Энергетическое состояние

Упрощение предположений о поведении тензора энергии-импульса в общей теории относительности

В релятивистской классические теории поля гравитации, в частности общая теория относительности, условие энергии является одним из различных альтернативных условий, которые могут применяться к имеет значение содержание теории, когда либо невозможно, либо желательно явно указать это содержание. Тогда есть надежда, что любая разумная теория материи будет удовлетворять этому условию или, по крайней мере, сохранит это условие, если ему удовлетворяют начальные условия.

Энергетические условия не являются физическими ограничениями сами по себе, а представляют собой скорее математически наложенные граничные условия, которые пытаются уловить убеждение, что «энергия должна быть положительной». Известно, что многие энергетические условия не соответствуют физической реальности - например, хорошо известно, что наблюдаемые эффекты темной энергии нарушают условия сильной энергии.

В общей теории относительности энергетические условия часто используются (и требуются) для доказательства различных важных теорем о черных дырах, таких как теорема об отсутствии волос или законы термодинамики черных дыр.

• 1 Мотивация
• 2 Некоторые наблюдаемые величины
• 3 Математическое утверждение
  • 3.1 Условие нулевой энергии
  • 3.2 Условие слабой энергии
  • 3.3 Доминирующее энергетическое условие
  • 3.4 Сильное энергетическое условие
• 4 Совершенное жидкости
• 5 Попытки фальсификации энергетических условий
• 6 См. также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

В общей теории относительности и родственных теориях, распределение массы, импульса и напряжения, вызванное материей и любыми негравитационными полями, описывается тензором энергии-импульса (или тензором материи) $Т\; а\; б\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{ab\}\}$. Однако уравнение поля Эйнштейна не очень разборчиво в отношении того, какие состояния материи или негравитационных полей допустимы в модели пространства-времени. Это одновременно и сильная сторона, поскольку хорошая общая теория гравитации должна быть максимально независимой от любых предположений, касающихся негравитационной физики, и слабость, потому что без какого-либо дополнительного критерия уравнение поля Эйнштейна допускает предполагаемые решения со свойствами, которые большинство физиков считают нефизическими. т.е. слишком странно, чтобы напоминать что-либо в реальной вселенной даже приблизительно.

Энергетические условия представляют собой такие критерии. Грубо говоря, они грубо описывают свойства, общие для всех (или почти всех) состояний материи и всех негравитационных полей, которые хорошо известны в физике, но при этом достаточно сильны, чтобы исключить многие нефизические «решения» уравнения поля Эйнштейна.

С математической точки зрения наиболее очевидной отличительной особенностью энергетических условий является то, что они по существу являются ограничениями на собственные значения и собственные векторы тензора материи. Более тонкая, но не менее важная особенность заключается в том, что они накладываются последовательно на уровне касательных пространств. Следовательно, у них нет надежды исключить нежелательные глобальные особенности, такие как замкнутые времениподобные кривые.

Чтобы понять формулировки различных энергетических состояний, необходимо знать физическую интерпретацию некоторых скалярных и векторных величин, построенных из произвольных времениподобных или нулевых векторов и тензора материи.

Во-первых, единичное времяподобное векторное поле $X\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{X\}\}\}$может интерпретироваться как определяющее мировые линии некоторое семейство (возможно, неинерциальных) идеальных наблюдателей. Тогда скалярное поле

$\rho \; =\; T\; ab\; X\; a\; X\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; T\_\; \{ab\}\; X\; ^\; \{a\}\; X\; ^\; \{b\}\}$

можно интерпретировать как общее масса-энергия плотность (материя плюс энергия поля любых негравитационных полей), измеренная наблюдателем из нашей семьи (при каждом событии на его мировой линии). Аналогично, векторное поле с компонентами $-\; T\; ab\; X\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{T\; ^\; \{a\}\}\; \_\; \{b\}\; X\; ^\; \{b\}\}$представляет ( после проекции) импульс, измеренный нашими наблюдателями.

Во-вторых, для произвольного нулевого векторного поля $k\; \to ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{k\}\},\}$скалярного поля

$\nu \; =\; T\; abkakb\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; =\; T\_\; \{ab\}\; k\; ^\; \{a\}\; k\; ^\; \{b\}\}$

можно рассматривать как своего рода предельный случай плотности массы-энергии.

В-третьих, в случае общей теории относительности, для произвольного времениподобного векторного поля $X\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{X\}\}\}$, снова интерпретируемого как описывающее движение семейства идеальных наблюдателей скаляр Райчаудхури - это скалярное поле, полученное путем взятия следа приливного тензора , соответствующего этим наблюдателям в каждом событии:

$E\; [X\; \to \; ]\; мм\; =\; R\; ab\; X\; a\; X\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \{E\; [\{\backslash \; vec\; \{X\}\}]\; ^\; \{m\}\}\; \_\; \{m\}\; =\; R\_\; \{ab\}\; X\; ^\; \{a\}\; X\; ^\; \{b\}\}$

Эта величина играет решающую роль в уравнении Райчаудхури. Тогда из уравнения поля Эйнштейна мы немедленно получаем

$1\; 8\; \pi \; E\; [X\; \to ]\; mm\; =\; 1\; 8\; \pi \; R\; ab\; X\; a\; X\; b\; =\; (T\; ab\; -\; 1\; 2\; T\; gab)\; X\; a\; X\; b,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\; \backslash \; pi\}\}\; \{E\; [\{\backslash \; vec\; \{X\}\}]\; ^\; \{m\}\}\; \_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\; \backslash \; pi\}\}\; R\_\; \{ab\}\; X\; ^\; \{\; a\}\; X\; ^\; \{b\}\; =\; \backslash \; left\; (T\_\; \{ab\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; Tg\_\; \{ab\}\; \backslash \; right)\; X\; ^\; \{a\}\; X\; ^\; \{b\},\}$

где $T\; =\; T\; мм\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \{T\; ^\; \{m\}\}\; \_\; \{m\}\}$- след тензора материи.

Существует несколько широко используемых альтернативных энергетических условий:

Условие нулевой энергии

Условие нулевой энергии предусматривает что для каждого указывающего в будущее нулевого векторного поля $k\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{k\}\}\}$,

$\nu \; =\; T\; abkakb\; \ge \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; =\; T\_\; \{ab\}\; k\; ^\; \{a\}\; k\; ^\; \{b\}\; \backslash \; geq\; 0.\}$

Каждый из них имеет усредненную версию, в которой свойства, отмеченные выше, должны сохраняться только в среднем вдоль линий потока соответствующих векторных полей. В противном случае эффект Казимира приведет к исключениям. Например, условие усредненной нулевой энергии утверждает, что для каждой отводной линии (интегральной кривой) $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$нулевого векторного поля $k\; \to ,\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{k\}\},\}$у нас должно быть

$\int \; CT\; abkakbd\; \lambda \; \ge \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{C\}\; T\_\; \{ab\}\; k\; ^\; \{a\}\; k\; ^\; \{b\}\; d\; \backslash \; lambda\; \backslash \; geq\; 0.\}$

Условие слабой энергии

условие слабой энергии требует, чтобы для каждого времениподобного векторного поля $X\; \to ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; vec\; \{X\}\},\}$плотность вещества, наблюдаемая соответствующими наблюдателями, всегда неотрицательна:

$\rho \; =\; T\; ab\; X\; a\; X\; b\; \ge \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; T\_\; \{\; ab\}\; X\; ^\; \{a\}\; X\; ^\; \{b\}\; \backslash \; geq\; 0.\}$

Доминирующее энергетическое условие

Доминирующее энергетическое условие оговаривает, что в дополнение к слабому энергетическому условию выполняется истина, для каждого указывающего в будущее причинного векторного поля (либо времениподобного, либо нулевого) $Y\; \to ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{Y\}\},\}$векторное поле $-\; T\; ab\; Y\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{T\; ^\; \{a\}\}\; \_\; \{b\}\; Y\; ^\; \{b\}\}$должно быть af причинный вектор, указывающий на структуру. То есть никогда нельзя наблюдать движение массы и энергии быстрее света.

Условие сильной энергии

условие сильной энергии предусматривает, что для каждого времениподобного векторного поля $X\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{X\}\}\}$, след приливного тензора, измеренный соответствующими наблюдателями, всегда неотрицателен:

$(T\; ab\; -\; 1\; 2\; T\; gab)\; X\; a\; X\; b\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (T\_\; \{ab\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; Tg\_\; \{ab\}\; \backslash \; right)\; X\; ^\; \{a\}\; X\; ^\; \{b\}\; \backslash \; geq\; 0\}$

Есть много классических конфигураций материи, которые нарушают условие сильной энергии, по крайней мере с математической точки зрения. Например, скалярное поле с положительным потенциалом может нарушить это условие. Более того, наблюдения темной энергии / космологической постоянной показывают, что условие сильной энергии не может описать нашу Вселенную, даже при усреднении по космологическим масштабам. Более того, он сильно нарушается в любом космологическом инфляционном процессе (даже если он не управляется скалярным полем).

Следствия среди некоторых энергетических условий в случае идеальной жидкости.

Совершенные жидкости обладают тензором материи вида

$T\; ab\; =\; \rho \; uaub\; +\; phab,\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{ab\}\; =\; \backslash \; rho\; u\; ^\; \{a\}\; u\; ^\; \{b\}\; +\; ph\; ^\; \{ab\},\; \}$

где $u\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{u\}\}\}$- четырехскоростная частицы материи, а $hab\; \equiv \; gab\; +\; uaub\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; ^\; \{ab\}\; \backslash \; Equiv\; g\; ^\; \{ab\}\; +\; u\; ^\; \{a\}\; u\; ^\; \{b\}\}$- элементы пространственной гиперплоскости, ортогональные четырехскоростной, при каждое событие. (Обратите внимание, что эти элементы гиперплоскости не образуют пространственный гиперсрез, если скорость не является завихренной, то есть безвихревой.) Что касается кадра , выровненного с движением частиц материи, компоненты тензор материи принимает диагональный вид

$T\; a\; ^\; b\; ^\; =\; [\rho \; 0\; 0\; 0\; 0\; p\; 0\; 0\; 0\; 0\; p\; 0\; 0\; 0\; 0\; p].\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{\{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{b\}\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; rho\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; p\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; p\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; p\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Здесь $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$- это энергия плотность, а $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- давление.

Энергетические условия затем могут быть переформулированы в терминах этих собственных значений:

• Нулевое энергетическое условие оговаривает, что $\rho \; +\; p\; \ge \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; +\; p\; \backslash \; geq\; 0.\}$
• Условие слабой энергии оговаривает, что $\rho \; \ge \; 0,\; \rho \; +\; p\; \ge \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; geq\; 0,\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash \; rho\; +\; p\; \backslash \; geq\; 0.\}$
• Условие доминирующей энергии предусматривает, что $\rho \; \ge \; |\; p\; |.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; rho\; \backslash \; geq\; |\; p\; |.\}$
• Условие сильной энергии требует, чтобы $\rho \; +\; p\; \ge \; 0,\; \rho \; +\; 3\; p\; \ge \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; +\; p\; \backslash \; geq\; 0,\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash \; rho\; +\; 3p\; \backslash \; geq\; 0.\}$

Значение этих условий показано на рисунке справа. Обратите внимание, что некоторые из этих условий допускают отрицательное давление. Также обратите внимание, что, несмотря на названия, условие сильной энергии не подразумевает условие слабой энергии даже в контексте идеальных жидкостей.

Хотя цель энергетических условий состоит в том, чтобы предоставить простые критерии, которые исключают многие нефизические ситуации, допуская любую физически разумную ситуацию, по крайней мере, когда одна вводит эффективное поле, моделирующее некоторые квантово-механические эффекты, некоторые возможные тензоры материи, которые, как известно, являются физически разумными и даже реалистичными, поскольку они были экспериментально подтверждены, что фактически не соответствуют различным энергетическим условиям. В частности, в эффекте Казимира в области между двумя проводящими пластинами, удерживаемыми параллельно на очень малом расстоянии d, имеется отрицательная плотность энергии

$\epsilon \; =\; -\; \pi \; 2\; 720\; \hslash \; d\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{720\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{d\; ^\; \{4\}\}\}\}$

между пластинами. (Однако следует помнить, что эффект Казимира является топологическим, поскольку знак энергии вакуума зависит как от геометрии, так и от топологии конфигурации. Поскольку энергия вакуума отрицательна для параллельных пластин, энергия вакуума положительна для проводящей сферы.), различные квантовые неравенства предполагают, что подходящее условие усредненной энергии может быть удовлетворено в таких случаях. В частности, в эффекте Казимира выполняется условие усредненной нулевой энергии. Действительно, для тензоров энергии-импульса, возникающих из эффективных теорий поля в пространстве-времени Минковского, условие усредненной нулевой энергии выполняется для обычных квантовых полей. Расширение этих результатов - открытая проблема.

Сильному энергетическому условию подчиняется вся нормальная / ньютоновская материя, но ложный вакуум может его нарушить. Рассмотрим состояние линейного баротропного уравнения

$p\; =\; w\; \rho ,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; w\; \backslash \; rho,\}$

, где $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$- плотность энергии вещества, $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- давление вещества, а $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$- постоянная величина. Тогда для сильного энергетического условия требуется $w\; \ge \; -\; 1/3\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash \; geq\; -1/3\}$; но для состояния, известного как ложный вакуум, мы имеем $w\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; =\; -1\}$.

• Конгруэнтность (общая теория относительности)
• Точные решения в общей теории относительности
• Поля кадра в общей теории относительности

• Хокинг, Стивен; Эллис, Г. Ф. Р. (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.Энергетические условия обсуждаются в §4.3.
• Пуассон, Эрик (2004). Инструментарий релятивиста: математика механики черных дыр. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Bibcode : 2004rtmb.book..... P. ISBN 0-521-83091-5.Различные энергетические условия (включая все упомянутые выше) обсуждаются в разделе 2.1.
• Carroll, Sean M. (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности. Сан-Франциско: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-8732-3.Различные энергетические условия обсуждаются в разделе 4.6.
• Wald, Robert M. (1984). Общая теория относительности. Чикаго: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2.Общие энергетические условия обсуждаются в разделе 9.2.
• Ellis, G. F. R.; Maartens, R; MacCallum, M.A.H. (2012). Релятивистская космология. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-38115-4.Нарушения режима сильной энергии обсуждаются в разделе 6.1.