В теории чисел, число Хегнера (как обозначается Конвей и Гай) представляет собой положительное целое число без квадратов такое, что мнимое квадратичное поле имеет номер класса . Эквивалентно, его кольцо целых чисел имеет уникальную факторизацию.
Определение таких чисел является частным случаем проблемы числа классов, и они лежат в основе нескольких поразительных результатов в количестве теория.
Согласно теореме (Бейкер–) Старка – Хегнера существует ровно девять чисел Хегнера:
- . (последовательность A003173 в OEIS )
Этот результат был предположен Гаусс и доказан с незначительными ошибками Куртом Хегнером в 1952 году. Алан Бейкер и Гарольд Старк независимо друг от друга доказали результат в 1966 году, и Старк далее указал, что пробел в доказательстве Хегнера был незначительным.
Содержание
- 1 Многочлен Эйлера, порождающий простые числа
- 2 Почти целые числа и постоянная Рамануджана
- 3 Формулы Пи
- 4 Другие числа Хегнера
- 5 Числа класса 2
- 6 Последовательные простые числа
- 7 Примечания и ссылки
- 8 Внешние ссылки
Многочлен Эйлера, образующий простые числа
Многочлен Эйлера , образующий простые числа
, которое дает (различные) простые числа для n = 1,..., 40, связано с числом Хегнера 163 = 4 · 41 - 1.
формула Эйлера с принятие значений 1,... 40 эквивалентно
с принимая значения 0,... 39 и Рабиновиц доказал, что
дает простые числа для тогда и только тогда, когда его дискриминант - отрицательное значение числа Хегнера.
(Обратите внимание, что дает , поэтому является максимальным.) 1, 2 и 3 не имеют требуемой формы, поэтому числа Хегнера, которые работают, равны , что дает простые производящие функции формы Эйлера для ; эти последние числа названы счастливыми числами Эйлера по Ф. Ле Лионне.
Почти целые числа и постоянная Рамануджана
Константа Рамануджана - это трансцендентное число , которое является почти целым числом, в том смысле, что оно очень близко к целому числу :
Это число было обнаружено в 1859 году математиком Чарльзом Эрмитом. В статье 1975 года первоапрельский дурак в журнале Scientific American обозреватель «Mathematical Games» Мартин Гарднер выдвинул ложное заявление о том, что это число на самом деле является целым числом, и что гений индийской математики Шриниваса Рамануджан предсказал это - отсюда и его название.
Это совпадение объясняется комплексным умножением и q-разложением j-инварианта.
Деталь
Вкратце, - целое число для числа да Хегнера, и через q-расширение.
Если является квадратичным иррациональным, то j-инвариант является целым алгебраическим числом степени , номер класса из и минимальный многочлен (монический интеграл), которому он удовлетворяет, называется «многочленом класса Гильберта». Таким образом, если мнимое квадратичное расширение имеет класс номер 1 (так что d - число Хегнера), j-инвариант будет целое число.
q-разложение числа j с его разложением ряда Фурье, записанным как ряд Лорана в терминах , начинается как
Коэффициенты асимптотически расти как , и коэффициенты младшего порядка растут медленнее, чем , поэтому для j очень хорошо аппроксимируется своими первыми двумя членами. Установка дает или эквивалентным образом . Теперь , поэтому
Или,
где линейный член ошибки равен,
, объясняя, почему примерно в пределах указанного выше целого числа.
Формулы Пи
Братья Чудновские обнаружили в 1987 году, что
, в котором используется тот факт, что . Аналогичные формулы см. В серии Рамануджана – Сато.
Другие числа Хегнера
Для четырех наибольших чисел Хегнера получаются следующие приближения.
В качестве альтернативы
где причина квадратов - du е к некой серии Эйзенштейна. Для чисел Хегнера нельзя получить почти целое число; даже не заслуживает внимания. Целочисленные j-инварианты легко факторизуемы, что следует из и разложить на множители,
Эти трансцендентные числа, помимо того, что они близко аппроксимируются целыми числами (которые представляют собой просто алгебраические числа степени 1), могут быть близко аппроксимированы алгебраическими числами степени 3,
корни кубиков может быть точно дано частным от функции Дедекинда η (τ), модульной функции, включающей корень 24-й степени, и которая объясняет 24 в приближении. Они также могут быть близко аппроксимированы алгебраическими числами степени 4,
Если de отмечает выражение в скобках (например, ), он удовлетворяет соответственно уравнениям четвертой степени
Обратите внимание на появление целых чисел , а также тот факт, что
которые с соответствующей дробной степенью являются в точности j-инвариантами.
Аналогично для алгебраических чисел степени 6
где xs даются соответственно соответствующий корень шестнадцатеричных уравнений ,
с повторением j-инвариантов. Эти секстики не только алгебраичны, они также разрешимы в радикалах, поскольку они делятся на две кубики над расширением (с последующим разложением на две квадратичные ). Эти алгебраические приближения могут быть точно выражены в терминах частных Дедекинда. Например, пусть , тогда
где частные эта - алгебраические числа, указанные выше.
Числа класса 2
Три числа , для которых мнимое квадратичное поле имеет номер класса , не считаются числами Хегнера, но имеют определенные сходные свойства в терминах почти целых чисел. Например,
и
Последовательные простые числа
Дано нечетное простое число p, если вычисляется для ( этого достаточно, потому что ), получаются последовательные композиты, за которыми следуют последовательные простые числа, если и только если p является числом Хегнера.
Подробнее см. «Квадратичные многочлены, производящие последовательные отдельные простые числа и группы классов комплексных квадратичных полей».
Примечания и ссылки
- ^Конвей, Джон Хортон ; Гай, Ричард К. (1996). Книга чисел. Springer. п. 224. ISBN 0-387-97993-X.
- ^Старк, HM (1969), «О пробеле в теореме Хегнера» (PDF), Журнал теории чисел, 1: 16–27, doi : 10.1016 / 0022-314X (69) 90023-7
- ^Рабинович, Георг " Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern ». Proc. Пятый интернат. Congress Math. (Кембридж) 1, 418–421, 1913.
- ^Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Париж: Герман, стр. 88 и 144, 1983.
- ^Вайсштейн, Эрик У. «Трансцендентное число». MathWorld.дает По материалам Нестеренко Ю. V. «Об алгебраической независимости компонентов решений системы линейных дифференциальных уравнений». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. 38, 495–512, 1974. Английский перевод в Math. СССР 8, 501–518, 1974.
- ^Константа Рамануджана - из Wolfram MathWorld
- ^Барроу, Джон Д. (2002). Константы природы. Лондон: Кейп Джонатан. ISBN 0-224-06135-6.
- ^Гарднер, Мартин (апрель 1975 г.). «Математические игры». Scientific American. Scientific American, Inc. 232 (4): 127.
- ^Их можно проверить, вычислив на калькуляторе и для линейного члена ошибки.
- ^http://groups.google.com.ph/group/sci.math.research/browse_thread/thread/3d24137c9a860893?hl=en#
- ^Абсолютное отклонение случайного действительного числа (выбирается равномерно из [0,1], скажем) - это равномерно распределенная переменная на [0, 0,5], поэтому она имеет медианное абсолютное отклонение 0,25, и отклонение 0,22 не является исключительным.
- ^«Формулы Пи».
- ^«Расширение дедекиндовских эти-коэффициентов Рамануджана».
- ^http://www.mathpages.com/home/kmatdiv class="ht"63.htm
- ^Моллин Р.А. (1996). «Квадратичные многочлены, производящие последовательные, различные простые числа и группы классов комплексных квадратичных полей» (PDF). Acta Arithmetica. 74 : 17–30.
Внешние ссылки