Произведение Уоллиса

редактировать

Бесконечное произведение для числа пи

Сравнение сходимости произведения Уоллиса (фиолетовые звездочки) и нескольких исторических бесконечных рядов для числа π. S n - это приближение после принятия n членов. Каждый последующий участок увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (щелкните для подробностей)

В математике, произведение Уоллиса для π, опубликованное в 1656 году Джоном Уоллисом, утверждает, что

π 2 = ∏ n = 1 ∞ 4 n 2 4 n 2 - 1 = ∏ n = 1 ∞ (2 n 2 n - 1 ⋅ 2 n 2 n + 1) = (2 1 ⋅ 2 3) ⋅ (4 3 ⋅ 4 5) ⋅ (6 5 ⋅ 6 7) ⋅ (8 7 ⋅ 8 9) ⋅ ⋯ {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ pi} {2}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({ \ frac {2n} {2n-1}} \ cdot {\ frac {2n} {2n + 1}} \ right) \\ [6pt] = {\ Big (} {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} {\ Big) } \ cdot {\ Big (} {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {8} {7 }} \ cdot {\ frac {8} {9}} {\ Big)} \ cdot \; \ cdots \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ pi} {2}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2n} {2n-1}} \ cdot {\ frac {2n} {2n + 1} } \ right) \\ [6pt] = {\ Big (} {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac { 6} {7}} {\ Big)} \ cdot {\ Big (} {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} {\ Big)} \ cdot \; \ cdots \\\ конец {выровнен}}}

Содержание

1 Доказательство с использованием интеграции
2 Доказательство с использованием бесконечного произведения Эйлера для синусоидальной функции
3 Связь с приближением Стирлинга
4 Производная дзета-функции Римана в нуле
5 См. также
6 Примечания
7 Внешние ссылки

Доказательство использования ng интегрирование

Уоллис вывел это бесконечное произведение, как это делается сегодня в математических книгах, исследуя $∫ 0 π sin n ⁡ xdx {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} x \, dx}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} x \, dx}$ для четных и нечетных значений $n {\ displaystyle n}$ $n$ , и отмечая, что для больших $n {\ displaystyle n}$ $n$ , увеличение $n {\ displaystyle n}$ $n$ на 1 приводит к изменению, которое становится все меньше, как $n {\ displaystyle n}$ $n$ увеличивается. Пусть

I (n) = ∫ 0 π sin n ⁡ x d x. {\ displaystyle I (n) = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} x \, dx.}

{\ displaystyle Я (п) = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} x \, dx.}

(Это форма интегралов Уоллиса.) Интегрировать по частям :

u = sin n - 1 ⁡ x ⇒ du = (n - 1) sin n - 2 ⁡ x cos ⁡ xdxdv = sin ⁡ xdx ⇒ v = - cos ⁡ x {\ displaystyle { \ begin {align} u = \ sin ^ {n-1} x \\\ Rightarrow du = (n-1) \ sin ^ {n-2} x \ cos x \, dx \\ dv = \ sin x \, dx \\\ Стрелка вправо v = - \ cos x \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} u = \ sin ^ {n-1} x \\\ Rightarrow du = (n-1) \ sin ^ {n-2} x \ cos x \, dx \\ dv = \ sin x \, dx \\\ Rightarrow v = - \ cos x \ end {выровнено }}}

⇒ I (n) = ∫ 0 π sin n ⁡ xdx = - sin n - 1 ⁡ x cos ⁡ x | 0 π - ∫ 0 π (- cos ⁡ x) (n - 1) sin n - 2 ⁡ x cos ⁡ xdx = 0 + (n - 1) ∫ 0 π cos 2 ⁡ x sin n - 2 ⁡ xdx, n>1 = (n - 1) ∫ 0 π (1 - sin 2 ⁡ x) sin n - 2 ⁡ xdx = (n - 1) ∫ 0 π sin n - 2 ⁡ xdx - (n - 1) ∫ 0 π sin n ⁡ xdx = (n - 1) I (n - 2) - (n - 1) I (n) = n - 1 n I (n - 2) ⇒ I (n) I (n - 2) = n - 1 n ⇒ I (2 n - 1) I (2 n + 1) = 2 n + 1 2 n {\ displaystyle {\ begin {align} \ Rightarrow I (n) = \ int _ {0} ^ {\ pi } \ sin ^ {n} x \, dx \\ [6pt] {} = - \ sin ^ {n-1} x \ cos x {\ Biggl |} _ {0} ^ {\ pi} - \ int _ {0} ^ {\ pi} (- \ cos x) (n-1) \ sin ^ {n-2} x \ cos x \, dx \\ [6pt] {} = 0+ (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos ^ {2} x \ sin ^ {n-2} x \, dx, \ qquad n>1 \\ [6pt] {} = (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi} (1- \ sin ^ {2} x) \ sin ^ {n-2} x \, dx \\ [6pt] {} = (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} x \, dx- (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n} x \, dx \ \ [6pt] {} = (n-1) I (n-2) - (n-1) I (n) \\ [6pt] {} = {\ frac {n-1} {n}} I (n-2) \\ [6pt] \ Rightarrow {\ frac {I (n)} {I (n-2)}} = {\ frac {n-1} {n}} \\ [6pt] \ Rightarrow {\ frac {I (2n-1)} {I (2n + 1)}} = {\ frac {2n + 1} {2n}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\Rightarrow I(n)=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx\\[6pt]{}=-\sin ^{n-1}x\cos x{\Biggl |}_{0}^{\pi }-\int _{0}^{\pi }(-\cos x)(n-1)\sin ^{n-2}x\cos x\,dx\\[6pt]{}=0+(n-1)\int _{0}^{\pi }\cos ^{2}x\sin ^{n-2}x\,dx,\qquad n>1 \ \ [6pt] {} = (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi} (1- \ sin ^ {2} x) \ sin ^ {n-2} x \, dx \\ [ 6pt] {} = (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {n-2} x \, dx- (n-1) \ int _ {0} ^ {\ pi } \ sin ^ {n} x \, dx \\ [6pt] {} = (n-1) I (n-2) - (n-1) I (n) \\ [6pt] {} = {\ frac {n-1} {n}} I (n-2) \\ [6pt] \ Rightarrow {\ frac {I (n)} {I (n-2)}} = {\ frac {n -1} {n}} \\ [6pt] \ Rightarrow {\ frac {I (2n-1)} {I (2n + 1)}} = {\ frac {2n + 1} {2n}} \ end {align}}

Это результат будет использован ниже:

I (0) = ∫ 0 π dx = x | 0 π = π I (1) = ∫ 0 π sin ⁡ x d x = - cos ⁡ x | 0 π = (- cos ⁡ π) - (- cos ⁡ 0) = - (- 1) - (- 1) = 2 I (2 n) = ∫ 0 π sin 2 n ⁡ xdx = 2 n - 1 2 n Я (2 n - 2) знак равно 2 n - 1 2 n ⋅ 2 n - 3 2 n - 2 I (2 n - 4) {\ displaystyle {\ begin {выровнено} I (0) = \ int _ {0 } ^ {\ pi} dx = x {\ Biggl |} _ {0} ^ {\ pi} = \ pi \\ [6pt] I (1) = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin x \, dx = - \ cos x {\ Biggl |} _ {0} ^ {\ pi} = (- \ cos \ pi) - (- \ cos 0) = - (- 1) - (- 1) = 2 \\ [6pt] I (2n) = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2n} x \, dx = {\ frac {2n-1} {2n}} I (2n- 2) = {\ frac {2n-1} {2n}} \ cdot {\ frac {2n-3} {2n-2}} I (2n-4) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I (0) = \ int _ {0} ^ {\ pi} dx = x {\ Biggl |} _ {0} ^ {\ pi} = \ pi \\ [6pt] I (1) = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin x \, dx = - \ cos x {\ Biggl |} _ {0} ^ {\ pi} = (- \ cos \ pi) - (- \ cos 0) = - (- 1) - (- 1) = 2 \\ [6pt] I (2n) = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2n} x \, dx = {\ frac {2n-1} {2n}} I (2n-2) = {\ frac {2n-1} {2n} } \ cdot {\ frac {2n-3} {2n-2}} I (2n-4) \ end {align}}}

Повторение процесса,

= 2 n - 1 2 n ⋅ 2 n - 3 2 n - 2 ⋅ 2 n - 5 2 n - 4 ⋅ ⋯ ⋅ 5 6 ⋅ 3 4 ⋅ 1 2 I (0) = π ∏ k = 1 п 2 К - 1 2 К {\ Displaystyle = {\ гидроразрыва {2n-1} {2n}} \ cdot {\ frac {2n-3} {2n-2}} \ cdot {\ frac {2n-5} { 2n-4}} \ cdot \ cdots \ cdot {\ frac {5} {6}} \ cdot {\ frac {3} {4}} \ cdot {\ frac {1} {2}} I (0) = \ pi \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2k-1} {2k}}}

= {\ frac {2n-1} {2n}} \ cdot {\ frac {2n-3} {2n-2}} \ cdot {\ frac {2n-5} {2n-4}} \ cdot \ cdots \ cdot {\ frac {5} {6}} \ cdot {\ frac {3} {4}} \ cdot {\ frac { 1} {2}} I (0) = \ pi \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2k-1} {2k}}

I (2 n + 1) = ∫ 0 π sin 2 n + 1 ⁡ xdx = 2 N 2 N + 1 Я (2 N - 1) знак равно 2 N 2 N + 1 ⋅ 2 N - 2 2 N - 1 I (2 N - 3) {\ Displaystyle I (2n + 1) = \ int _ {0 } ^ {\ pi} \ sin ^ {2n + 1} x \, dx = {\ frac {2n} {2n + 1}} I (2n-1) = {\ frac {2n} {2n + 1}} \ cdot {\ frac {2n -2} {2n-1}} I (2n-3)}

{\ displaystyle I (2n + 1) = \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin ^ {2n + 1} x \, dx = {\ frac { 2n} {2n + 1}} I (2n-1) = {\ frac {2n} {2n + 1}} \ cdot {\ frac {2n-2} {2n-1}} I (2n-3)}

Повторяя процесс,

= 2 n 2 n + 1 ⋅ 2 n - 2 2 n - 1 ⋅ 2 n - 4 2 n - 3 ⋅ ⋯ ⋅ 6 7 ⋅ 4 5 ⋅ 2 3 I (1) = 2 ∏ К = 1 N 2 К 2 К + 1 {\ Displaystyle = {\ frac {2n} {2n + 1}} \ cdot {\ frac {2n-2} {2n-1}} \ cdot {\ frac {2n-4} {2n-3}} \ cdot \ cdots \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {4 } {5}} \ cdot {\ frac {2} {3}} I (1) = 2 \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2k} {2k + 1}}}

= {\ frac {2n} {2n + 1}} \ cdot {\ frac {2n-2} {2n-1}} \ cdot {\ frac {2n-4} {2n -3}} \ cdot \ cdots \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {2} {3}} I (1) = 2 \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2k} {2k + 1}}

грех 2 N + 1 ⁡ Икс ≤ грех 2 N ⁡ Икс ≤ грех 2 N - 1 ⁡ Икс, 0 ≤ Икс ≤ π {\ displaystyle \ sin ^ {2n + 1} x \ Leq \ sin ^ {2n} x \ leq \ sin ^ {2n-1} x, 0 \ leq x \ leq \ pi}

\ sin ^ {2n + 1} x \ leq \ sin ^ {2n} x \ leq \ sin ^ {2n-1} x, 0 \ leq x \ leq \ pi

⇒ I (2 n + 1) ≤ I (2 n) ≤ I (2 n - 1) {\ displaystyle \ Rightarrow I (2n + 1) \ leq I (2n) \ leq I (2n-1)}

\ Rightarrow I (2n + 1) \ leq I (2n) \ leq I (2n-1)

⇒ 1 ≤ I (2 n) I (2 n + 1) ≤ I (2 n - 1) I (2 п + 1) знак равно 2 N + 1 2 N {\ Displaystyle \ Rightarrow 1 \ leq {\ frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} \ leq {\ frac {I (2n-1)} {I (2n + 1)}} = {\ frac {2n + 1} {2n}}}

\ Rightarrow 1 \ leq {\ frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} \ leq {\ frac {I (2n-1)} {I (2n +1)}} = {\ frac {2n + 1} {2n}}

, из результатов выше.

По теореме о сжатии,

⇒ lim n → ∞ я (2 N) я (2 N + 1) знак равно 1 {\ Displaystyle \ Rightarrow \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} = 1}

\ Rightarrow \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} = 1

lim n → ∞ I (2 n) I (2 n + 1) знак равно π 2 lim N → ∞ ∏ К знак равно 1 N (2 K - 1 2 K ⋅ 2 K + 1 2 K) = 1 {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} = {\ frac {\ pi} {2}} \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {2k-1} {2k}} \ cdot {\ frac {2k + 1} {2k}} \ right) = 1}

\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {I (2n)} {I (2n + 1)}} = {\ frac {\ pi} {2}} \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {2k-1} {2k}} \ cdot {\ frac {2k + 1} {2k}} \ right) = 1

⇒ π 2 = ∏ k = 1 ∞ (2 k 2 k - 1 ⋅ 2 К 2 К + 1) знак равно 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ ⋯ {\ displaystyle \ Rightarrow {\ frac {\ pi} {2}} = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2k} {2k-1}} \ cdot {\ frac {2k} {2k + 1}} \ right) = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot \ cdots}

\ Rightarrow {\ frac {\ pi} {2}} = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2k} {2k-1}} \ cdot {\ frac {2k} {2k + 1}} \ right) = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7 }} \ cdot \ cdots

Доказательство с использованием бесконечного произведения Эйлера для синусоидальной функции

Хотя приведенное выше доказательство обычно используется в современных учебниках по математике, продукт Уоллиса ретроспективно, легкое следствие более позднего бесконечного произведения Эйлера для синусоидальной функции.

sin ⁡ xx = ∏ n = 1 ∞ ( 1 - Икс 2 N 2 π 2) {\ Displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {x ^ { 2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ right)}

{\ frac {\ sin x} {x}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ right)

Пусть $x = π 2 {\ displaystyle x = {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle x = {\ frac {\ pi} {2}}}$ :

⇒ 2 π = ∏ n = 1 ∞ (1 - 1 4 n 2) ⇒ π 2 = ∏ n = 1 ∞ (4 n 2 4 n 2 - 1) = ∏ n = 1 ∞ (2 n 2 n - 1 ⋅ 2 N 2 n + 1) = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋯ {\ displaystyle {\ begin {align} \ Rightarrow {\ frac {2} {\ pi}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {4n ^ {2}}} \ right) \\ [6pt] \ Rightarrow {\ frac {\ pi } {2}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} \ right) \\ [6pt ] = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2n} {2n-1}} \ cdot {\ frac {2n} {2n + 1}} \ right) = { \ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Rightarrow {\ frac {2 } {\ pi}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {4n ^ {2}}} \ right) \\ [6pt] \ Rightarrow {\ frac {\ pi} {2}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} \ справа) \\ [6pt] = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2n} {2n-1}} \ cdot {\ frac {2n} {2n + 1} } \ right) = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5} } \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdots \ end {align}}}

Отношение к приближению Стирлинга

Приближение Стирлинга для факториальной функции $п! {\ displaystyle n!}$ $n!$ утверждает, что

n! = 2 π n (n e) n [1 + O (1 n)]. {\ displaystyle n! = {\ sqrt {2 \ pi n}} {\ left ({\ frac {n} {e}} \ right)} ^ {n} \ left [1 + O \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ right].}

{\ displaystyle n! = {\ sqrt {2 \ pi n}} {\ left ({\ frac {n} {e}} \ right)} ^ {n} \ left [1 + O \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ right].}

Теперь рассмотрим конечные приближения к произведению Уоллиса, полученные путем взятия первых $k {\ displaystyle k}$ $k$ членов в продукт

pk = ∏ N = 1 К 2 N 2 N - 1 2 N 2 N + 1, {\ displaystyle p_ {k} = \ prod _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {2n } {2n-1}} {\ frac {2n} {2n + 1}},}

{\ displaystyle p_ {k} = \ prod _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {2n} {2n-1}} {\ frac {2n} {2n + 1}},}

где $pk {\ displaystyle p_ {k}}$ $p_{k}$ можно записать как

pk = 1 2 k + 1 ∏ n = 1 k (2 n) 4 [(2 n) (2 n - 1)] 2 = 1 2 k + 1 ⋅ 2 4 k (k!) 4 [(2 k) ! ] 2. {\ displaystyle {\ begin {align} p_ {k} = {1 \ over {2k + 1}} \ prod _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {(2n) ^ {4}} { [(2n) (2n-1)] ^ {2}}} \\ [6pt] = {1 \ over {2k + 1}} \ cdot {{2 ^ {4k} \, (k!) ^ { 4}} \ over {[(2k)!] ^ {2}}}. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} p_ {k} = {1 \ over {2k + 1}} \ prod _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {(2n) ^ { 4}} {[(2n) (2n-1)] ^ {2}}} \\ [6pt] = {1 \ over {2k + 1}} \ cdot {{2 ^ {4k} \, (k !) ^ {4}} \ over {[(2k)!] ^ {2}}}. \ End {align}}}

Подстановка приближения Стирлинга в это выражение (оба для $k! {\ Displaystyle k!}$ $k!$ и $(2 k)! {\ Displaystyle (2k)!}$ ${\ displaystyle (2k)!}$ ) можно вывести (после коротких вычислений), что $pk {\ displaystyle p_ {k} }$ $p_{k}$ сходится к $π 2 {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ frac {\ pi} {2}}$ как $k → ∞ {\ displaystyle k \ rightarrow \ infty }$ $k \ rightarrow \ infty$ .

Производная дзета-функции Римана в нуле

дзета-функция Римана и эта-функция Дирихле могут быть определены:

ζ (s) = ∑ n = 1 ∞ 1 нс, ℜ (s)>1 η (s) = (1-2 1 - s) ζ (s) = ∑ n = 1 ∞ (- 1) n - 1 нс, ℜ (s)>0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}, \ Re ( s)>1 \\ [6pt] \ eta (s) = (1-2 ^ {1-s}) \ zeta (s) \\ [6pt] = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n ^ {s}}}, \ Re (s)>0 \ end {align}}}

{\begin{aligned}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\Re (s)>1 \\ [6pt] \ eta (s) = (1-2 ^ {1-s}) \ zeta (s) \\ [6pt] = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1} } {n ^ {s}}}, \ Re (s)>0 \ end {align}}

Применяя преобразование Эйлера к последней серии, получаем следующее:

η (s) = 1 2 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ (- 1) n - 1 [1 нс - 1 (n + 1) s], ℜ (s)>- 1 ⇒ η ′ (s) = (1-2 1 - s) ζ ′ (s) + 2 1 - s (ln ⁡ 2) ζ (s) = - 1 2 ∑ n = 1 ∞ (- 1) n - 1 [ln ⁡ nns - ln ⁡ (n + 1) (n + 1) s], ℜ (s)>- 1 {\ displaystyle {\ begin {align} \ eta (s) = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} \ left [{\ frac {1} {n ^ {s}}} - {\ frac {1} {(n + 1) ^ {s}}} \ right], \ Re (s)>- 1 \\ [6pt] \ Rightarrow \ eta '(s) = (1-2 ^ {1-s}) \ zeta' (s) + 2 ^ {1- s} (\ ln 2) \ zeta (s) \\ [6pt] = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n -1} \ left [{\ frac {\ ln n} {n ^ {s}}} - {\ frac {\ ln (n + 1)} {(n + 1) ^ {s }}} \ right], \ Re (s)>- 1 \ end {align}}}

{\begin{aligned}\eta (s)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\right],\Re (s)>-1 \\ [6pt] \ Rightarrow \ eta '(s) = (1-2 ^ {1-s}) \ zeta '(s) + 2 ^ {1-s} (\ ln 2) \ zeta (s) \\ [6pt] = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} \ left [{\ frac {\ ln n} {n ^ {s}}} - {\ frac {\ ln (n + 1)} {(n + 1) ^ {s}}} \ right], \ Re (s)>- 1 \ end {align}}

⇒ η ′ (0) = - ζ ′ (0) - ln ⁡ 2 = - 1 2 ∑ n = 1 ∞ (- 1) n - 1 [ln ⁡ n - ln ⁡ (n + 1)] = - 1 2 ∑ n = 1 ∞ (- 1) n - 1 ln ⁡ nn + 1 = - 1 2 ( ln ⁡ 1 2 - ln ⁡ 2 3 + ln ⁡ 3 4 - ln ⁡ 4 5 + ln ⁡ 5 6 - ⋯) = 1 2 (ln ⁡ 2 1 + ln ⁡ 2 3 + ln ⁡ 4 3 + ln ⁡ 4 5 + ln ⁡ 6 5 + ⋯) = 1 2 ln ⁡ (2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ ⋯) = 1 2 ln ⁡ π 2 ⇒ ζ ′ (0) = - 1 2 ln ⁡ (2 π) {\ displaystyle {\ begin {align} \ Rightarrow \ eta '(0) = - \ zeta' (0) - \ ln 2 = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} \ left [\ ln n- \ ln (n + 1) \ right] \\ [6pt] = - {\ frac {1} {2} } \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n-1} \ ln {\ frac {n} { n + 1}} \\ [6pt] = - {\ frac {1} {2}} \ left (\ ln {\ frac {1} {2}} - \ ln {\ frac {2} {3} } + \ ln {\ frac {3} {4}} - \ ln {\ frac {4} {5}} + \ ln {\ frac {5} {6}} - \ cdots \ right) \\ [6pt ] = {\ frac {1} {2}} \ left (\ ln {\ frac {2} {1}} + \ ln {\ frac {2} {3}} + \ ln {\ frac {4} {3}} + \ ln {\ frac {4} {5}} + \ ln {\ frac {6} {5}} + \ cdots \ right) \\ [6pt] = {\ frac {1} { 2}} \ ln \ left ({\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot \ cdots \ right) = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {\ pi} {2}} \\\ Rightarrow \ zeta '(0) = - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (2 \ pi \ right) \ end {align}}}

{\begin{aligned}\Rightarrow \eta '(0)=-\zeta '(0)-\ln 2=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left[\ln n-\ln(n+1)\right]\\[6pt]=-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\ln {\frac {n}{n+1}}\\[6pt]=-{\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {1}{2}}-\ln {\frac {2}{3}}+\ln {\frac {3}{4}}-\ln {\frac {4}{5}}+\ln {\frac {5}{6}}-\cdots \right)\\[6pt]={\frac {1}{2}}\left(\ln {\frac {2}{1}}+\ln {\frac {2}{3}}+\ln {\frac {4}{3}}+\ln {\frac {4}{5}}+\ln {\frac {6}{5}}+\cdots \right)\\[6pt]={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot \cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\pi }{2}}\\\Rightarrow \zeta '(0)=-{\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi \right)\end{aligned}}

См. также

Математический портал

Джон Уоллис, английский математик, которому частично приписывают развитие исчисления бесконечно малых и pi.
формулы Вьете, другой формулы бесконечного произведения для $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ .
Лейбница формула для π, бесконечной суммы, которая может быть преобразована в бесконечное произведение Эйлера для $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ .
Решето Уоллиса

Примечания

Внешние ссылки

, Энциклоп edia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
«Почему это произведение равно π / 2? Новое доказательство формулы Уоллиса для числа π. " 3Blue1Brown. 20 апреля 2018 г. - через YouTube.