Гиперконус

редактировать

Эта статья о геометрической концепции. Для механизма повторного входа космического корабля см. Hypercone (космический корабль).

Стереографическая проекция образующих сферического конуса (красный), параллелей (зеленый) и гипермеридианов (синий). Благодаря конформному свойству стереографической проекции кривые пересекаются друг с другом ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые представляют собой круги или прямые линии. Образующие и параллели образуют трехмерный двойной конус. Гипермеридианы образуют набор концентрических сфер.

В геометрии, A гиперконус (или шаровой конус) фигура в 4-мерном евклидовом пространстве представлена уравнением

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -w ^ {2} = 0.}

x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -w ^ {2} = 0.

Это квадратичная поверхность и одно из возможных 3- многообразий, которые являются 4-мерными эквивалентами конической поверхности в 3-х измерениях. Его также называют сферическим конусом, потому что его пересечения с гиперплоскостями, перпендикулярными оси w, являются сферами. Четырехмерный правый сферической гиперконус можно рассматривать как сферы, которая расширяется с течением времени, начиная свое расширение от одного точечного источника, таким образом, что центр расширяющейся сферы остается фиксированным. Косой сферической гиперконус будет сферой, которая расширяется со временем, снова начинает свое расширение от точечного источника, но таким образом, что центр расширяющейся сферы двигается с равномерной скоростью.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Параметрическая форма
2 Геометрическая интерпретация
- 2.1 Конструкция
3 измерения
- 3.1 Гиперобъем
- 3.2 Объем поверхности
4 Временная интерпретация
5 См. Также
6 Ссылки

Параметрическая форма

Правый сферический гиперкон можно описать функцией

{\ Displaystyle {\ vec {\ sigma}} (\ фи, \ тета, т) = (тс \ соз \ тета \ соз \ фи, тс \ соз \ тета \ грех \ фи, тс \ грех \ тета, т) }

{\ vec \ sigma} (\ phi, \ theta, t) = (ts \ cos \ theta \ cos \ phi, ts \ cos \ theta \ sin \ phi, ts \ sin \ theta, t)

с вершиной в начале координат и скоростью расширения s.

Правый сферический гиперкон радиуса r и высоты h описывается функцией

{\ Displaystyle {\ vec {\ sigma}} (\ фи, \ тета, т) = (т \ соз \ фи \ грех \ тета, т \ грех \ фи \ грех \ тета, т \ соз \ тета, {\ гидроразрыв {h} {r}} t)}

{\ Displaystyle {\ vec {\ sigma}} (\ фи, \ тета, т) = (т \ соз \ фи \ грех \ тета, т \ грех \ фи \ грех \ тета, т \ соз \ тета, {\ гидроразрыв {h} {r}} t)}

Тогда наклонный сферический гиперкон можно описать функцией

{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} (\ phi, \ theta, t) = (v_ {x} t + ts \ cos \ theta \ cos \ phi, v_ {y} t + ts \ cos \ theta \ грех \ фи, v_ {z} t + ts \ sin \ theta, t)}

{\ vec \ sigma} (\ phi, \ theta, t) = (v_ {x} t + ts \ cos \ theta \ cos \ phi, v_ {y} t + ts \ cos \ theta \ sin \ phi, v_ {z} t + ts \ sin \ theta, t)

где - 3-скорость центра расширяющейся сферы. Примером такого конуса может быть расширяющаяся звуковая волна, видимая с точки зрения движущейся системы отсчета: например, звуковая волна реактивного самолета, видимая из собственной системы отсчета реактивного самолета. ${\ displaystyle (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$ $(v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})$

Обратите внимание, что трехмерные поверхности выше охватывают 4 -мерные гиперобъемы, которые являются собственно 4-конусами.

Геометрическая интерпретация

Сферический конус состоит из двух неограниченных шарниров, которые встречаются в начале координат и являются аналогами шарниров трехмерной конической поверхности. В верхнем ПОКРОВНО соответствует половине с положительным ш -координатой, и нижний ПОКРОВНО соответствует половине с отрицательным ш -координаты.

Если он ограничен между гиперплоскостями w = 0 и w = r для некоторого ненулевого r, то он может быть замкнут 3-шаром радиуса r с центром в (0,0,0, r), так что он ограничивает конечный 4-мерный объем. Этот объем определяется формулой1/3π r ⁴, и является 4-мерным эквивалентом твердого конуса. Мяч можно рассматривать как «крышку» в основании 4-мерного конуса, а начало координат становится его «вершиной».

Эта форма может быть спроецирована в трехмерное пространство различными способами. При проецировании на гиперплоскость xyz ее изображение представляет собой шар. При проецировании на гиперплоскости xyw, xzw или yzw изображение представляет собой сплошной конус. При проецировании на наклонную гиперплоскость изображение представляет собой либо эллипсоид, либо твердый конус с эллипсоидальным основанием (напоминающий рожок мороженого ). Эти изображения являются аналогами возможных изображений твердого конуса в двухмерной проекции.

Строительство

(Половина) гиперконус может быть построен аналогично построению трехмерного конуса. Трехмерный конус можно рассматривать как результат наложения дисков все меньшего размера друг на друга до тех пор, пока они не сойдутся в одну точку. В качестве альтернативы трехмерный конус можно рассматривать как объем, выметаемый вертикальным равнобедренным треугольником при его вращении вокруг своего основания.

Гиперконус 4D может быть построен аналогично: путем наложения все более мелких шариков друг на друга в 4-м направлении до тех пор, пока они не сужаются к точке, или путем взятия гиперобъема, сметаемого вертикально стоящим тетраэдром в 4-м направлении, когда он свободно вращается вокруг своей оси. основание в трехмерной гиперплоскости, на которой оно опирается.

Измерения

Гиперобъем

Гиперобъем четырехмерной пирамиды и конуса равен

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {4}} Vh}

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {4}} Vh}

где V - объем основания, а h - высота (расстояние между центром основания и вершиной). Для сферического конуса с базовым объемом, гиперобъем равен ${\ textstyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$ ${\ textstyle V = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {4}} Vh = {\ frac {1} {4}} \ left ({\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) h = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {3} h}

{\ displaystyle H = {\ frac {1} {4}} Vh = {\ frac {1} {4}} \ left ({\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ right) h = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {3} h}

Объем поверхности

Боковой объем поверхности правого сферического конуса, где радиус сферического основания и является наклонной высотой конуса (расстояние между 2D поверхностью сферы и вершиной). Объем поверхности сферического основания такого же, как и для любой сферы,. Следовательно, общий объем поверхности правого сферического конуса можно выразить следующими способами: ${\ textstyle LSV = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} l}$ ${\ textstyle LSV = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} l}$ ${\ displaystyle r}$ $р$ ${\ displaystyle l}$ $л$ ${\ textstyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$ ${\ textstyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$

Радиус и высота

${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} + {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} + {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$

(объем основания плюс объем боковой 3D-поверхности; термин - наклонная высота) ${\ displaystyle {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$ ${\ sqrt {г ^ {2} + ч ^ {2}}}$

${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} \ left (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} \ left (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \ right)}$

где - радиус, а - высота. ${\ displaystyle r}$ $р$ ${\ displaystyle h}$ $час$

Радиус и наклонная высота

${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} + {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} l}$ ${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} + {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} l}$

${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} \ left (r + l \ right)}$ ${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} \ left (r + l \ right)}$

где - радиус, а - наклонная высота. ${\ displaystyle r}$ $р$ ${\ displaystyle l}$ $л$

Площадь поверхности, радиус и высота наклона

${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} Ar + {\ frac {1} {3}} Al}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} Ar + {\ frac {1} {3}} Al}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} A \ left (r + l \ right)}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} A \ left (r + l \ right)}$

где - площадь базовой поверхности, - радиус, - высота наклона. ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle r}$ $р$ ${\ displaystyle l}$ $л$

Временная интерпретация

Основная статья: пространство Минковского

Если w -координата уравнения сферического конуса интерпретировать как расстояние ct, где t - координатное время, а c - скорость света (константа), то это форма светового конуса в специальной теории относительности. В этом случае уравнение обычно записывается как:

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - (ct) ^ {2} = 0,}

x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - (ct) ^ {2} = 0,

которое также является уравнением для сферических волновых фронтов света. Тогда верхняя оболочка является световым конусом будущего, а нижняя оболочка - световым конусом прошлого.

Смотрите также

Рекомендации