующими общими свойствами, формально аналогичными отношению эквивалентности :

любая категория C изоморфна самой себе
если C изоморфен D, то D изоморфен C
если С изоморфна D и D изоморфна Е, то С изоморфна Е.

Функтор F : C → D порождает изоморфизм категорий тогда и только тогда, когда он биективен на объектах и на множествах морфизмов. Этот критерий может быть удобно, так как избавляет от необходимости строить обратный функтор G. (Здесь мы неформально используем термин «биекция», потому что, если категория не конкретна, у нас нет такого понятия.)

Примеры

Рассмотрим конечную группу G, поле k и групповую алгебру kG. Категория k- линейных представлений группы группы G изоморфна категории левых модулей над kG. Изоморфизм можно описать следующим образом: дано групповое представление ρ: G → GL ( V ), где V - векторное пространство над k, GL ( V ) - группа его k -линейных автоморфизмов, а ρ - групповой гомоморфизм, мы превращаем V в левый kG- модуль, определяя

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {g \ in G} a_ {g} g \ right) v = \ sum _ {g \ in G} a_ {g} \ rho (g) (v)}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {g \ in G} a_ {g} g \ right) v = \ sum _ {g \ in G} a_ {g} \ rho (g) (v)}

для каждого v в V и любого элемента Σ a g g в kG. Наоборот, для левого kG- модуля M, тогда M является k- векторным пространством, и умножение на элемент g из G дает k- линейный автоморфизм M (так как g обратим в kG ), который описывает гомоморфизм групп G → GL ( М ). (Есть еще несколько вещей, которые нужно проверить: оба эти присваивания являются функторами, т. Е. Они могут применяться к отображениям между представлениями групп и модулями kG, и они обратны друг другу как для объектов, так и для морфизмов). См. Также Теорию представлений конечных групп # Представления, модули и алгебру свертки.

Каждое кольцо можно рассматривать как предаддитивную категорию с одним объектом. Категории функтора всех аддитивных функторов из этой категории в категорию абелевых групп изоморфна категории левых модулей над кольцом.
Другой изоморфизм категорий возникает в теории булевых алгебр : категория булевых алгебр изоморфна категории булевых колец. Для данной булевой алгебры B мы превращаем B в булево кольцо, используя симметрическую разность в качестве сложения и операцию встречи в качестве умножения. И наоборот, для булевого кольца R мы определяем операцию соединения как a b = a + b + ab, а операцию встречи как умножение. Опять же, оба этих присваивания могут быть расширены до морфизмов для получения функторов, и эти функторы обратны друг другу. ${\ displaystyle \ land}$ $\земля$ ${\ displaystyle \ lor}$ $\ lor$
Если С является категория с исходным объектом с, затем в категории среза ( ы ↓ С ) изоморфно С. Двойственно, если т представляет собой терминал, объект C, категория функтора ( С ↓ т ) изоморфно С. Аналогично, если 1 - это категория с одним объектом и только его тождественным морфизмом (фактически, 1 - это терминальная категория ), а C - любая категория, то категория функторов C ¹ с функторами объектов c : 1 → C, выбирающая объект с ∈Ob ( C ), и стрелок естественных преобразований F : C → д между этими функторами, выбирая морфизм ф : C → D в C, снова изоморфно с.

Смотрите также

Эквивалентность категорий

Рекомендации