Бесконечный продукт

редактировать

В математике для последовательности комплексных чисел a 1, a 2, a 3,... бесконечное произведение

∏ n = 1 ∞ an = a 1 a 2 a 3 ⋯ {\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty } a_ {n} = a_ {1} a_ {2} a_ {3} \ cdots}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} = a_ {1} a_ {2} a_ {3} \ cdots }

определяется как предел для частичных продуктов a1a2... a n при неограниченном увеличении n. Говорят, что произведение сходится, если предел существует и не равен нулю. В противном случае говорят, что продукт расходится. Предел нуля обрабатывается специально, чтобы получить результаты, аналогичные результатам для бесконечных сумм. Некоторые источники допускают сходимость к 0, если есть только конечное число нулевых множителей и произведение ненулевых множителей ненулевое, но для простоты мы не допустим этого здесь. Если произведение сходится, то предел последовательности a n при неограниченном увеличении n должен быть равен 1, в то время как обратное, как правило, неверно.

Наиболее известными примерами бесконечных произведений, вероятно, являются некоторые из формул для π, например, следующие два произведения, соответственно, по Виете (Формула Вьете, первое опубликованное бесконечное произведение в математике) и Джон Уоллис (произведение Уоллиса ):

2 π = 2 2 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 + 2 + 2 2 ⋅ ⋯ {\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}) }}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdot \; \ cdots}

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}} \ cdot {\ гидроразрыва {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdot \; \ cdots}

π 2 = (2 1 ⋅ 2 3) ⋅ (4 3 ⋅ 4 5) ⋅ (6 5 ⋅ 6 7) ⋅ (8 7 ⋅ 8 9) ⋅ ⋯ = ∏ n = 1 ∞ (4 n 2 4 n 2 - 1). {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = {\ Big (} {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} {\ Big)} \ cdot { \ Big (} {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} {\ Big)} \ cdot \; \ cdots = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} \ right).}

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = {\ Big (} {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3} } {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} { 9}} {\ Big)} \ cdot \; \ cdots = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1} } \ right).}

Содержание

1 Критерии сходимости
2 Продуктовые представления функций
3 См. Также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Критерии сходимости

Произведение положительных действительных чисел

∏ N = 1 ∞ an {\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}

\ prod _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} a_ { n}

сходится к ненулевому действительному числу тогда и только тогда, когда сумма

∑ n = 1 ∞ журнал ⁡ (an) {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ log (a_ {n})}

\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} \ log (a_ {n})

сходится. Это позволяет переводить критерии сходимости для бесконечных сумм в критерии сходимости для бесконечных произведений. Тот же критерий применяется к произведениям произвольных комплексных чисел (включая отрицательные действительные числа), если логарифм понимается как фиксированная ветвь логарифма, которая удовлетворяет ln (1) = 0, при условии, что бесконечное произведение расходится, когда бесконечно много a n попадают за пределы области ln, тогда как конечное количество таких n может быть проигнорировано в сумме.

Для произведений вещественных чисел, в которых каждое $an ≥ 1 {\ displaystyle a_ {n} \ geq 1}$ $a_ {n} \ geq 1$ , записывается, например, как $an = 1 + pn, {\ displaystyle a_ {n} = 1 + p_ {n},}$ ${\ displaystyle a_ {n} = 1 + p_ {n},}$ где $pn ≥ 0 {\ displaystyle p_ {n} \ geq 0}$ $p_ {n} \ geq 0$ , границы

1 + ∑ N = 1 N pn ≤ ∏ N = 1 N (1 + pn) ≤ exp ⁡ (∑ n = 1 N pn) {\ displaystyle 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {N } p_ {n} \ leq \ prod _ {n = 1} ^ {N} \ left (1 + p_ {n} \ right) \ leq \ exp \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} \ right)}

1+ \ sum _ {{n = 1}} ^ {{N}} p_ {n} \ leq \ prod _ {{n = 1}} ^ {{N }} \ left (1 + p_ {n} \ right) \ leq \ exp \ left (\ sum _ {{n = 1}} ^ {{N}} p_ {n} \ right)

показывают, что бесконечное произведение сходится, если сходится бесконечная сумма p n. Это основано на теореме о монотонной сходимости. Мы можем показать обратное, заметив, что если $pn → 0 {\ displaystyle p_ {n} \ to 0}$ ${\ displaystyle p_ {n} \ to 0}$ , то

lim n → ∞ log ⁡ (1 + pn) pn = lim x → 0 журнал ⁡ (1 + x) x = 1, {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log (1 + p_ {n})} {p_ {n}} } = \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ log (1 + x)} {x}} = 1,}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ log (1 + p_ {n})} { p_ {n}}} = \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ log (1 + x)} {x}} = 1,}

и из теста сравнения пределов следует, что две серии

∑ N = 1 ∞ журнал ⁡ (1 + pn) и ∑ N = 1 ∞ pn, {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ log (1 + p_ {n}) \ quad {\ text {и}} \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ log (1 + p_ {n}) \ quad {\ text {and}} \ quad \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n },}

эквивалентны, что означает, что либо они сходятся, либо расходятся.

То же доказательство также показывает, что если $an = 1 - qn {\ displaystyle a_ {n} = 1-q_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {n} = 1-q_ {n}}$ для некоторого $0 ≤ qn < 1, {\displaystyle 0\leq q_{n}<1,}$ ${\ displaystyle 0 \ Leq q_ {n} <1,}$ , тогда $∏ N = 1 ∞ (1 - qn) {\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q_ {n})}$ ${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q_ {n})}$ сходится к ненулевому числу тогда и только тогда, когда сходится $∑ n = 1 ∞ qn {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q_ {n}}$ .

Если ряд $∑ N = 1 ∞ log ⁡ (an) {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ log (a_ {n})}$ $\ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} \ log (a_ {n})$ расходится к $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ , тогда последовательность частичных произведений a n сходится к нулю. Говорят, что бесконечное произведение расходится до нуля .

В случае, когда $pn {\ displaystyle p_ {n}}$ $p_ {n}$ имеет произвольные знаки, сходимость суммы $∑ N = 1 ∞ pn {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n}}$ $\ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} p_ {n}$ не гарантирует сходимость продукта $∏ n = 1 ∞ ( 1 + pn) {\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1 + p_ {n})}$ ${\ displaystyle \ prod _ { п = 1} ^ {\ infty} (1 + p_ {n})}$ . Например, если $pn = (- 1) nn {\ displaystyle p_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n}} {\ sqrt {n}}}}$ ${\ displaystyle p_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n}} {\ sqrt {n}}}}$ , тогда $∑ N = 1 ∞ pn {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n}}$ $\ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} p_ {n}$ сходится, но $∏ n = 1 ∞ ( 1 + pn) {\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1 + p_ {n})}$ ${\ displaystyle \ prod _ { п = 1} ^ {\ infty} (1 + p_ {n})}$ расходится до нуля. Однако, если $∑ n = 1 ∞ | p n | {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | p_ {n} |}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | p_ {n} |}$ сходится, тогда произведение $∏ n = 1 ∞ (1 + pn) {\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1 + p_ {n})}$ ${\ displaystyle \ prod _ { п = 1} ^ {\ infty} (1 + p_ {n})}$ сходится абсолютно - то есть факторы могут быть переставлены в любом порядке без изменения сходимости, или предельное значение бесконечного продукта. Кроме того, если $∑ n = 1 ∞ | p n | 2 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | p_ {n} | ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} | p_ {n} | ^ {2}}$ сходится, тогда сумма $∑ n = 1 ∞ pn { \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} p_ {n}}$ и произведение $∏ n = 1 ∞ (1 + pn) {\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1 + p_ {n})}$ ${\ displaystyle \ prod _ { п = 1} ^ {\ infty} (1 + p_ {n})}$ либо сходятся, либо расходятся.

Произведения функций

Одним из важных результатов, касающихся бесконечных произведений, является то, что каждая целая функция f (z) (то есть каждая функция, голоморфная по всей комплексной плоскости ) можно разложить на бесконечное произведение целых функций, каждая из которых имеет не более одного корня. В общем, если f имеет корень порядка m в начале координат и другие комплексные корни в u 1, u 2, u 3,... (перечислены с кратностями, равными их порядкам), то

f (z) = zme ϕ (z) ∏ n = 1 ∞ (1 - zun) exp ⁡ {zun + 1 2 (zun) 2 + ⋯ + 1 λ n (zun) λ n} {\ displaystyle f (z) = z ^ {m} e ^ {\ phi (z)} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {u_ {n}}} \ right) \ exp \ left \ lbrace {\ frac {z} {u_ {n}}} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac { z} {u_ {n}}} \ right) ^ {2} + \ cdots + {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} \ left ({\ frac {z} {u_ {n}} } \ right) ^ {\ lambda _ {n}} \ right \ rbrace}

f (z) = z ^ {m} e ^ {{\ phi (z)}} \ prod _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} \ left (1 - {\ frac {z} {u_ {n}}} \ right) \ exp \ left \ lbrace {\ frac {z} {u_ {n}}} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {z} {u_ {n}}} \ right) ^ {2} + \ cdots + {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} \ left ({\ frac {z} {u_ {n}}} \ right) ^ {{\ lambda _ {n}}} \ right \ rbrace

где λ n - неотрицательные целые числа, которые можно выбрать, чтобы произведение сходилось, а $ϕ (z) {\ displaystyle \ phi (z)}$ ${ \ displaystyle \ phi (z)}$ - некоторая целая функция (что означает, что термин перед произведением не будет иметь корней в комплексной плоскости). Вышеупомянутая факторизация не является уникальной, поскольку она зависит от выбора значений для λ n. Однако для большинства функций будет некоторое минимальное неотрицательное целое число p такое, что λ n = p дает сходящееся произведение, называемое каноническим представлением произведения. Этот p называется рангом канонического произведения. В случае p = 0 это принимает вид

f (z) = z m e ϕ (z) ∏ n = 1 ∞ (1 - z u n). {\ displaystyle f (z) = z ^ {m} e ^ {\ phi (z)} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {u_ {n) }}} \ right).}

f (z) = z ^ {m} e ^ {{\ phi (z)}} \ prod _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} \ left (1 - {\ frac {z} {u_ {n}}} \ right).

Это можно рассматривать как обобщение фундаментальной теоремы алгебры, поскольку для многочленов произведение становится конечным, а φ (z) постоянным.

В дополнение к этим примерам особое внимание следует уделить следующим представлениям:

Функция	Бесконечное представление продукта	Примечания
Простой полюс	$cc - z знак равно ∏ N = 1 ∞ e 1 n (zc) n 1 1 - z = ∏ n = 0 ∞ (1 + z 2 n) {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {c} { cz}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} e ^ {{\ frac {1} {n}} \, \ left ({\ frac {z} {c}} \ right) ^ {n}} \\ {\ frac {1} {1-z}} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (1 + z ^ {2 ^ {n}} \ right) \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {c} {cz}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} e ^ {{\ frac {1} {n}} \, \ left ({\ frac {z} {c} } \ right) ^ {n}} \\ {\ frac {1} {1-z}} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (1 + z ^ {2 ^ {n }} \ right) \ end {align}}}$
функция Sinc	$sin ⁡ π z π z = ∏ n = 1 ∞ (1 - z 2 n 2) {\ displaystyle {\ frac {\ sin \ pi z} {\ pi z}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2}}} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ pi z} {\ pi z}} = \ prod _ {n = 1 } ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {n ^ {2}}} \ right)}$	Это из-за Эйлера. Формула Уоллиса для π является частным случаем этого.
Взаимная гамма-функция	$1 Γ (z) = ze γ z ∏ n = 1 ∞ (1 + zn) e - zn = z ∏ n = 1 ∞ 1 + zn (1 + 1 n) z {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} = ze ^ {\ gamma z} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {z} {n}} \ right) e ^ {- {\ frac {z} {n}}} \\ = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1+ {\ frac {z} {n}}} {\ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {z}}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} = ze ^ {\ gamma z} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {z} {n}} \ right) e ^ {- {\ frac {z} {n}}} \\ = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1 + {\ frac {z} {n}}} {\ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {z }}} \ end {align}}}$	Шлёмильх
Сигма-функция Вейерштрасса	$σ (z) = z ∏ ω ∈ Λ ∗ (1 - z ω) ez 2 2 ω 2 + z ω {\ displaystyle \ sigma (z) = z \ prod _ {\ omega \ in \ Лямбда _ {}} \ left (1 - {\ frac {z} {\ omega}} \ right) e ^ {{\ frac {z ^ {2}} {2 \ omega ^ {2}}} + { \ frac {z} {\ omega}}}}$ $\ sigma (z) = z \ prod _ {{\ omega \ in \ Lambda _ {{}}}} \ left (1 - {\ frac {z} {\ omega}} \ right) e ^ {{ {\ гидроразрыва {z ^ {2}} {2 \ omega ^ {2}}} + {\ frac {z} {\ omega}}}}$	Здесь $Λ ∗ {\ displaystyle \ Lambda _ {}}$ $\ Lambda _ {{}}$ - решетка без начала координат.
символ Q-Поххаммера	$(z; q) ∞ = ∏ N = 0 ∞ (1 - zqn) {\ displaystyle (z; q) _ {\ infty} = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} (1-zq ^ {n})}$ $(z; q) _ {\ infty} = \ прод _ {{п = 0}} ^ {\ infty} (1-zq ^ {n})$	Широко используется в теории q-аналога. Функция Эйлера - это особый случай.
тета-функция Рамануджана	$f (a, b) = ∑ n = - ∞ ∞ an (n + 1) 2 bn (n - 1) 2 = ∏ n = 0 ∞ (1 + an + 1 bn) (1 + anbn + 1) (1 - an + 1 bn + 1) {\ displaystyle {\ begin {align} f (a, b) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a ^ {\ frac {n (n + 1)} {2}} b ^ {\ frac {n (n-1)} {2}} \\ = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} (1 + a ^ {n + 1} b ^ {n}) (1 + a ^ {n} b ^ {n + 1}) (1-a ^ {n + 1} b ^ {n + 1}) \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} f (a, b) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a ^ {\ frac {n (n + 1)} {2}} b ^ {\ frac {n (n-1)} {2}} \\ = \ prod _ { n = 0} ^ {\ infty} (1 + a ^ {n + 1} b ^ {n}) (1 + a ^ {n} b ^ {n + 1}) (1-a ^ {n + 1) } б ^ {п + 1}) \ end {align}}}$	Выражение тройного произведения Якоби, также используемое в выражении тета-функции Якоби
дзета-функция Римана	$ζ (z) Знак равно ∏ N знак равно 1 ∞ 1 1 - pn - z {\ displaystyle \ zeta (z) = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-p_ {n} ^ {- z}}}}$ $\ zeta (z) = \ prod _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {1} {1-p_ {n} ^ {{- z}}}}$	Здесь p n обозначает n-е простое число. Это частный случай произведения Эйлера.

Последнее из них не является представлением произведения того же типа, что обсуждалось выше, поскольку ζ не является целым. Скорее, приведенное выше представление произведения ζ (z) сходится именно при Re (z)>1, где это аналитическая функция. Используя методы аналитического продолжения, эта функция может быть однозначно расширена до аналитической функции (все еще обозначаемой ζ (z)) на всей комплексной плоскости, за исключением точки z = 1, где она имеет простой полюс.

См. также

Литература

Кнопп, Конрад (1990). Теория и применение бесконечных рядов. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66165-0.
Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Бостон: Макгроу Хилл. ISBN 0-07-054234-1.
Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А., ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.

Внешние ссылки