Альфапедия

Крайняя точка

редактировать
Математическая концепция Выпуклое множество голубым цветом, а его крайние точки красным.

В математике, крайняя точка из выпуклого множества S в реальном векторном пространстве - это точка в S, которая не лежит ни в каком открытом отрезок линии, соединяющий две точки S. В задачах линейного программирования крайняя точка также называется вершиной или угловой точкой S.

Содержание
  • 1 Определение
    • 1.1 Характеристики
  • 2 Примеры
  • 3 Свойства
  • 4 Теоремы
    • 4.1 Теорема Крейна – Мильмана
    • 4.2 Для банаховых пространств
  • 5 k-крайних точек
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки
  • 8 Библиография
Определение

На всем протяжении мы предполагаем, что X - вещественное или комплексное векторное пространство.

Определение : для любых p, x, y ∈ X, скажем, что p лежит между x и y, если x ≠ y и существует 0 < t < 1 such that p = tx + (1 - t)y.
Определение : Если K является подмножеством X и p ∈ K, то p называется крайней точкой K, если она не лежит между любыми двумя различными точками K. То есть, если не существует x, y ∈ K и 0 < t < 1 such that x ≠ y and p = tx + (1 - t) y. The set of all extreme points of K is denoted by extreme(K).

Характеризации

Определение : Средняя точка двух элементов x и y в векторном пространстве - это вектор 1/2 (x + y).
Определение : для любых элементов x и y в векторном пространстве набор [x, y]: = {tx + (1 - t) y: 0 ≤ t ≤ 1} называется замкнутым отрезком линии или закрытый интервал между x и y. открытый отрезок или открытый интервал между x и y равен (x, x): = ∅, когда x = y, тогда как он равен (x, y): = {tx + ( 1 - t) y: 0 < t < 1} when x ≠ y. We call x and y the конечные точки этого интервала. Интервал называется невырожденным или правильным, если его конечные точки различны. Средняя точка интервала - это середина его конечных точек.

Обратите внимание, что [x, y] равно выпуклой оболочке {x, y}, поэтому, если K равно выпуклым и x, y ∈ K, то [x, y] ⊆ K.

Определение : если K - непустое подмножество X и F - непустое подмножество K, то F называется face из K, если всякий раз, когда точка p ∈ F лежит между двумя точками из K, то эти две точки обязательно принадлежат F.

Теорема - Пусть K - непустое выпуклое подмножество векторного пространства X и пусть p ∈ K. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

  1. p крайняя точка K;
  2. K ∖ {p} выпуклая;
  3. p не середина невырожденный отрезок, содержащийся в K;
  4. для любых x, y ∈ K, если p ∈ [x, y], то x = y = p;
  5. , если x ∈ X такое, что и p + x, и p - x принадлежат K, тогда x = 0;
  6. {p} является гранью K.
Примеры
  • Если a < b are two real numbers then a and b are extreme points of the interval [a, b]. However, the open interval (a, b) has no extreme points.
  • An инъективное линейное отображение F: X → Y переводит крайние точки выпуклого множества C ⊆ X в крайние точки выпуклого множества F (C). Это также верно для инъективных аффинных отображений.
  • Периметр любого выпуклого многоугольника на плоскости является гранью этого многоугольника.
  • Вершины любого выпуклого многоугольника на плоскости являются крайними точек этого многоугольника.
  • Крайние точки замкнутого единичного диска в ℝ - это единичный круг.
  • Любой открытый интервал в ℝ не имеет крайние точки, в то время как любой невырожденный отрезок, не равный ℝ, имеет крайние точки (т.е. конечную точку (точки) отрезка).
Свойства

Крайние точки компактная выпуклая форма пространство Бэра (с топологией подпространства), но это множество может не замкнуться в X.

Теоремы

Теорема Крейна – Мильмана

Теорема Крейна – Мильмана, возможно, одна из самых известных теорем о крайних точках.

Теорема Крейна – Мильмана - Если S выпукла и компактна в локально выпуклом пространстве, то S является замкнутой выпуклой оболочкой его крайних точек: В частности, такое множество имеет крайние точки.

Для банаховых пространств

Эти теоремы предназначены для банаховых пространств со свойством Радона – Никодима.

Теорема Джорама Линденштрауса утверждает, что, в банаховом пространстве со свойством Радона – Никодима непустое замкнутое и ограниченное множество имеет крайнюю точку. (В бесконечномерных пространствах свойство компактности сильнее, чем совместные свойства замкнутости и ограниченности.)

Теорема () - Пусть E - банахово пространство с радоном. -Никодима, пусть C - отделимое, замкнутое, ограниченное, выпуклое подмножество E, и пусть a - точка в C. Тогда существует вероятностная мера p на универсально измеримых множествах в C такая, что a - барицентр точки p, а множество крайних точек C имеет p-меру 1.

Из теоремы Эдгара следует теорема Линденштрауса.

k-крайние точки

В более общем смысле, точка в выпуклом множестве S является k-крайней, если она лежит внутри k-мерного выпуклого множества внутри S, но не k + 1-мерное выпуклое множество внутри S. Таким образом, крайняя точка также является 0-крайней точкой. Если S - многогранник, то k-крайние точки - это в точности внутренние точки k-мерных граней S. В общем, для любого выпуклого множества S k-крайние точки разбиваются на k-мерные открытые грани.

Конечномерная теорема Крейна-Мильмана, принадлежащая Минковскому, может быть быстро доказана с использованием концепции k-крайних точек. Если S замкнуто, ограничено и n-мерно, и если p является точкой в ​​S, то p является k-экстремальным для некоторого k < n. The theorem asserts that p is a convex combination of extreme points. If k = 0, then it's trivially true. Otherwise p lies on a line segment in S which can be maximally extended (because S is closed and bounded). If the endpoints of the segment are q and r, then their extreme rank must be less than that of p, and the theorem follows by induction.

См. Также
Ссылки
Библиография
Последняя правка сделана 2021-05-19 10:21:52
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru