Войти
В математике, бесконечномерная голоморфия является ветвью функциональный анализ. Он связан с обобщением концепции голоморфной функции на функции, определенные и принимающие значения в комплексе банаховых пространствах (или пространствах Фреше подробнее обычно), как правило, бесконечного размера. Это один из аспектов нелинейного функционального анализа.
Первым шагом в расширении теории голоморфных функций за пределы одного комплексного измерения является рассмотрение так называемых векторнозначных голоморфных функций, которые все еще определены в комплексной плоскости C, но принимают значения в банаховом пространстве. Такие функции важны, например, при построении голоморфного функционального исчисления для линейных ограниченных операторов.
Определение. Функция f: U → X, где U ⊂ C - открытое подмножество, а X - комплексное банахово пространство, называется голоморфным, если оно комплексно-дифференцируемое; то есть для каждой точки z ∈ U существует следующий предел :
Можно определить линейный интеграл векторнозначной голоморфной функции f: U → X вдоль спрямляемой кривой γ: [a, b] → U точно так же, как для комплекснозначных голоморфных функций, как предел сумм вида
где a = t 0< t1<... < tn= b - подразделение интервала [a, b], поскольку длины интервалов подразделения приближаются к нулю.
Это быстрая проверка того, что интегральная теорема Коши также верна для векторнозначных голоморфных функций. В самом деле, если f: U → X - такая функция, а T: X → C - ограниченный линейный функционал, можно показать, что
Кроме того, композиция T of: U → C является комплекснозначной голоморфной функцией. Следовательно, для γ a простой замкнутой кривой, внутренность которой содержится в U, интеграл справа равен нулю по классической интегральной теореме Коши. Тогда, поскольку T произвольно, из теоремы Хана – Банаха следует, что
что доказывает интегральную теорему Коши в векторнозначном случае.
Используя этот мощный инструмент, можно затем доказать интегральную формулу Коши и, как и в классическом случае, что любая векторнозначная голоморфная функция аналитическая.
Полезный Критерием голоморфности функции f: U → X является то, что T o f: U → C является голоморфной комплекснозначной функцией для любого линейного непрерывного функционала Т: Х → С . Такое f слабо голоморфно. Можно показать, что функция, определенная на открытом подмножестве комплексной плоскости со значениями в пространстве Фреше, голоморфна тогда и только тогда, когда она слабо голоморфна.
В более общем смысле, учитывая два комплексных банаховых пространства X и Y и открытое множество U ⊂ X, f: U → Y называется голоморфна, если производная Фреше функции f существует в каждой точке в U. Можно показать, что в этом более общем контексте все еще верно, что голоморфная функция является аналитической, т. Е. его можно локально расширить в ряд по мощности. Однако уже неверно, что если функция определена и голоморфна в шаре, ее степенной ряд вокруг центра шара сходится во всем шаре; например, существуют голоморфные функции, определенные на всем пространстве, которые имеют конечный радиус сходимости.
В общем случае, учитывая два сложных топологических векторных пространства X и Y и открытое множество U ⊂ X, существуют различные способы определения голоморфности функции f: U → Y. В отличие от конечномерного случая, когда X и Y бесконечномерны, свойства голоморфных функций могут зависят от того, какое определение выбрано. Чтобы ограничить количество возможностей, которые мы должны рассмотреть, мы будем обсуждать голоморфность только в случае, когда X и Y локально выпуклые.
. В этом разделе представлен список определений, начиная от самого слабого понятия к самому сильному. Он завершается обсуждением некоторых теорем, связывающих эти определения, когда пространства X и Y удовлетворяют некоторым дополнительным ограничениям.
Голоморфия Гато - это прямое обобщение слабой голоморфности на полностью бесконечномерную систему.
Пусть X и Y - локально выпуклые топологические векторные пространства, а U ⊂ X - открытое множество. Функция f: U → Y называется голоморфной по Гато, если для любых a ∈ U, b ∈ X и любого линейного непрерывного функционала φ: Y → C, функция
является голоморфная функция от z в окрестности начала координат. Набор голоморфных функций Гато обозначается H G (U, Y).
При анализе голоморфных функций Гато любые свойства конечномерных голоморфных функций сохраняются на конечномерных подпространствах X. Однако, как обычно в функциональном анализе, эти свойства могут не объединяться равномерно, давая соответствующие свойства этих функций на полностью открытых множествах.
- это однородный многочлен степени n по y, связанный с полилинейным оператором Df (x). Сходимость этого ряда не равномерна. Точнее, если V ⊂ X - фиксированное конечномерное подпространство, то ряд сходится равномерно в достаточно малых компактных окрестностях точки 0 ∈ Y. Однако, если подпространству V разрешено варьироваться, сходимость не будет иметь место: в общем случае не могут быть однородными по отношению к этой вариации. Заметим, что это резко контрастирует с конечномерным случаем.Если f: (U ⊂ X 1) × (V ⊂ X 2) → Y - функция, которая по отдельности голоморфна по Гато по каждому из своих аргументов, тогда f голоморфна по Гато на пространстве произведения.
Функция f: (U ⊂ X) → Y является гипоаналитическим, если f ∈ H G (U, Y) и, кроме того, f непрерывен на относительно компактных подмножествах U.
Функция f ∈ H G (U, Y) голоморфна, если для любого x ∈ U функция Тейлора разложение в ряд
(существование которого уже гарантировано голоморфностью Гато) сходится и непрерывно по y в окрестности 0 ∈ X. Таким образом, голоморфность объединяет понятие слабой голоморфности с сходимость разложения степенного ряда. Набор голоморфных функций обозначается H (U, Y).
Функция f: (U ⊂ X) → Y называется локально ограниченной, если каждая точка U имеет окрестность, образ которой при f ограничена в Y. Если, кроме того, f голоморфна по Гато на U, то f локально ограничена голоморфна . В этом случае мы пишем f ∈ H LB (U, Y).
