Электровакуумный раствор

В общей теории относительности, электровакуумный раствор (электровакуум) - это точное решение уравнения поля Эйнштейна, в котором единственная негравитационная масса-энергия - это энергия поля электромагнитного поля, которая должна удовлетворять источнику (искривленное пространство-время) -free уравнения Максвелла, соответствующие заданной геометрии. По этой причине электровакуум иногда называют (без источника) решениями Эйнштейна-Максвелла .

• 1 Математическое определение
• 2 Инварианты
• 3 Тензор Эйнштейна
• 4 Собственные значения
• 5 Условия Райнича
• 6 Тестовые поля
• 7 Примеры
• 8 См. Также
• 9 Ссылки

В общей теории относительности геометрическая установка для физических явлений - Лоренцево многообразие, которое физически интерпретируется как искривленное пространство-время и которое математически задается путем определения метрического тензора $gab\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; g\_\; \{ab\}\}$(или путем определения поля кадра ). Тензор кривизны Римана $R\; abcd\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; R\_\; \{abcd\}\}$этого многообразия и связанные с ним величины, такие как тензор Эйнштейна $G\; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; ^\; \{ab\}\}$, математически хорошо определены. В общей теории относительности их можно интерпретировать как геометрические проявления (кривизна и силы) гравитационного поля.

Нам также необходимо указать электромагнитное поле, задав тензор электромагнитного поля $F\; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{ab\}\}$на нашем лоренцевом многообразии. Эти два тензора должны удовлетворять двум следующим условиям:

1. Тензор электромагнитного поля должен удовлетворять уравнениям Максвелла поля искривленного пространства-времени без источника $F\; a\; b;\; c\; +\; F\; b\; c;\; a\; +\; F\; c\; a;\; b\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; F\_\; \{ab;\; c\}\; +\; F\_\; \{bc;\; a\}\; +\; F\_\; \{ca;\; b\}\; =\; 0\}$и $F\; j\; b;\; j\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{F\; ^\; \{jb\}\}\; \_\; \{;\; j\}\; =\; 0\}$
2. Тензор Эйнштейна должен соответствовать электромагнитному тензору энергии-импульса, $G\; ab\; =\; 2\; (\; F\; aj\; F\; bj\; -\; 1\; 4\; gab\; F\; mn\; F\; mn)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; ^\; \{ab\}\; =\; 2\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (F\; ^\; \{a\}\; \{\}\; \_\; \{j\}\; F\; ^\; \{bj\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{4\}\}\; g\; ^\; \{ab\}\; \backslash ,\; F\; ^\; \{mn\}\; \backslash ,\; F\_\; \{mn\}\; \backslash \; right)\}$.

Первое уравнение Максвелла выполняется автоматически, если мы определяем тензор поля в терминах вектор электромагнитного потенциала $A\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{A\}\}\}$. В терминах двойного ковектора (или потенциального одноформного ) и электромагнитного двухформного мы можем сделать это, установив $F\; =\; d\; А\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; =\; dA\}$. Тогда нам нужно только убедиться, что расходимости обращаются в нуль (т.е. что второе уравнение Максвелла выполняется для поля без источника) и что электромагнитная энергия-напряжение соответствует тензору Эйнштейна.

Как и в плоском пространстве-времени, тензор электромагнитного поля антисимметричен, только с двумя алгебраически независимыми скалярными инвариантами,

$I\; =\; \star \; (F\; \wedge \; \star \; F)\; =\; F\; ab\; F\; ab\; Знак\; равно\; -\; 2\; (\Vert \; E\; \to \; \Vert \; 2\; -\; \Vert \; B\; \to \; \Vert \; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; I\; =\; \backslash \; звезда\; (F\; \backslash \; клин\; \backslash \; звезда\; F)\; =\; F\_\; \{ab\}\; \backslash ,\; F\; ^\; \{ab\}\; =\; -\; 2\; \backslash ,\; \backslash \; влево\; (\backslash \; |\; \{\backslash \; vec\; \{E\}\}\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; |\; \{\backslash \; vec\; \{B\}\}\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$

$J\; =\; \star \; (F\; \wedge \; F)\; =\; F\; ab\; \star \; F\; ab\; =\; -\; 4\; E\; \to \; \cdot \; B\; \to \; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; =\; \backslash \; star\; (F\; \backslash \; клин\; F)\; =\; F\_\; \{ab\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; star\; F\}\; ^\; \{ab\}\; =\; -\; 4\; \backslash ,\; \{\backslash \; vec\; \{E\; \}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; vec\; \{B\}\}\}$

Здесь звезда - это звезда Ходжа.

Используя их, мы можем классифицировать возможные электромагнитные поля следующим образом:

1. Если но $J\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; 0\}$, у нас есть электростатическое поле, что означает, что некоторые наблюдатели будут измерять статическое электрическое поле, а не магнитное поле.
2. Если $I>0\; \{\backslash \; displaystyle\; I>0\}$но $J\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; 0\}$, у нас есть магнитостатическое поле, что означает, что некоторые наблюдатели будут измерять статическое магнитное поле, а не электрическое поле.
3. Если $I\; =\; J\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; J\; =\; 0\}$, электромагнитное поле считается нулевым, и мы имеем нулевой электровакуум .

Нулевой электровакуум связан с электромагнитным излучением. Электромагнитное поле, которое не является нулевым, называется ненулевым, и тогда у нас есть ненулевой электровакуум .

Компоненты тензора, вычисленные относительно в поле кадра , а не на основе координат, часто называют физическими компонентами, потому что это компоненты, которые могут (в принципе) быть измерены наблюдателем.

В случае электровакуумного раствора адаптированный кадр

$e\; \to \; 0,\; e\; \to \; 1,\; e\; \to \; 2,\; e\; \to \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{0\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{1\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{2\},\; \backslash ;\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{3\}\}$

всегда можно найти в что тензор Эйнштейна имеет особенно простой вид. Здесь первый вектор понимается как времяподобное единичное векторное поле; он всюду касается мировых линий соответствующего семейства адаптированных наблюдателей, движение которых «согласовано» с электромагнитным полем. Последние три - пространственноподобные единичные векторные поля.

Для ненулевого электровакуума может быть найдена адаптированная система отсчета, в которой тензор Эйнштейна принимает форму

$G\; a\; ^\; b\; ^\; =\; 8\; \pi \; ϵ\; [1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; ^\; \{\{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{b\}\}\}\; =\; 8\; \backslash \; pi\; \backslash \; epsilon\; \backslash ,\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; -1\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\}$

где $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$- плотность энергии электромагнитного поля, измеренная любой адаптированный наблюдатель. Из этого выражения легко увидеть, что группа изотропии нашего ненулевого электровакуума генерируется усилениями в $e\; \to \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{3\; \}\}$направление и вращения вокруг оси $e\; \to \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{3\}\}$. Другими словами, группа изотропии любого ненулевого электровакуума является двумерной абелевой группой Ли, изоморфной SO (1,1) x SO (2).

Для нулевого электровакуума может быть найдена адаптированная система отсчета, в которой тензор Эйнштейна принимает вид

$G\; a\; ^\; b\; ^\; =\; 8\; \pi \; ϵ\; [1\; 0\; 0\; \pm \; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; \pm \; 1\; 0\; 0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; ^\; \{\{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{b\}\}\}\; =\; 8\; \backslash \; pi\; \backslash \; epsilon\; \backslash ,\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \; pm\; 1\; \backslash \; \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; pm\; 1\; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\}$

Отсюда легко увидеть, что группа изотропии нашего нулевого электровакуума включает вращения вокруг $e\; \to \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{3\}\}$ось; два дополнительных генератора - это два параболических преобразования Лоренца, согласованные с направлением $e\; \to \; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{3\}\}$, приведенным в статье о Lorentz группа. Другими словами, группа изотропии любого нулевого электровакуума - это трехмерная группа Ли, изоморфная E (2), группе изометрий евклидовой плоскости.

Тот факт, что эти результаты точно такие же в искривленном пространстве-времени, что и для электродинамики в плоском пространстве-времени Минковского, является одним из выражений принципа эквивалентности.

Характеристический многочлен тензора Эйнштейна ненулевого электровакуума должен иметь вид

$\chi \; (\lambda )\; =\; (\lambda \; +\; 8\; \pi \; ϵ)\; 2\; (\lambda \; -\; 8\; \pi \; ϵ)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; lambda)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; +8\; \backslash \; pi\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\backslash \; lambda\; -8\; \backslash \; pi\; \backslash \; epsilon\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

Используя тождества Ньютона, это условие можно перевыразить в терминах следов степеней тензора Эйнштейна как

$t\; 1\; =\; t\; 3\; =\; 0,\; t\; 4\; =\; t\; 2\; 2/4\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{1\}\; =\; t\_\; \{3\}\; =\; 0,\; \backslash ;\; t\_\; \{4\}\; =\; t\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; /\; 4\}$

где

$t\; 1\; =\; G\; aa,\; т\; 2\; =\; G\; ab\; G\; ba,\; t\; 3\; =\; G\; ab\; G\; bc\; G\; ca,\; t\; 4\; =\; G\; ab\; G\; bc\; G\; cd\; G\; da\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{1\}\; =\; \{G\; ^\; \{a\}\}\; \_\; \{a\},\; \backslash ;\; t\_\; \{2\}\; =\; \{G\; ^\; \{a\}\}\; \_\; \{b\}\; \backslash ,\; \{G\; ^\; \{b\}\}\; \_\; \{a\},\; \backslash ;\; t\_\; \{3\}\; =\; \{G\; ^\; \{a\}\}\; \_\; \{b\}\; \backslash ,\; \{G\; ^\; \{b\}\}\; \_\; \{c\}\; \backslash ,\; \{G\; ^\; \{c\}\}\; \_\; \{a\},\; \backslash ;\; t\_\; \{4\}\; =\; \{G\; ^\; \{a\}\}\; \_\; \{b\}\; \backslash ,\; \{G\; ^\; \{b\}\}\; \_\; \{c\}\; \backslash ,\; \{G\; ^\; \{c\}\}\; \_\; \{d\}\; \backslash ,\; \{G\; ^\; \{d\}\}\; \_\; \{a\}\}$

Этот необходимый критерий может быть полезен для проверки правдоподобности предполагаемого ненулевого электровакуумного решения и иногда полезен для поиска ненулевого электровакуумного решения.

Характеристический полином нулевого электровакуума одинаково равен нулю, даже если плотность энергии отлична от нуля. Эта возможность является тензорным аналогом хорошо известного, что нулевой вектор всегда имеет нулевую длину, даже если это не нулевой вектор. Таким образом, каждый нулевой электровакуум имеет одно четверное собственное значение, а именно ноль.

В 1925 году Джордж Юрий Райнич представил чисто математические условия, которые необходимы и достаточны для того, чтобы лоренцево многообразие допускало интерпретацию в общей теории относительности как не -нуль электровакуум. Они включают три алгебраических условия и одно дифференциальное условие. Условия иногда полезны для проверки того, что предполагаемый ненулевой электровакуум действительно является тем, о чем он заявляет, или даже для поиска таких решений.

Аналогичные необходимые и достаточные условия для нулевого электровакуума были найдены Чарльзом Торром.

Иногда можно предположить, что энергия любого электромагнитного поля такова. мала, что его гравитационными эффектами можно пренебречь. Затем, чтобы получить приближенное электровакуумное решение, нам нужно только решить уравнения Максвелла на заданном вакуумном решении. В этом случае электромагнитное поле часто называют пробным полем по аналогии с термином пробная частица (обозначающий небольшой объект, масса которого слишком мала, чтобы вносить заметный вклад в окружающее гравитационное поле. поле).

Здесь полезно знать, что любые векторы Киллинга, которые могут присутствовать, будут (в случае вакуумного решения) автоматически удовлетворять уравнениям Максвелла искривленного пространства-времени.

Обратите внимание, что эта процедура составляет если предположить, что электромагнитное поле, но не гравитационное поле, является «слабым». Иногда мы можем пойти еще дальше; если гравитационное поле также считается «слабым», мы можем независимо решить линеаризованные уравнения поля Эйнштейна и уравнения Максвелла (плоское пространство-время) на фоне вакуума Минковски. Тогда (слабый) метрический тензор дает приближенную геометрию; фон Минковского ненаблюдаем с помощью физических средств, но математически с ним гораздо проще работать, если нам удается уйти от такой ловкости рук.

Примечательные индивидуальные ненулевые электровакуумные решения включают:

• электровакуум Рейсснера – Нордстрема (который описывает геометрию вокруг заряженной сферической массы),
• Керр – Ньюман электровакуум (который описывает геометрию вокруг заряженного вращающегося объекта),
• электровакуум Мелвина (модель цилиндрически симметричного магнитостатического поля),
• электровакуум Гарфинкля-Мелвина (аналогично предыдущему, но включая гравитационную волну, движущуюся вдоль оси симметрии),
• электровакуум Бертотти – Робинсона: это простое пространство-время с замечательной структурой произведения; он возникает из-за своего рода "взрыва" горизонта электровакуума Райсснера-Нордстрёма,
• электровакуума Виттена (обнаруженного Луи Виттеном, отцом Эдварда Виттена ).

Примечательные индивидуальные нулевые электровакуумные решения включают:

• плоскую монохроматическую электромагнитную волну, точное решение, которое является общей релятивитской анагой плоских волн в классическом электромагнетизме,
• электровакуум Белла-Секереса ( модель сталкивающихся плоских волн).

Некоторые хорошо известные семейства электровакуумов:

• Электровакуум Вейля – Максвелла: это семейство всех статических осесимметричных электровакуумных растворов; оно включает электровакуум Райсснера-Нордстрема,
• Электровакуум Эрнста – Максвелла: это семейство всех стационарных осесимметричных электровакуумных решений; оно включает электровакуум Керра-Ньюмана,
• электровакуум Бека – Максвелла: все невращающиеся цилиндрически симметричные электровакуумные решения,
• Элерса –Электровакуум Максвелла: все с стационарные цилиндрически симметричные электровакуумные решения,
• электровакуумы Секереса: все пары сталкивающихся плоских волн, каждая из которых может содержать как гравитационное, так и электромагнитное излучение; эти растворы являются нулевыми электровакуумами за пределами зоны взаимодействия, но, как правило, ненулевыми электровакуумами внутри зоны взаимодействия из-за нелинейного взаимодействия двух волн после их столкновения.

Многие стр. -волновые пространства-времени допускают тензор электромагнитного поля, превращающий их в точные нулевые электровакуумные решения.

• Классификация электромагнитных полей
• Точные решения в общей теории относительности
• Группа Лоренца

• Стефани, Ханс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малькольм; Хенселаерс, Корнелиус; Герлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7.См. Раздел 5.4 для условий Райнича, раздел 19.4 для электровакуумов Вейля-Максвелла, раздел 21.1 для электровакуумов Эрнста-Максвелла, раздел 24.5 для стр. -волны, раздел 25.5 для электровакуумов Секереса и т. д.
• Griffiths, JB (1991). Встречающиеся плоские волны в общей теории относительности. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-853209-1.Полный ресурс по сталкивающимся плоским волнам, включая примеры, упомянутые выше.