Фибрация

редактировать

В топологии, разделе математики, расслоение является обобщением понятия пучка волокон . Пучок волокон уточняет идею о том, что одно топологическое пространство (называемое слоем) "параметризуется" другим топологическим пространством (называемым базой). Расслоение похоже на пучок волокон, за исключением того, что волокна не обязательно должны быть в одном пространстве и даже гомеоморфны ; скорее, они просто гомотопический эквивалент. Слабые расслоения отбрасывают даже эту эквивалентность из-за более технического свойства.

Волокна не обязательно имеют структуру локального декартова произведения, которая определяет более ограниченный случай пучка волокон, но что-то более слабое, что все же позволяет «боковое» движение от волокна к волокну. Связки волокон имеют особенно простую теорию гомотопии, которая позволяет выводить топологическую информацию о пучке из информации об одном или обоих из этих составляющих пространств. Расслоение удовлетворяет дополнительному условию (свойство гомотопического подъема ), гарантирующему, что оно будет вести себя как расслоение с точки зрения теории гомотопий.

Волокна двойственны кофибрациям, с соответствующим двойственным понятием свойства гомотопического расширения ; это широко известно как двойственность Экмана – Хилтона.

Содержание

1 Формальное определение
2 Расслоения Серра
3 Примеры
- 3.1 Превращение карты в расслоение
- 3.2 Пример слабого расслоения
4 Длинная точная последовательность гомотопических групп
- 4.1 Доказательство
- 4.2 Пример
5 Эйлерова характеристика
6 Фибрации в категориях замкнутых моделей
7 См. Также
8 Ссылки

Формальные определение

A расслоение (или расслоение Гуревича или расслоение Гуревича, названное так в честь Витольда Гуревича ) - это непрерывное отображение $p: E → B {\ displaystyle p \ двоеточие E \ to B}$ ${\ displaystyle p \ двоеточие E \ to B}$ , удовлетворяющее свойству гомотопического подъема по отношению к любому пространству. Пучки волокон (более паракомпактных баз) представляют собой важные примеры. В теории гомотопии любое отображение «не хуже» расслоения, т. Е. любую карту можно разложить как гомотопическую эквивалентность на «пространство путей отображения » с последующим расслоением на гомотопические слои.

Слои по определению являются подпространствами E, которые являются прообразами точки b из B. Если базовое пространство B связано путями, это является следствием определения, что слои двух разных точек $b 1 {\ displaystyle b_ {1}}$ $b_ {1}$ и $b 2 {\ displaystyle b_ {2}}$ $b_ {2}$ в B являются гомотопическим эквивалентом. Поэтому обычно говорят о «слое» F.

Расслоения Серра

Непрерывное отображение со свойством гомотопического подъема для CW-комплексов (или, что то же самое, просто кубов $I n {\ displaystyle I ^ {n}}$ ${\ displaystyle I ^ {n}}$ ) называется расслоением Серра или слабым расслоением в честь той роли, которую играет концепция в диссертации Жан-Пьера Серра. Этот тезис прочно закрепил в алгебраической топологии использование спектральных последовательностей и четко отделил понятия расслоений и расслоений от понятия пучка (оба понятия вместе неявно присутствовали в пионерском лечении Жана Лере ). Поскольку пучок (рассматриваемый как этальное пространство ) можно рассматривать как локальный гомеоморфизм, в то время эти понятия были тесно взаимосвязаны. Одно из основных желательных свойств спектральной последовательности Серра состоит в том, чтобы учесть действие фундаментальной группы основания B на гомологии «полного пространства» E.

Обратите внимание, что расслоения Серра строго слабее, чем расслоения в целом: свойство гомотопического подъема должно выполняться только на кубах (или комплексах CW), а не на всех пространствах в целом. В результате волокна могут даже не быть гомотопически эквивалентными; явный пример приведен ниже.

Примеры

В следующих примерах расслоение обозначается

F → E → B,

, где первое отображение - это включение «волокна F» в общую пространство E и второе отображение - это расслоение на базис B. Это также называется последовательностью расслоений.

Карта проекции из пространства продукта очень легко увидеть как расслоение.
Пучки волокон имеют локальную тривиализацию, т.е. декартовы структуры продукта существуют локально на B, и это обычно достаточно, чтобы показать, что расслоение является расслоением. Точнее, если над a есть локальные тривиализации B, расслоение является расслоением. Любая открытая крышка паракомпакта имеет числовое уточнение. Например, любое открытое покрытие метрического пространства имеет локально конечное измельчение, поэтому любое расслоение над таким пространством является расслоением. Локальная тривиальность также подразумевает существование четко определенного слоя (от до гомеоморфизма ), по крайней мере, на каждой компоненте связности B.
Расслоение Хопфа S → S → S исторически было одним из самых ранних нетривиальных примеров расслоения.
Расслоения Хопфа обобщаются на расслоения над комплексное проективное пространство, с расслоением S → S → CP. Приведенный выше пример является частным случаем для n = 1, поскольку CP гомеоморфно S.
Расслоения Хопфа обобщаются на расслоения над кватернионным проективным пространством с расслоением Sp → S → HP. Слой здесь представляет собой группу единичных кватернионов Sp.
Расслоение Серра SO (2) → SO (3) → S возникает в результате действия группы вращений SO (3) на 2-сфера S. Обратите внимание, что SO (3) гомеоморфно реальному проективному пространству RP, поэтому S является двойным покрытием SO (3), и поэтому расслоение Хопфа является универсальным покрытием.
Предыдущий пример также могут быть обобщены на расслоение SO (n) → SO (n + 1) → S для любого неотрицательного целого числа n (хотя у них есть только слой, который не является просто точкой, когда n>1), который исходит из действие специальной ортогональной группы SO (n + 1) на n-сфере.

Превращение карты в расслоение

Любое непрерывное отображение $f: X → Y {\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: от X \ до Y$ можно разложить на множители $X ↪ E f ↠ Y {\ displaystyle X \ hookrightarrow E_ {f} \ twoheadrightarrow Y}$ ${\ displaystyle X \ hookrightarrow E_ {f} \ twoheadrightarrow Y}$ где $E f ↠ Y {\ displaystyle E_ {f} \ twoheadrightarrow Y}$ ${\ displaystyle E_ {f} \ twoheadrightarrow Y}$ - расслоение, а $X ↪ E f {\ displaystyle X \ hookrightarrow E_ {f}}$ ${\ displaystyle X \ hookrightarrow E_ {f}}$ - гомотопическая эквивалентность. Обозначение $YI = Map (I, Y) {\ displaystyle Y ^ {I} = {\ text {Map}} (I, Y)}$ ${\ displaystyle Y ^ {I} = {\ text {Map}} (I, Y) }$ в качестве пространства отображения (с использованием compact-open топология), пространство расслоения строится как

E f = {(x, γ) ∈ X × YI: γ (0) = f (x)} {\ displaystyle E_ {f} = \ {(x, \ гамма) \ в X \ раз Y ^ {I}: \ gamma (0) = f (x) \}}

{\ displaystyle E_ {f} = \ {(x, \ gamma) \ in X \ times Y ^ {I}: \ gamma (0) = f (x) \}}

со структурной картой $p: E f → Y {\ displaystyle p: E_ {f} \ to Y}$ ${\ displaystyle p: E_ {f} \ to Y}$ отправка

p (x, γ) = γ (1) {\ displaystyle p (x, \ gamma) = \ gamma (1)}

{\ displaystyle p (x, \ gamma) = \ гамма (1)}

Использование свойства подъема гомотопии, можно проверить, что это отображение действительно образует расслоение. Карта инъекции задается следующим образом:

i: X → E f, где i (x) = (x, γ f (x)) {\ displaystyle i: X \ to E_ {f} {\ text {where}} i (Икс) знак равно (Икс, \ гамма _ {е (х)})}

{\ displaystyle i: X \ в E_ {f} {\ text {где}} i (x) = (x, \ gamma _ {f (x)})}

где $γ f (x) {\ displaystyle \ gamma _ {f (x)}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {f (x)}}$ равно постоянный путь. Происходит деформационный отвод гомотопических волокон

E f | y = {(x, γ) ∈ X × YI: γ (0) = f (x) и γ (1) = y} {\ displaystyle E_ {f} | _ {y} = \ {(x, \ gamma) \ in X \ times Y ^ {I}: \ gamma (0) = f (x) {\ text {and}} \ gamma (1) = y \}}

{\ displaystyle E_ {f} | _ {y} = \ {(x, \ gamma) \ in X \ times Y ^ {I}: \ gamma (0) = f (x) {\ text {and}} \ gamma (1) = y \}}

этому включению, что дает гомотопическую эквивалентность $X ≃ E f {\ displaystyle X \ simeq E_ {f}}$ ${\ displaystyle X \ simeq E_ {f}}$ .

Пример слабого расслоения

Все предыдущие примеры имеют волокна, гомотопически эквивалентные. Это должно иметь место для расслоений вообще, но не обязательно для слабых расслоений. Понятие слабого расслоения строго слабее, чем расслоение, как показано в следующем примере: волокна могут даже не иметь одинаковый гомотопический тип.

Рассмотрим подмножество реальной плоскости $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ задано как

E = {(x, y): x = y, x ∈ I} ∪ ⋃ n ∈ N n>0 {(x, y): x ∈ I, y = 1 + 1 / n} {\ displaystyle E = \ {(x, y): x = y, x \ in I \} \ cup \ bigcup _ {n \ in \ mathbb { N} \ atop n>0} \ {(x, y): x \ in I, y = 1 + 1 / n \}}

E=\{(x,y):x=y,x\in I\}\cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} \atop n>0} \ {(x, y): x \ in I, y = 1 + 1 / n \}

и базовое пространство, заданное единичным интервалом $B = I = {x: 0 ≤ x ≤ 1} {\ displaystyle B = I = \ {x: 0 \ leq x \ leq 1 \ }}$ ${\ displaystyle B = I = \ {x : 0 \ leq x \ leq 1 \}}$ , проекция по $p (x, y) = x {\ displaystyle p (x, y) = x}$ ${\ displaystyle p (x, y) = x}$ . Легко видеть, что это Расслоение Серра. Однако волокно $p - 1 (0) {\ displaystyle p ^ {- 1} (0)}$ ${\ displaystyle p ^ {- 1} (0)}$ и волокно в точке $p - 1 (1) {\ displaystyle p ^ {- 1} (1)}$ ${\ displaystyle p ^ {- 1} (1)}$ не являются гомотопическими эквивалентами. Пространство $p - 1 (1) × I {\ displaystyle p ^ {- 1} (1) \ times I}$ ${\ displaystyle p ^ {- 1} (1) \ times I}$ имеет очевидную инъекцию в общее пространство $E {\ displaystyle E}$ $E$ и имеет очевидную гомотопию (постоянную функцию) в базовом пространстве $B {\ displaystyle B}$ $B$ ; однако его нельзя поднять, и, следовательно, пример не может быть расслоением в целом.

Длинная точная последовательность гомотопических групп

Выбираем базовую точку b 0 ∈ B. Пусть F относится к слою над b 0, т.е. F = p ({b 0 }); и пусть i - включение F → E. Выберем базовую точку f 0 ∈ F и пусть e 0 = i (f 0). В терминах этих базовых точек последовательность Puppe может использоваться, чтобы показать, что существует длинная точная последовательность

⋯ → π n (F) → π n (E) → π n (B) → π n - 1 (F) → ⋯ → π 0 (F) → π 0 (E). {\ displaystyle \ cdots \ to \ pi _ {n} (F) \ to \ pi _ {n} (E) \ to \ pi _ {n} (B) \ to \ pi _ {n-1} (F) \ to \ cdots \ to \ pi _ {0} (F) \ to \ pi _ {0} (E).}

\ cdots \ to \ pi _ {n} (F) \ to \ pi _ {n} (E) \ to \ pi _ {n} (B) \ to \ pi _ {n-1} (F) \ to \ cdots \ to \ pi _ {0} (F) \ to \ pi _ {0} (E).

Он построен из гомотопических групп слоя F, тотальное пространство E и базовое пространство B. Гомоморфизмы π n (F) → π n (E) и π n (E) → π n (B) - это просто индуцированные гомоморфизмы из i и p соответственно. Отображения с участием π 0 не являются групповыми гомоморфизмами, потому что π 0 не являются группами, но они точны в том смысле, что изображение равно ядру (здесь «нейтральный элемент» - это компонент связности, содержащий базовую точку).

Эта последовательность верна как для расслоений, так и для слабых расслоений, хотя доказательства этих двух случаев немного различаются.

Доказательство

Один из возможных способов продемонстрировать, что приведенная выше последовательность четко определена и точна, избегая контакта с последовательностью Puppe, - это действовать напрямую, как показано ниже. Третий набор гомоморфизмов β n : π n (B) → π n − 1 (F) (называемый «соединяющими гомоморфизмами» (в отношении лемма о змее ) или «граничные карты») не является индуцированным отображением и определяется непосредственно в соответствующих гомотопических группах с помощью следующих шагов.

Во-первых, немного терминологии: пусть δ n : S → D будет включением границы n-сферы в (n + 1) -шар. Пусть γ n : D → S - карта, которая сворачивает изображение δ n − 1 в D в точку.
Пусть φ: S → B - представляющая карта для элемента из π n (B).
Поскольку D гомеоморфен n-мерному кубу, мы можем применить свойство гомотопического подъема, чтобы построить подъем λ: D → E отображения φ ∘ γ n (т. Е. Отображение λ такое, что p ∘ λ = φ ∘ γ n) с начальным условием f 0.
Поскольку γ n ∘ δ n-1 - точечная карта (далее именуемая «pt»), pt = φ ∘ γ n ∘ δ n − 1 = p ∘ λ ∘ δ n − 1, откуда следует, что образ λ ∘ δ n − 1 находится в F. Следовательно, существует отображение ψ: S → F такое что i ∘ ψ = λ ∘ δ n − 1.
Определим β n [φ] = [ψ].

Сказанное выше кратко изложено в следующей коммутативной диаграмме :

Повторное применение свойства гомотопического подъема используется для доказательства того, что β n хорошо определено (не зависит от конкретного подъема), зависит только от гомотопического класса своего аргумента, это гомоморфизм и что длинная последовательность точна.

В качестве альтернативы, можно использовать относительные гомотопические группы, чтобы получить длинную точную последовательность гомотопии расслоения из длинной точной последовательности относительной гомотопии пары $F ⊆ E {\ displaystyle F \ substeq E}$ ${\ displaystyle F \ substeq E}$ . Один использует, что n-я гомотопическая группа $E {\ displaystyle E}$ $E$ относительно $F {\ displaystyle F}$ $F$ изоморфна n-й гомотопии группа основания $B {\ displaystyle B}$ $B$ .

Пример

Можно также действовать в обратном направлении. Когда расслоение является отображающим волокном (двойным по отношению к конусу отображения , софибрации ), тогда получается точная последовательность Puppe. По сути, длинная точная последовательность гомотопических групп следует из того факта, что гомотопические группы могут быть получены как надстройки или двойственно пространства петель.

эйлерова характеристика

эйлерова характеристика χ мультипликативен для расслоений с определенными условиями.

Если p: E → B - расслоение со слоем F, с базой B линейно связным, и расслоение ориентируется над полем K, то эйлерова характеристика с коэффициентами в поле K удовлетворяет свойству произведения:

χ (E) = χ (F) · χ (B).

Это включает пространства-произведения и накрывающие пространства как частные случаи и может быть доказано с помощью Серра спектральная последовательность на гомологии расслоения.

Для пучков волокон это также можно понять в терминах карты переноса τ: H ∗ (B) → H ∗ ( E) - обратите внимание, что это подъем и идет «не в ту сторону» - чья композиция с картой проекции p ∗ : H ∗ (E) → H ∗ (B) - это умножение на эйлерову характеристику слоя: p ∗ ∘ τ = χ (F) · 1.

Фибрации в категориях замкнутых моделей

Расслоения топологических пространств укладываются в более общие рамки, так называемые категории замкнутых моделей, следующие из теоремы ациклических моделей. В таких категориях выделяются классы морфизмов, так называемые расслоения, кофибрации и слабые эквивалентности. Определенные аксиомы, такие как стабильность волокон в составе и откаты, факторизация каждого морфизма в композицию ациклического софибрации с последующим расслоением или софибрацией с последующим ациклическим расслоением, где слово «ациклический» указывает, что соответствующая стрелка также является слабым эквивалентом, и установлены другие требования, позволяющие абстрактно трактовать теорию гомотопии. (В исходной трактовке из-за Дэниела Квиллена слово «тривиальный» использовалось вместо «ациклический».)

Можно показать, что категория топологических пространств фактически категория модели, где (абстрактные) расслоения - это просто расслоения Серра, введенные выше, а слабые эквивалентности - слабые гомотопические эквивалентности.

См. также

Ссылки

^Hatcher, Allen. Введение в алгебраическую топологию. п. 407.
^Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology (PDF)
^Spanier, Edwin Henry (1982), Algebraic Topology, Springer, ISBN 978-0-387-94426-5, Применение спектральной последовательности гомологии, стр. 481
^Готтлиб, Дэниел Генри (1975), «Пучки волокон и характеристика Эйлера» (PDF), Journal of Differential Geometry, 10 (1): 39–48, doi : 10.4310 / jdg / 1214432674
^Дуайер, Уильям Г. ; Спалински, Дж. (1995), «Гомотопические теории и категории моделей», Справочник по алгебраической топологии, Амстердам: Северная Голландия, стр. 73–126, doi : 10.1016 / B978-044481779-2 / 50003-1, ISBN 9780444817792, MR 1361887