Получение решения Шварцшильда

Решение Шварцшильда описывает пространство-время под влиянием массивного, не - вращающийся сферически симметричный объект. Некоторые считают его одним из самых простых и наиболее полезных решений уравнений поля Эйнштейна.

• 1 Допущения и обозначения
• 2 Диагонализация метрики
• 3 Упрощение компонентов
• 4 Вычисление символов Кристоффеля
• 5 Использование уравнений поля для нахождения A (r) и B (r)
• 6 Использование приближения слабого поля для нахождения K и S
• 7 Альтернативный вывод с использованием известной физики в особые случаи
• 8 Альтернативная форма в изотропных координатах
• 9 Отказ от статического допущения - теорема Биркгофа
• 10 См. также
• 11 Ссылки

Работа в координатная диаграмма с координатами $(r,\; \theta ,\; \varphi ,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (r,\; \backslash \; theta,\; \backslash \; phi,\; t\; \backslash \; right)\}$с номерами от 1 до 4 соответственно, мы начинаем с метрики в ее самом общем виде (10 независимых компонентов, каждая из которых является гладкой функцией от 4 переменных). Решение предполагается сферически-симметричным, статическим и вакуумным. Для целей данной статьи эти предположения могут быть сформулированы следующим образом (см. Соответствующие ссылки для точных определений):

1. A сферически-симметричное пространство-время - это пространство, которое инвариантно относительно вращений и получения зеркального изображения.
2. A static пространство-время - это пространство, в котором все метрические компоненты не зависят от временной координаты $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$(так что $\partial \; \partial \; tg\; \mu \; \nu \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; 0\}$) и геометрия пространства-времени не меняется при обращении времени $t\; \to \; -\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; rightarrow\; -t\}$.
3. A вакуумное решение - это решение, которое удовлетворяет уравнению $T\; ab\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{ab\}\; =\; 0\}$. Из уравнений поля Эйнштейна (с нулем космологической постоянной ) это означает, что $R\; ab\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{ab\}\; =\; 0\}$поскольку согласование $R\; ab\; -\; R\; 2\; gab\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{ab\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{R\}\; \{2\}\}\; g\_\; \{ab\}\; =\; 0\}$дает $R\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; 0\}$.
4. Используемая здесь подпись метрики (+, +, +, -).

Первое упрощение необходимо сделать диагонализацию метрики. При преобразовании координат , $(r,\; \theta ,\; \varphi ,\; t)\; \to \; (r,\; \theta ,\; \varphi ,\; -\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; (r,\; \backslash \; theta,\; \backslash \; phi,\; t)\; \backslash \; rightarrow\; (r,\; \backslash \; theta,\; \backslash \; phi,\; -t)\}$, все компоненты метрики должны оставаться такими же. Метрические компоненты $g\; \mu \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; 4\}\}$($\mu \; \ne \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; neq\; 4\}$) изменяются при этом преобразовании как:

$g\; \mu \; 4\; \prime \; знак\; равно\; \partial \; x\; \alpha \; \partial \; x\; \prime \; \mu \; \partial \; x\; \beta \; \partial \; x\; \prime \; 4\; g\; \alpha \; \beta \; =\; -\; g\; \mu \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; 4\}\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; \}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\text{'}\backslash \; mu\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; beta\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\text{'}\; 4\}\}\}\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; -\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; 4\}\}$($\mu \; \ne \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; neq\; 4\}$)

Но, как мы и ожидали, $g\; \mu \; 4\; \prime \; =\; g\; \mu \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \text{'}\_\; \{\backslash \; mu\; 4\}\; =\; g\_\; \{\backslash \; mu\; 4\}\}$(метрические компоненты остаются прежними), это означает, что:

$g\; \mu \; 4\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; 4\}\; =\; \backslash ,\; 0\}$($\mu \; \ne \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; neq\; 4\}$)

Аналогичным образом преобразования координат $(r,\; \theta ,\; \varphi ,\; t)\; \to \; (r,\; \theta ,\; -\; \varphi ,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; (r,\; \backslash \; theta,\; \backslash \; phi,\; t)\; \backslash \; rightarrow\; (r,\; \backslash \; theta,\; -\; \backslash \; phi,\; t)\}$и $(r,\; \theta ,\; \varphi ,\; t)\; \to \; (r,\; -\; \theta ,\; \varphi ,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; (r,\; \backslash \; theta,\; \backslash \; phi,\; t)\; \backslash \; rightarrow\; (r,\; -\; \backslash \; theta,\; \backslash \; phi,\; t)\}$соответственно дает:

$g\; \mu \; 3\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; 3\}\; =\; \backslash ,\; 0\}$($\mu \; \ne \; 3\; \{\backslash \; dis\; playstyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; neq\; 3\}$)

$g\; \mu \; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; 2\}\; =\; \backslash ,\; 0\}$($\mu \; \ne \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; neq\; 2\}$)

Собираем все это вместе дает:

$г\; \mu \; \nu \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; \backslash ,\; 0\}$($\mu \; \ne \; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; neq\; \backslash \; nu\}$)

и, следовательно, метрика должна иметь вид:

$ds\; 2\; =\; g\; 11\; dr\; 2\; +\; g\; 22\; d\; \theta \; 2\; +\; g\; 33\; d\; \varphi \; 2\; +\; g\; 44\; dt\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash ,\; g\_\; \{11\}\; \backslash ,\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; g\_\; \{22\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; g\_\; \{33\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\}\; +\; g\_\; \{44\}\; \backslash ,\; dt\; ^\; \{2\}\}$

, где четыре метрических компонента не зависят от временной координаты $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$(согласно статическому предположению).

На каждой гиперповерхности константы $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, константа $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$и константа $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$(т.е. на каждой радиальной линии), $g\; 11\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{11\}\}$должен зависеть только от $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$(по сферической симметрии). Следовательно, $g\; 11\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{11\}\}$является функцией одной переменной:

$g\; 11\; =\; A\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{11\}\; =\; A\; \backslash \; left\; (\; r\; \backslash \; right)\}$

Аналогичный аргумент, примененный к $g\; 44\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{44\}\}$, показывает, что:

$g\; 44\; =\; B\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{\; 44\}\; =\; B\; \backslash \; left\; (r\; \backslash \; right)\}$

На гиперповерхностях константы $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$и константы $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$, требуется, чтобы метрика соответствовала 2-сфере:

$dl\; 2\; =\; r\; 0\; 2\; (d\; \theta \; 2\; +\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \varphi \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; dl\; ^\; \{2\}\; =\; r\_\; \{\; 0\}\; ^\; \{2\}\; (d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\})\}$

Выбор одной из этих гиперповерхностей (с радиусом $r\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{0\}\}$, скажем), компоненты метрики, ограниченные этой гиперповерхностью (которую мы обозначаем $g\; ~\; 22\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{g\}\}\; \_\; \{\; 22\}\}$и $g\; ~\; 33\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{g\}\}\; \_\; \{33\}\}$) не должны изменяться при поворотах на $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$и $\varphi \; \{\backslash \; displa\; ystyle\; \backslash \; phi\}$(опять же, по сферической симметрии). Сравнение форм метрики на этой гиперповерхности дает:

$g\; ~\; 22\; (d\; \theta \; 2\; +\; g\; ~\; 33\; g\; ~\; 22\; d\; \varphi \; 2)\; =\; r\; 0\; 2\; (d\; \theta \; 2\; +\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \varphi \; 2)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{g\}\}\; \_\; \{22\}\; \backslash \; left\; (d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; tilde\; \{g\}\}\; \_\; \{33\}\}\; \{\{\backslash \; tilde\; \{g\}\}\; \_\; \{\; 22\}\}\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; r\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; (d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\; \})\}$

что сразу дает:

$g\; ~\; 22\; =\; r\; 0\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{g\}\}\; \_\; \{22\}\; =\; r\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}$и $g\; ~\; 33\; =\; r\; 0\; 2\; грех\; 2\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{g\}\}\; \_\; \{33\}\; =\; r\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}$

Но это требуется для удержания каждой гиперповерхности; следовательно,

$g\; 22\; =\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{22\}\; =\; \backslash ,\; r\; ^\; \{2\}\}$и $g\; 33\; =\; r\; 2\; sin\; 2\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{\; 33\}\; =\; \backslash ,\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}$

Альтернативный интуитивный способ увидеть, что $g\; 22\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{22\}\}$и $g\; 33\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{33\}\}$должно быть таким же, как для плоского пространства-времени, состоит в том, что растяжение или сжатие эластичного материала сферически симметричным образом (радиально) не изменит угловое расстояние между два очка.

Таким образом, метрику можно представить в виде:

$ds\; 2\; =\; A\; (r)\; dr\; 2\; +\; r\; 2\; d\; \theta \; 2\; +\; r\; 2\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \varphi \; 2\; +\; B\; (r)\; dt\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; A\; \backslash \; left\; (r\; \backslash \; right)\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\}\; +\; B\; \backslash \; left\; (r\; \backslash \; right)\; dt\; ^\; \{2\}\}$

с $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$еще не определенные функции для $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$. Обратите внимание: если $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$или $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$в какой-то момент равно нулю, метрика будет в единственном числе. в этот момент.

Используя приведенную выше метрику, мы находим символы Кристоффеля, где индексы $(1,\; 2,\; 3,\; 4)\; =\; (г,\; \theta ,\; \varphi ,\; T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (1,2,3,4)\; =\; (г,\; \backslash \; тета,\; \backslash \; фи,\; т)\}$. Знак $\prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \text{'}\}$обозначает полную производную функции.

$\Gamma \; ik\; 1\; =\; [A\; \prime \; /\; (2\; A)\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; r\; /\; A\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; r\; sin\; 2\; \; \theta \; /\; A\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; B\; \prime \; /\; (2\; A)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ik\}\; ^\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; A\; \text{'}/\; \backslash \; left\; (2A\; \backslash \; right)\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; -r\; /\; A\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; -r\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; /\; A\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; -B\; \text{'}/\; \backslash \; left\; (2A\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

$\Gamma \; ik\; 2\; =\; [0\; 1\; /\; r\; 0\; 0\; 1\; /\; r\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; -\; sin\; \; \theta \; cos\; \; \theta \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ik\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 1\; /\; r\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; /\; r\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

$\Gamma \; ik\; 3\; =\; [0\; 0\; 1\; /\; r\; 0\; 0\; 0\; детская\; кроватка\; \; \theta \; 0\; 1\; /\; r\; детская\; кроватка\; \; \theta \; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ik\}\; ^\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; 1\; /\; r\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; cot\; \backslash \; theta\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; /\; r\; \backslash \; cot\; \backslash \; theta\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

$\Gamma \; ik\; 4\; =\; [\; 0\; 0\; 0\; B\; \prime \; /\; (2\; B)\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; B\; \prime \; /\; (2\; B)\; 0\; 0\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ik\}\; ^\; \{4\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; B\; \text{'}/\; \backslash \; left\; (2B\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; B\text{'}\; /\; \backslash \; left\; (2B\; \backslash \; right)\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Чтобы определить $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$используются уравнения вакуумного поля :

$R\; \alpha \; \beta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; \backslash ,\; 0\}$

Отсюда:

$\Gamma \; \beta \; \alpha ,\; \rho \; \rho \; -\; \Gamma \; \rho \; \alpha ,\; \beta \; \rho \; +\; \Gamma \; \rho \; \lambda \; \rho \; \Gamma \; \beta \; \alpha \; \lambda \; -\; \Gamma \; \beta \; \lambda \; \rho \; \Gamma \; \rho \; \alpha \; \lambda \; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; rho\}\; ^\; \{\backslash \; rho\}\}\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; rho\; \backslash \; alpha,\; \backslash \; beta\}\; ^\; \{\backslash \; rho\}\; +\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; rho\; \backslash \; lambda\}\; ^\; \{\backslash \; rho\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; alpha\}\; ^\; \{\; \backslash \; lambda\}\; -\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; lambda\}\; ^\; \{\backslash \; rho\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{\backslash \; rho\; \backslash \; alpha\}\; ^\; \{\backslash \; lambda\}\; =\; 0\; \backslash ,,\}$

где запятая используется для обозначения индекс, который используется для производной. Только три из этих уравнений нетривиальны и после упрощения становятся:

$4\; A\; \prime \; B\; 2\; -\; 2\; r\; B\; ″\; AB\; +\; r\; A\; \prime \; B\; \prime \; B\; +\; r\; B\; \prime \; 2\; A\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; 4A\text{'}B\; ^\; \{\; 2\}\; -2rB\text{'}\text{'}AB\; +\; rA\text{'}B\text{'}B\; +\; rB\; \text{'}^\; \{2\}\; A\; =\; 0\; \backslash ,,\}$

$r\; A\; \prime \; B\; +\; 2\; A\; 2\; B\; -\; 2\; AB\; -\; r\; B\; \prime \; A\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; rA\text{'}B\; +\; 2A\; ^\; \{2\}\; B-2AB-rB\text{'}A\; =\; 0\; \backslash ,,\}$

$-\; 2\; r\; B\; ″\; AB\; +\; r\; A\; \prime \; B\; \prime \; B\; +\; r\; B\; \prime \; 2\; A\; -\; 4\; B\; \prime \; AB\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; -2rB\text{'}\text{'}AB\; +\; rA\text{'}B\text{'}B\; +\; rB\; \text{'}^\; \{2\}\; A-4B\text{'}AB\; =\; 0\}$

(четвертое уравнение просто $sin\; 2\; \; \theta \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\}$умножить на второе уравнение), где штрих означает производную функции по r. Вычитание первого и третьего уравнений дает:

$A\; \prime \; B\; +\; AB\; \prime \; =\; 0\; \Rightarrow \; A\; (r)\; B\; (r)\; =\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; A\text{'}B\; +\; AB\; \text{'}=\; 0\; \backslash \; Rightarrow\; A\; (r)\; B\; (r)\; =\; K\}$

, где $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$- ненулевая действительная константа. Подстановка $A\; (r)\; B\; (r)\; =\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (r)\; B\; (r)\; \backslash ,\; =\; K\}$во второе уравнение и уборка дает:

$r\; A\; \prime \; =\; A\; (1\; -\; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; rA\; \text{'}=\; A\; (1-A)\}$

который имеет общее решение:

$A\; (r)\; =\; (1\; +\; 1\; S\; r)\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (r)\; =\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Sr\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\}$

для некоторой ненулевой вещественной константы $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$. Следовательно, метрика для статического сферически-симметричного вакуумного решения теперь имеет вид:

$ds\; 2\; =\; (1\; +\; 1\; S\; r)\; -\; 1\; dr\; 2\; +\; r\; 2\; (d\; \theta \; 2\; +\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \varphi \; 2)\; +\; К\; (1\; +\; 1\; S\; r)\; dt\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Sr\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; г\; ^\; \{2\}\; (д\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\})\; +\; K\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Sr\}\}\; \backslash \; right)\; dt\; ^\; \{2\}\}$

Обратите внимание, что пространство-время, представленное вышеуказанной метрикой, является асимптотически плоским, то есть как $r\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}$, метрика приближается к метрике метрики Минковского, а пространственно-временное многообразие напоминает метрику пространства Минковского.

Эта диаграмма дает путь найти решение Шварцшильда, используя приближение слабого поля. Равенство во второй строке дает g 44 = -c + 2GM / r, предполагая, что искомое решение вырождается в метрику Минковского, когда движение происходит далеко от черной дыры (r стремится к положительной бесконечности).

Геодезические метрики (полученные, когда $ds\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\}$экстремально) должны в некотором пределе (например, в направлении бесконечной скорости света) согласовываться с решениями ньютоновского движения ( например, полученное с помощью уравнений Лагранжа ). (Метрика также должна ограничиваться пространством Минковского, когда масса, которую она представляет, равна нулю.)

$0\; =\; \delta \; \int \; dsdtdt\; =\; \delta \; \int \; (KE\; +\; PE\; g)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{ds\}\; \{dt\}\}\; dt\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; int\; (KE\; +\; PE\_\; \{g\})\; dt\}$

(где $KE\; \{\backslash \; displaystyle\; KE\}$- кинетическая энергия и $PE\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; PE\_\; \{g\}\}$- потенциальная энергия силы тяжести) Константы $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$и $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$полностью определяются каким-либо вариантом этого подхода; из приближения слабого поля получаем результат:

$g\; 44\; =\; K\; (1\; +\; 1\; S\; r)\; \approx \; -\; c\; 2\; +\; 2\; G\; mr\; =\; -\; c\; 2\; (1-2\; G\; mc\; 2\; р)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{44\}\; =\; K\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Sr\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; приблизительно\; -c\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2Gm\}\; \{r\}\}\; =\; -c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2Gm\}\; \{c\; ^\; \{2\}\; r\}\}\; \backslash \; right)\}$

где $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- гравитационная постоянная, $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- это масса гравитационного источника, а $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$- это скорость света. Было обнаружено, что:

$K\; =\; -\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \backslash ,\; -\; c\; ^\; \{2\}\}$и $1\; S\; =\; -\; 2\; G\; mc\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{S\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2Gm\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Следовательно:

$A\; (r)\; =\; (1\; -\; 2\; G\; mc\; 2\; r)\; -\; 1\; \{\; \backslash \; displaystyle\; A\; (r)\; =\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2Gm\}\; \{c\; ^\; \{2\}\; r\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\}$и $B\; (r)\; Знак\; равно\; -\; с\; 2\; (1-2\; г\; mc\; 2\; r)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (r)\; =\; -\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2Gm\}\; \{c\; ^\; \{2\}\; r\}\}\; \backslash \; right)\; \}$

Итак, метрику Шварцшильда, наконец, можно записать в виде:

$ds\; 2\; =\; (1\; -\; 2\; G\; mc\; 2\; r)\; -\; 1\; dr\; 2\; +\; r\; 2\; (d\; \theta \; 2\; +\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \varphi \; 2)\; -\; c\; 2\; (1-2\; г\; mc\; 2\; r)\; dt\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2Gm\}\; \{c\; ^\; \{2\}\; r\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; -1\}\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; (d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\})\; -\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (1-\; \{\backslash \; frac\; \{2Gm\}\; \{c\; ^\; \{2\}\; r\}\}\; \backslash \; right)\; dt\; ^\; \{2\}\}$

Обратите внимание, что:

$2\; G\; mc\; 2\; =\; rs\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{2Gm\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; r\_\; \{s\}\}$

- это определение радиуса Шварцшильда для объекта массой $м\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, поэтому метрику Шварцшильда можно переписать в альтернативной форме:

$ds\; 2\; знак\; равно\; (1\; -\; rsr)\; -\; 1\; dr\; 2\; +\; r\; 2\; (d\; \theta \; 2\; +\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \varphi \; 2)\; -\; c\; 2\; (1\; -\; rsr)\; dt\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{s\}\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1\}\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; (d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; theta\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\})\; -\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{s\}\}\; \{r\}\}\; \backslash \; right)\; dt\; ^\; \{2\}\}$

который показывает, что метрика становится сингулярной, приближаясь к горизонту событий (то есть $r\; \to \; rs\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; rightarrow\; r\_\; \{s\}\}$). Метрическая особенность не является физической (хотя существует реальная физическая сингулярность в $r\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 0\}$), что можно показать с помощью подходящего преобразования координат (например, система координат Крускала – Секереса ).

Метрика Шварцшильда также может быть получена с использованием известной физики для круговой орбиты и временно стационарной точечной массы. Начните с метрики с коэффициентами, которые являются неизвестными коэффициентами $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$:

$-\; c\; 2\; =\; (dsd\; \tau )\; 2\; =\; A\; (r)\; (drd\; \tau )\; 2\; +\; r\; 2\; (d\; \varphi \; d\; \tau )\; 2\; +\; B\; (r)\; (dtd\; \tau )\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; -c\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (\{ds\; \backslash \; over\; d\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; A\; (r)\; \backslash \; left\; (\{dr\; \backslash \; over\; d\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\; \}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{d\; \backslash \; phi\; \backslash \; over\; d\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; B\; (r)\; \backslash \; left\; (\{dt\; \backslash \; over\; d\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}.\}$

Теперь применим уравнение Эйлера-Лагранжа к интегралу длины дуги $J\; =\; \int \; \tau \; 1\; \tau \; 2\; -\; (ds\; /\; d\; \tau )\; 2\; d\; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{J\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{\backslash \; tau\; \_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; s\; /\; \{\backslash \; text\; \{d\}\})\; \backslash \; tau\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; \backslash \; tau.\}\}$Поскольку $ds\; /\; d\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; /\; d\; \backslash \; tau\}$константа, подынтегральное выражение можно заменить на $(ds\; /\; d\; \tau )\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; s\; /\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; \backslash \; tau)\; ^\; \{2\; \},\}$, потому что уравнение EL точно такое же, если подынтегральное выражение умножается на любую константу. Применение уравнения EL к $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$с модифицированным подынтегральным выражением дает:

$A\; \prime \; (r)\; r\; \dot{}\; 2\; +\; 2\; r\; \varphi \; \dot{}\; 2\; +\; B\; \prime \; (r)\; t\; \dot{}\; 2\; =\; 2\; A\; \prime \; (r)\; r\; \dot{}\; 2\; +\; 2\; A\; (r)\; r\; ¨\; 0\; =\; 2\; rr\; \dot{}\; \varphi \; \dot{}\; +\; r\; 2\; \varphi \; ¨\; 0\; =\; B\; \prime \; (r)\; r\; \dot{}\; t\; \dot{}\; +\; B\; (r)\; t\; ¨\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{lcl\}\; A\; \text{'}(r)\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; 2r\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; phi\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; B\text{'}\; (r)\; \{\backslash \; точка\; \{t\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; 2A\; \text{'}(r)\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; 2A\; (r)\; \{\backslash \; ddot\; \{r\}\}\; \backslash \backslash \; 0\; =\; 2r\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\; \}\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; phi\}\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; ddot\; \{\backslash \; phi\}\}\; \backslash \backslash \; 0\; =\; B\; \text{'}(r)\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; \{\backslash \; dot\; \{t\}\}\; +\; B\; (r)\; \{\backslash \; ddot\; \{t\}\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

где точка обозначает дифференцирование по $\tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau.\}$

По круговой орбите $r\; \dot{}\; =\; r\; ¨\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; =\; \{\backslash \; ddot\; \{r\}\}\; =\; 0,\}$, поэтому первое уравнение EL эквивалентно

$2\; r\; \varphi \; \dot{}\; 2\; +\; B\; \prime \; (r)\; t\; \dot{}\; 2\; =\; 0\; \iff \; B\; \prime \; (r)\; =\; -\; 2\; r\; \varphi \; \dot{}\; 2\; /\; t\; \dot{}\; 2\; =\; -\; 2\; r\; (d\; \varphi \; /\; dt)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; 2r\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; phi\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; B\; \text{'}(r)\; \{\backslash \; dot\; \{t\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; 0\; \backslash \; Leftrightarrow\; B\text{'}\; (r)\; =\; -\; 2r\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; phi\}\}\; ^\; \{2\}\; /\; \{\backslash \; dot\; \{t\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; -\; 2r\; (d\; \backslash \; phi\; /\; dt)\; ^\; \{2\}.\}$

Третий закон движения Кеплера равен

$Т\; 2\; r\; 3\; =\; 4\; \pi \; 2\; G\; (M\; +\; m).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{T\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{3\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{G\; (M\; +\; m)\}\}.\}$

В круговая орбита, период $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$равен $2\; \pi \; /\; (d\; \varphi \; /\; dt),\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\; /\; (d\; \backslash \; phi\; /\; dt),\}$, подразумевая

$(d\; \varphi \; dt)\; 2\; =\; GM\; /\; r\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{d\; \backslash \; phi\; \backslash \; over\; dt\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; GM\; /\; r\; ^\; \{3\}\; \}$

, поскольку точечная масса $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$пренебрежимо мала по сравнению с массой центрального тела $M.\; \{\backslash \; displaystyle\; M.\}$Итак $B\; \text{'}(r)\; =\; -\; 2\; GM\; /\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; B\text{'}\; (r)\; =\; -\; 2GM\; /\; r\; ^\; \{2\}\}$и интегрирование этого дает $B\; (r)\; =\; 2\; GM\; /\; r\; +\; C,\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (r)\; =\; 2GM\; /\; r\; +\; C,\}$где $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$- неизвестная постоянная интегрирования. $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$можно определить, задав $M\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; =\; 0,\}$, и в этом случае пространство-время является плоским и $B\; (r)\; =\; -\; c\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (r)\; =\; -\; c\; ^\; \{2\}.\}$Итак, $C\; =\; -\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; -c\; ^\; \{2\}\}$и

$B\; (r)\; =\; 2\; GM\; /\; r\; -\; c\; 2\; =\; c\; 2\; (2\; GM\; /\; c\; 2\; r\; -\; 1)\; =\; c\; 2\; (rs\; /\; r\; -\; 1).\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\; (r)\; =\; 2GM\; /\; rc\; ^\; \{2\}\; =\; c\; ^\; \{2\}\; (2GM\; /\; c\; ^\; \{2\}\; r-1)\; =\; c\; ^\; \{2\}\; (r\_\; \{s\}\; /\; r-1).\; \}$

Когда точечная масса временно неподвижна, $r\; \dot{}\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{r\}\}\; =\; 0\}$и $\varphi \; \dot{}\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; phi\}\}\; =\; 0.\}$Исходное метрическое уравнение принимает вид $t\; \dot{}\; 2\; =\; -\; c\; 2\; /\; B\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{t\}\}\; ^\; \{\; 2\}\; =\; -\; c\; ^\; \{2\}\; /\; B\; (r)\}$и первое уравнение EL, приведенное выше, становится $A\; (r)\; =\; B\; \prime \; (r)\; t\; \dot{}\; 2\; /\; (2\; r\; ¨).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (r)\; =\; B\; \text{'}(r)\; \{\backslash \; dot\; \{t\}\}\; ^\; \{2\}\; /\; (2\; \{\backslash \; ddot\; \{r\}\}).\}$Когда точечная масса временно неподвижна, $r\; ¨\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; ddot\; \{r\}\}\}$- это ускорение свободного падения, $-\; MG\; /\; r\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; -MG\; /\; r\; ^\; \{2\}.\}$Итак

$A\; (r)\; =\; (-\; 2\; MG\; r\; 2)\; (-\; c\; 2\; 2\; MG\; /\; r\; -\; c\; 2)\; (-\; r\; 2\; 2\; MG)\; =\; 1\; 1\; -\; 2\; MG\; /\; (rc\; 2)\; =\; 1\; 1\; -\; rs\; /\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (r)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-2MG\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-c\; ^\; \{2\}\}\; \{2MG\; /\; rc\; ^\; \{2\; \}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{2\}\}\; \{2MG\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-2MG\; /\; (rc\; ^\; \{2\})\}\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-r\_\; \{s\}\; /\; r\}\}.\}$

Исходная формулировка метрики использует анизотропные координаты, в которых скорость света не является то же самое в радиальном и поперечном направлениях. Артур Эддингтон дал альтернативные формы в изотропных координатах. Для изотропных сферических координат $r\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\}\}$, $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$, $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$, координаты $\theta \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$и $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$не меняются, а затем (при условии $r\; \ge \; 2\; G\; mc\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; geq\; \{\backslash \; frac\; \{2Gm\}\; \{c\; ^\; \{2\}\}\}\}$)

$r\; =\; r\; 1\; (1\; +\; G\; m\; 2\; c\; 2\; r\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; r\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{Gm\}\; \{2c\; ^\; \{2\}\; r\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$, $dr\; =\; dr\; 1\; (1\; -\; (G\; m)\; 2\; 4\; c\; 4\; r\; 1\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; dr\; =\; dr\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{(Gm)\; ^\; \{2\}\}\; \{4c\; ^\; \{4\}\; r\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$, и

$(1-2\; г\; mc\; 2\; r)\; =\; (1\; -\; г\; м\; 2\; c\; 2\; r\; 1)\; 2\; /\; (1\; +\; G\; m\; 2\; c\; 2\; r\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; 2Gm\}\; \{c\; ^\; \{2\}\; r\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\}\; \{2c\; ^\; \{2\}\; r\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\}\; \{2c\; ^\; \{2\}\; r\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

Тогда для изотропных прямоугольных координат $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$, $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$,

$x\; =\; r\; 1\; sin\; \; (\theta )\; cos\; \; (\varphi ),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; r\_\; \{1\}\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; (\; \backslash \; phi)\; \backslash \; quad,\}$$y\; =\; r\; 1\; грех\; \; (\theta )\; sin\; \; (\varphi ),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; r\_\; \{1\}\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\; \backslash \; quad,\}$$z\; =\; r\; 1\; cos\; \; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; r\_\; \{1\}\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\}$

Тогда метрика принимает вид в изотропных прямоугольных координатах:

$ds\; 2\; =\; (1\; +\; G\; m\; 2\; c\; 2\; r\; 1)\; 4\; (dx\; 2\; +\; dy\; 2\; +\; dz\; 2)\; -\; c\; 2\; dt\; 2\; (1\; -\; G\; m\; 2\; c\; 2\; r\; 1)\; 2\; /\; (1\; +\; G\; m\; 2\; c\; 2\; р\; 1)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; ds\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\}\; \{2c\; ^\; \{2\}\; r\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{4\}\; (dx\; ^\; \{2\}\; +\; dy\; ^\; \{2\}\; +\; dz\; ^\; \{2\})\; -\; c\; ^\; \{2\}\; dt\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\}\; \{2c\; ^\; \{2\}\; r\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Gm\}\; \{2c\; ^\; \{2\}\; r\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

При выводе метрики Шварцшильда предполагалось, что метрика является вакуумной, сферически-симметричной и статической. Фактически, статическое допущение сильнее, чем требуется, поскольку теорема Биркгофа утверждает, что любое сферически-симметричное вакуумное решение уравнений поля Эйнштейна является стационарным ; тогда получается решение Шварцшильда. Теорема Биркгофа приводит к тому, что любая пульсирующая звезда, которая остается сферически-симметричной, не может генерировать гравитационные волны (поскольку область вне звезды должна оставаться статичной).

• Карл Шварцшильд
• Метрика Керра
• Метрика Рейсснера – Нордстрема

1. ^Браун, Кевин. «Размышления о теории относительности».
2. ^А.С. Эддингтон, «Математическая теория относительности», Кембриджский университет 1922 г. (2-е изд. 1924 г., репр.1960 г.), стр. 85 и стр. 93. Использование символов в источнике Эддингтона для интервала s и временной координаты t было преобразовано для совместимости с использованием в приведенном выше выводе.
3. ^Buchdahl, H.A. (1985). «Изотропные координаты и метрика Шварцшильда». Международный журнал теоретической физики. 24 (7): 731–739. Bibcode : 1985IJTP... 24..731B. doi :10.1007/BF00670880.