Генератор бесконечно малых (случайные процессы)

В математике - в частности, в стохастическом анализе - инфинитезимальный генератор процесса Феллера (т.е. марковского процесса с непрерывным временем, удовлетворяющего определенным условиям регулярности), является оператор с частным производным, который кодирует большой объем информации о процессе. Генератор используется в уравнениях эволюции, таких как обратное уравнение Колмогорова (которое описывает эволюцию статистики процесса); его L эрмитово сопряженное соединение используется в уравнениях эволюции, таких как уравнение Фоккера – Планка (которое описывает эволюцию функций плотности вероятности процесса).

• 1 Определение
  • 1.1 Общий случай
  • 1.2 Стохастические дифференциальные уравнения, управляемые броуновским движением
• 2 Генераторы некоторых общих процессов
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Общий случай

Для d-мерного процесса Феллера $(X\; t)\; t\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (X\_\; \{t\})\; \_\; \{t\; \backslash \; geq\; 0\; \}\}$мы определяем генератор $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$как

$A\; f\; (x):\; =\; lim\; t\; \downarrow \; 0\; E\; x\; (f\; (X\; t))\; -\; е\; (Икс)\; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; Af\; (х):\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; downarrow\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbb\; \{E\}\; ^\; \{x\}\; (f\; (X\_\; \{t\}))\; -\; f\; (\; x)\}\; \{t\}\}\}$

всякий раз, когда этот предел существует в $C\; c\; 0\; (R\; d)\; ¯\; \subset \; (C\; 0\; (R\; d),\; \Vert \; \cdot \; \Vert \; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{C\_\; \{\; c\}\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\})\}\}\; \backslash \; subset\; (C\; ^\; \{0\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}),\; \backslash \; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\})\}$, т.е. в пространстве непрерывных функций $R\; d\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, исчезающий на бесконечности.

Это определение аналогично определению инфинитезимального генератора $C\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{0\}\}$-полугруппы.

Стохастические дифференциальные уравнения, управляемые броуновским движением.

Пусть $X:\; [0,\; \infty )\; \times \; \Omega \; \to \; R\; n\; \{\backslash \; textstyle\; X:\; [0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \; times\; \backslash \; Omega\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$определено в вероятностном пространстве $(\Omega ,\; F,\; P)\; \{\backslash \; textstyle\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\},\; P)\}$быть диффузией Ито, удовлетворяющей стохастическому дифференциальному уравнению вида:

$d\; X\; t\; =\; b\; (X\; t)\; dt\; +\; \sigma \; (X\; t)\; d\; B\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; X\_\; \{t\}\; =\; b\; (X\_\; \{t\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; +\; \backslash \; sigma\; (X\_\; \{t\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; B\_\; \{t\}\}$

где $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$- это m-мерное броуновское движение и $b:\; R\; n\; \to \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; b:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{\; n\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$и $\sigma :\; R\; n\; \to \; R\; n\; \times \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\; \backslash \; times\; m\}\}$- поля дрейфа и диффузии соответственно. Для точки $x\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, пусть $P\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{x\; \}\}$обозначают закон $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$с учетом исходных данных $X\; 0\; =\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{0\}\; =\; x\}$, и пусть $E\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; ^\; \{x\}\}$обозначает ожидание относительно $P\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{P\}\; ^\; \{\; x\}\}$.

Генератор бесконечно малых из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- это оператор $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}$, который определен для воздействия на подходящие функции $f:\; R\; n\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$по:

$A\; f\; (x)\; =\; lim\; t\; \downarrow \; 0\; E\; x\; [f\; (X\; t)]\; -\; f\; (x)\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; f\; (x)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\; t\; \backslash \; downarrow\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbb\; \{E\}\; ^\; \{x\}\; [f\; (X\_\; \{t\})]\; -\; f\; (x)\}\; \{t\}\}\}$

Набор всех функций $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, для которого этот предел существует в точке $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$обозначается $DA\; (x)\; \{\backslash \; displayst\; yle\; D\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; (x)\}$, а $DA\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}$обозначает набор всех $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, для которого ограничение существует для всех $x\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$. Можно показать, что любой компактно поддерживаемый $C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{2\}\}$(дважды дифференцируемый с непрерывным вторая производная) функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$лежит в $DA\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \_\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}$и что:

$A\; f\; (x)\; =\; \sum \; ibi\; (x)\; \partial \; f\; \partial \; xi\; (x)\; +\; 1\; 2\; \sum \; i,\; j\; (\sigma \; (x)\; \sigma \; (x)\; \top )\; i,\; j\; \partial \; 2\; f\; \partial \; xi\; \partial \; xj\; (x)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; b\_\; \{i\}\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; (x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; sigma\; (x)\; \backslash \; sigma\; (x)\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \{\backslash \; big)\}\; \_\; \{i,\; j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\; (x)\}$

Или, в терминах градиента и скаляр и скалярные произведения Фробениуса :

$A\; f\; (x)\; =\; b\; (x)\; \cdot \; \nabla \; xf\; (x)\; +\; 1\; 2\; (\sigma \; (x)\; \sigma \; (x)\; \top ):\; \nabla \; x\; \nabla \; xf\; (\; х)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; f\; (x)\; =\; b\; (x)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; \_\; \{x\}\; f\; (x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; sigma\; (x)\; \backslash \; sigma\; (x)\; ^\; \{\backslash \; top\}\; \{\backslash \; big)\}:\; \backslash \; nabla\; \_\; \{x\}\; \backslash \; nabla\; \_\; \{x\}\; f\; (x)\}$

• Для конечных -s В случае цепей Маркова с непрерывным временем генератор может быть выражен как матрица скорости перехода
• Стандартное броуновское движение на $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$, который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению $d\; X\; t\; =\; d\; B\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; dX\_\; \{t\}\; =\; dB\_\; \{t\}\}$, имеет генератор $1\; 2\; \Delta \; \{\backslash \; textstyle\; \{1\; \backslash \; над\; \{2\}\}\; \backslash \; Delta\}$, где $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$обозначает оператор Лапласа.
• Двумерный процесс $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$удовлетворяет:

$d\; Y\; t\; =\; (dtd\; B\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; Y\_\; \{t\}\; =\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; \backslash \; choose\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; B\_\; \{t\}\}\}$

где $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$- одномерное броуновское движение, может рассматриваться как график этого броуновского движения и имеет генератор:

$A\; f\; (t,\; x)\; =\; \partial \; f\; \partial \; t\; (t,\; x)\; +\; 1\; 2\; \partial \; 2\; f\; \partial \; x\; 2\; (t,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; f\; (t,\; x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; (t,\; x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; (t,\; x)\}$

• O Процесс Рнштейна – Уленбека на $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению $d\; X\; t\; =\; \theta \; (\mu \; -\; X\; t)\; dt\; +\; \sigma \; d\; B\; t\; \{\backslash \; textstyle\; dX\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; theta\; (\backslash \; mu\; -X\_\; \{t\})\; dt\; +\; \backslash \; sigma\; dB\_\; \{t\}\}$, имеет генератор:

$A\; f\; (x)\; =\; \theta \; (\mu \; -\; Икс)\; е\; \text{'}(Икс)\; +\; \sigma \; 2\; 2\; е\; ″\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; f\; (х)\; =\; \backslash \; theta\; (\backslash \; mu\; -x)\; f\text{'}\; (х)\; +\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; f\; \text{'}\text{'}\; (x)\}$

• Аналогично, график процесса Орнштейна – Уленбека имеет генератор:

$A\; f\; (t,\; x)\; =\; \partial \; f\; \partial \; T\; (t,\; x)\; +\; \theta \; (\mu \; -\; x)\; \partial \; е\; \partial \; x\; (t,\; x)\; +\; \sigma \; 2\; 2\; \partial \; 2\; f\; \partial \; x\; 2\; (t,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; f\; (\; t,\; x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; (t,\; x)\; +\; \backslash \; theta\; (\backslash \; mu\; -x)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (t,\; x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; (t,\; x)\}$

• A геометрический Броуновское движение на $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, которое удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению $d\; X\; t\; =\; r\; X\; tdt\; +\; \alpha \; X\; td\; B\; t\; \{\backslash \; стиль\; текста\; dX\_\; \{t\}\; =\; rX\_\; \{t\}\; dt\; +\; \backslash \; alpha\; X\_\; \{t\}\; dB\_\; \{t\}\}$, имеет генератор:

$A\; f\; (x)\; =\; rxf\; \prime \; (x)\; +\; 1\; 2\; \alpha \; 2\; x\; 2\; f\; ″\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; f\; (x)\; =\; rxf\; \text{'}\; (x)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; f\; \text{'}\text{'}\; (x)\}$

• Формула Дынкина

• Калин, Овидиу (2015). Неформальное введение в стохастическое исчисление с приложениями. Сингапур: World Scientific Publishing. п. 315. ISBN 978-981-4678-93-3. (см. Главу 9)
• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-642-14394-6. ISBN 3-540-04758-1.(см. Раздел 7.3)