Войти
В логике и математике, то обратное категорического или импликационного заявление является результатом реверсивных двумя своих заявлений составляющих. Для импликации Р → Q, обратное Q → P. Для категорического утверждения Все S есть P, обратное Все P является S. В любом случае, истинность обратного утверждения обычно не зависит от истинности исходного утверждения.
Диаграмма Венна из (белой области показывает, где утверждение ложно) Пусть S - утверждение вида P влечет Q ( P → Q). Тогда обратное к S утверждение, что Q влечет P ( Q → P). В общем, истинность S ничего не говорит об истинности обратного, если антецедент P и консеквент Q не являются логически эквивалентными.
Например, рассмотрим истинное утверждение: «Если я человек, то я смертен». Обратное утверждение: «Если я смертный, то я человек», что не обязательно верно.
С другой стороны, обратное утверждение с взаимно включающими терминами остается верным, учитывая истинность исходного предложения. Это равносильно утверждению, что верно обратное определение. Таким образом, утверждение «Если я треугольник, то я - трехсторонний многоугольник» логически эквивалентно «Если я трехсторонний многоугольник, то я треугольник», потому что определение «треугольник» - это: трехсторонний многоугольник ».
Таблица истинности показывает, что S и обратное S не являются логически эквивалентными, если оба термина не подразумевают друг друга:
| (обратное) | |||
| Т | Т | Т | Т |
| Т | F | F | Т |
| F | Т | Т | F |
| F | F | Т | Т |
Переход от утверждения к обратному - ошибка утверждения консеквента. Однако, если утверждение S и его обратное эквивалентны (т. Е. P истинно тогда и только тогда, когда Q также истинно), то утверждение консеквента будет действительным.
Обратная импликация логически эквивалентна дизъюнкции и
 |  |  |
На естественном языке это можно было бы передать как «не Q без P ».
В математике, обратное теореме вида P → Q будет Q → P. Обратное может быть, а может и не быть правдой, и даже если это правда, доказательство может быть трудным. Например, теорема о четырех вершинах была доказана в 1912 году, а обратная ей была доказана только в 1997 году.
На практике, при определении обратной математической теоремы, аспекты антецедента могут рассматриваться как устанавливающие контекст. То есть, обратное к «Дано Р, если Q, то R » будет «Дано Р, если R, то Q ». Например, теорему Пифагора можно сформулировать так:
Дан треугольник со сторонами длины, и, если угол, противоположный стороне длины, является прямым углом, то.
Обратное, которое также встречается в Элементах Евклида (Книга I, предложение 48), можно сформулировать так:
Дан треугольник со сторонами длины, и, если, то угол, противоположный стороне длины, является прямым.
Если является бинарным отношением с, то обратное отношение также называется транспонированием.
Обратное импликации P → Q может быть записано Q → P, но также может быть обозначено, или «B pq » (в обозначениях Бохенского ).
В традиционной логике процесс перехода от «Все S есть P» к обратному «Все P суть S» называется преобразованием. По словам Асы Махана :
«Первоначальное утверждение называется exposita; при преобразовании оно называется обратным. Преобразование действительно тогда и только тогда, когда в обратном не утверждается ничего, что не подтверждается или подразумевается в exposita».
"Exposita" чаще называют "обращенным". В своей простой форме преобразование действительно только для предложений E и I:
| Тип | Преобразовать | Простой разговор | Converse per accidens (действительно, если P существует) |
|---|---|---|---|
| А | Все S - P | недействительно | Некоторые P есть S |
| E | Нет S есть P | Нет P - S | Некоторые P не S |
| я | Некоторое S есть P | Некоторые P есть S | - |
| О | Некоторые S не P | недействительно | - |
Справедливость простого преобразования только для предложений E и I может быть выражена ограничением, что «ни один термин не должен распределяться в обратном, который не распространяется в обращенном». Для предложений E как подлежащее, так и предикат распределены, в то время как для предложений I нет ни того, ни другого.
Для предложений A субъект распределен, а предикат - нет, поэтому вывод из утверждения A к его обратному неверен. Например, для утверждения А «Все кошки - млекопитающие» обратное «Все млекопитающие - кошки» явно неверно. Однако более слабое утверждение «Некоторые млекопитающие - кошки» верно. Логики определяют преобразование per accidens как процесс создания этого более слабого утверждения. Вывод от утверждения к его обратному per accidens обычно верен. Однако, как и в случае с силлогизмами, этот переход от универсального к частному вызывает проблемы с пустыми категориями: «Все единороги - млекопитающие» часто принимают за истину, в то время как обратное утверждение per accidens «Некоторые млекопитающие - единороги» явно ложно.
В первом порядке исчисления предикатов, все S есть Р может быть представлена в виде. Поэтому ясно, что категорические обратный тесно связан с импликационным обратным, и что S и P не может быть выгружен в Всех S есть P.
(обратное)
