Транспонирование (логика)

В логике высказываний, транспонирование является допустимым правило замены, которое позволяет переключать антецедент с последующим условного оператора в логическом доказательстве, если они оба также инвертированы. Это вывод из истинности «А подразумевает Б», истинности «Не-Б подразумевает не-А», и наоборот. Это очень тесно связано с правилом вывода modus tollens. Это правило:

$(P\; \to \; Q)\; \iff \; (\neg \; Q\; \to \; \neg \; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; (P\; \backslash \; to\; Q)\; \backslash \; Leftrightarrow\; (\backslash \; neg\; Q\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; P)\}$

где "$\iff \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Leftrightarrow\}$"- это металогический символ, представляющий" можно заменить в доказательстве на. "

• 1 Формальная нотация
• 2 Традиционная логика
  • 2.1 Форма транспонирования
  • 2.2 Достаточное условие
  • 2.3 Необходимое условие
  • 2.4 Пример необходимости и достаточности
  • 2.5 Взаимосвязь предложений
  • 2.6 Транспонирование и метод противопоставления
  • 2.7 Различия между транспонированием и противопоставлением
• 3 Транспонирование в математической логике
• 4 Доказательства
  • 4.1 В классической системе исчисления высказываний
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература
• 8 Внешние ссылки

Правило транспонирования может быть выражено как секвенция :

$(P\; \to \; Q)\; ⊢\; (\neg \; Q\; \to \; \neg \; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; (P\; \backslash \; to\; Q)\; \backslash \; vdash\; (\backslash \; neg\; Q\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; P)\}$

, где $⊢\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; vdash\}$- металогическое значение символа что $(\neg \; Q\; \to \; \neg \; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; neg\; Q\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; P)\}$является синтаксическим следствием из $(P\; \to \; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; (P\; \backslash \; to\; Q)\}$в некоторой логической системе;

или, как правило вывода:

$P\; \to \; Q\; \therefore \; \neg \; Q\; \to \; \neg \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{P\; \backslash \; to\; Q\}\; \{\backslash ,\; следовательно,\; \backslash \; neg\; Q\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; P\}\}\; \}$

если правило таково, что везде, где в строке доказательства появляется «$P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; to\; Q\}$», его можно заменить на «$\neg \; Q\; \to \; \neg \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; Q\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; P\}$";

или как утверждение функциональной истинности тавтологии или теоремы логики высказываний. Этот принцип был сформулирован как теорема логики высказываний Расселом и Уайтхедом в Principia Mathematica как:

$(P\; \to \; Q)\; \to \; (\neg \; Q\; \to \; \neg \; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; (P\; \backslash \; to\; Q)\; \backslash \; to\; (\backslash \; neg\; Q\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; P)\}$

где $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$и $Q\; \{\; \backslash \; displaystyle\; Q\}$суждения, выраженные в некоторой формальной системе.

Форма транспонирования

В предполагаемом предложении следствием является противоречие. антецедента исходного предложения, а антецедент выведенного предложения противоречит консеквенту исходного предложения. Символ материальной импликации обозначает предложение как гипотетическое, или форму «если-то», например «если P, то Q».

Двуусловное утверждение правила транспозиции (↔) относится к отношениям между гипотетическими (→) предложениями, при этом каждое предложение включает предшествующий и последующий термин. С точки зрения логического вывода, для транспонирования или преобразования терминов одного предложения требуется преобразование терминов в предложениях по обе стороны двухусловного отношения. Это означает, что для транспонирования или преобразования (P → Q) в (Q → P) требуется, чтобы другое предложение (~ Q → ~ P) было транспонировано или преобразовано в (~ P → ~ Q). В противном случае преобразование условий одного предложения, а не другого, делает правило недействительным, нарушая достаточное условие и необходимое условие условий предложений, где нарушение заключается в том, что измененное суждение совершает ошибку отрицания предшествующего или подтверждения последующего посредством незаконного преобразования.

Истинность правила транспонирования зависит от отношений достаточного состояние и необходимое условие в логике.

Достаточное условие

В предложении «Если P, то Q», появление «P» является достаточной причиной для появления «Q». «P» как индивид или класс материально подразумевает «Q», но отношение «Q» к «P» таково, что обратное утверждение «Если Q, то P» не обязательно имеет достаточное условие. Правило вывода для достаточного условия - это modus ponens, который является аргументом для условного импликации:

Предпосылка (1): Если P, то Q

Предпосылка (2): P

Заключение: Следовательно, Q

Необходимое условие

Поскольку обратная посылка (1) недействительна, все, что можно сказать о взаимосвязи «Р» и «Q» состоит в том, что в отсутствие «Q» «P» не встречается, что означает, что «Q» является необходимым условием для «P». Правило вывода для необходимого условия: modus tollens:

Предпосылка (1): Если P, то Q

Предпосылка (2): не Q

Заключение: Следовательно, not P

Пример необходимости и достаточности

Примером, традиционно используемым логиками для противопоставления достаточных и необходимых условий, является утверждение «Если есть огонь, значит, кислород присутствует». Насыщенная кислородом среда необходима для пожара или горения, но просто потому, что она насыщена кислородом, не обязательно означает, что происходит пожар или возгорание. Хотя можно сделать вывод, что огонь обусловливает присутствие кислорода, из присутствия кислорода нельзя сделать вывод обратного утверждения: «Если есть кислород, значит, есть огонь». Все, что можно вывести из первоначального утверждения, - это то, что «Если нет кислорода, то не может быть огня».

Взаимосвязь предложений

Символ для двусмысленного выражения («↔») означает, что взаимосвязь между предложениями необходима и достаточна, и выражается словами «тогда и только тогда, когда », или, согласно примеру« Если P, то Q »тогда и только тогда, когда« если не Q, то не P ».

Необходимые и достаточные условия можно объяснить по аналогии в терминах концепций и правил непосредственного вывода традиционной логики. В категориальном предложении «Все S есть P» субъектный термин «S» называется распределенным, то есть все члены его класса исчерпаны в своем выражении. И наоборот, предикатный термин «P» нельзя сказать, что он распределен или исчерпан в своем выражении, поскольку не определено, является ли каждый экземпляр члена «P» как класса также членом «S» как класса. Все, что можно обоснованно вывести, - это то, что «Некоторые P суть S». Таким образом, утверждение типа «A» «Все P есть S» не может быть выведено путем преобразования из исходного предложения типа «A» «Все S есть P». Все, что можно вывести, - это утверждение типа «A» «Все, что не является P, не является S» (обратите внимание, что (P → Q) и (~ Q → ~ P) оба суждения типа «A»). Грамматически нельзя вывести «все смертные люди» из «Все люди смертны». Утверждение типа «А» может быть немедленно выведено путем преобразования, когда и подлежащее, и сказуемое распределены, как в заключении «Все холостяки - неженатые мужчины» из «Все неженатые мужчины - холостяки».

Транспонирование и метод противопоставления

В традиционной логике процесс рассуждения переноса как правило вывода применяется к категориальным предложениям через противопоставление и возражение, серия немедленных выводов, в которых правило возражения сначала применяется к исходному категориальному утверждению «Все S есть P»; дает лицевую сторону "Нет S не P". При превращении исходного предложения в предложение типа «Е» оба термина становятся распределенными. Затем лицевую сторону конвертируют, в результате получается «Нет, кроме P, S», сохраняя распределение обоих терминов. «Нет не-P есть S» снова отменяется, в результате чего получается [контрапозитивное] «Все не-P есть не-S». Поскольку в определении противопоставления ничего не сказано относительно предиката предполагаемого предложения, это допустимо, чтобы это могло быть исходное подлежащее или его противоречие, и предикатный термин результирующего предложения типа 'A' снова нераспределен. Это приводит к двум противоположным позициям, в одном случае предикатный термин распределен, а другой - когда предикатный термин нераспределен.

Различия между транспонированием и противопоставлением

Обратите внимание, что метод транспозиции и противопоставление не следует путать. Противопоставление - это тип немедленного вывода, в котором из заданного категориального Предложение выводится другое категориальное предложение, субъектом которого является противоречие исходному предикату.Поскольку в определении противопоставления ничего не сказано относительно предиката выводимого предложения, оно Допустимо, чтобы это мог быть исходный предмет или его противоречие. Это противоречит форме предложений транспонирования, которые могут быть материальным подтекстом или гипотетическим утверждением. Разница в том, что в применении к категориальным суждениям результатом противопоставления являются два контрапозитива, каждое из которых является лицевой стороной другого, то есть «Нет не-П есть S» и «Все не-П есть не-S». Различие между двумя противоположностями поглощается и устраняется в принципе транспозиции, который предполагает «опосредованные выводы» противопоставления и также называется «законом противопоставления».

См. Транспонирование (математика), Теория множеств

Утверждение	Вывод
$P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; rightarrow\; Q\}$	Дано
$\neg \; P\; \vee \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; P\; \backslash \; lor\; Q\}$	Материальное значение
$Q\; \vee \; \neg \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \backslash \; lor\; \backslash \; neg\; P\}$	Коммутативность
$\neg \; Q\; \to \; \neg \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; Q\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; neg\; P\}$	Материальная импликация

В классической системе исчисления высказываний

В дедуктивных системах гильбертова для пропозициональной По логике, только одна сторона транспонирования принимается за аксиому, а другая - за теорему. Опишем доказательство этой теоремы в системе трех аксиом, предложенной Яном Лукасевичем :

A1. $\varphi \; \to \; (\psi \; \to \; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; (\backslash \; psi\; \backslash \; to\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\}$

A2. $(\varphi \; \to \; (\psi \; \to \; \xi ))\; \to \; ((\varphi \; \to \; \psi )\; \to \; (\varphi \; \to \; \xi ))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; phi\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; (\backslash \; psi\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; xi\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (\backslash \; phi\; \backslash \; to\; \backslash \; psi\; \backslash \; right)\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; (\backslash \; phi\; \backslash \; to\; \backslash \; xi\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$

A3. $(\neg \; \varphi \; \to \; \neg \; \psi )\; \to \; (\psi \; \to \; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; lnot\; \backslash \; phi\; \backslash \; to\; \backslash \; lnot\; \backslash \; psi\; \backslash \; right)\; \backslash \; to\; \backslash \; left\; (\backslash \; psi\; \backslash \; to\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\}$

(A3) уже дает одно из направлений перестановки. Другая сторона, $(\psi \; \to \; \varphi )\; \to \; (\neg \; \varphi \; \to \; \neg \; \psi )\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; psi\; \backslash \; to\; \backslash \; phi)\; \backslash \; to\; (\backslash \; neg\; \backslash \; phi\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; \backslash \; psi)\}$, если это доказано ниже, используя следующие доказанные леммы здесь :

(DN1) $\neg \; \neg \; p\; \to \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; p\; \backslash \; to\; p\}$- Двойное отрицание (одно направление)

(DN2) $p\; \to \; \neg \; \neg \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; p\}$- Двойное отрицание (другое направление)

(HS1) $(q\; \to \; r)\; \to \; ((p\; \to \; q)\; \to \; (p\; \to \; r))\; \{\backslash \; displaystyle\; (q\; \backslash \; to\; r)\; \backslash \; to\; ((p\; \backslash \; to\; q)\; \backslash \; to\; (p\; \backslash \; to\; r))\}$- одна форма Гипотетического силлогизма

(HS2) $(p\; \to \; q)\; \to \; ((q\; \to \; r)\; \to \; (p\; \to \; r))\; \{\backslash \; displaystyle\; (p\; \backslash \; to\; q)\; \backslash \; to\; ((q\; \backslash \; to\; r)\; \backslash \; to\; (p\; \backslash \; to\; r))\}$- другая форма гипотетического силлогизма.

Мы также используем метод гипотетический силлогизм, метатеорема как сокращение для нескольких шагов доказательства.

Доказательство выглядит следующим образом:

(1) $q\; \to \; \neg \; \neg \; q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; q\}$(экземпляр (DN2))

(2) $(q\; \to \; \neg \; \neg \; q)\; \to \; ((p\; \to \; q)\; \to \; (p\; \to \; \neg \; \neg \; q))\; \{\backslash \; displaystyle\; (q\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; q)\; \backslash \; to\; ((p\; \backslash \; to\; q)\; \backslash \; to\; (p\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; q))\}$(экземпляр (HS1)

(3) $(p\; \to \; q)\; \to \; (p\; \to \; \neg \; \neg \; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; (p\; \backslash \; to\; q)\; \backslash \; to\; (p\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; q)\}$(из (1) и (2) по модулю ponens)

(4) $\neg \; \neg \; p\; \to \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; p\; \backslash \; to\; p\}$(экземпляр (DN1))

(5) $(\neg \; \neg \; p\; \to \; p)\; \to \; ((p\; \to \; \neg \; \neg \; q)\; \to \; (\neg \; \neg \; p\; \to \; \neg \; \neg \; q))\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; neg\; \backslash \; neg\; p\; \backslash \; to\; p)\; \backslash \; to\; (\; (p\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; q)\; \backslash \; to\; (\backslash \; neg\; \backslash \; neg\; p\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; q))\}$(экземпляр (HS2))

(6) $(п\; \to \; \neg \; \neg \; q)\; \to \; (\neg \; \neg \; p\; \to \; \neg \; \neg \; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; (p\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; q)\; \backslash \; to\; (\backslash \; neg\; \backslash \; neg\; p\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; q)\; \}$(из (4) и (5) по modus ponens)

(7) $(p\; \to \; q)\; \to \; (\neg \; \neg \; p\; \to \; \neg \; \neg \; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; (p\; \backslash \; to\; q)\; \backslash \; to\; (\backslash \; neg\; \backslash \; neg\; p\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; q)\}$(из (3) и (6) используя метатеорему гипотетического силлогизма)

(8) $(\neg \; \neg \; p\; \to \; \neg \; \neg \; q)\; \to \; (\neg \; q\; \to \; \neg \; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; neg\; \backslash \; neg\; p\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; \backslash \; neg\; q)\; \backslash \; to\; (\backslash \; neg\; q\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; p)\}$(экземпляр (A3))

(9) $(p\; \to \; q)\; \to \; (\; \neg \; q\; \to \; \neg \; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; (p\; \backslash \; to\; q)\; \backslash \; to\; (\backslash \; neg\; q\; \backslash \; to\; \backslash \; neg\; p)\}$(из (7) и (8) с использованием метатеоремы гипотетического силлогизма)

• Броуди, Бобух А. «Глоссарий логических терминов». Энциклопедия философии. Vol. 5-6, стр. 61. Macmillan, 1973.
• Ирвинг М. Копи; Карл Коэн; Виктор Родыч (9 сентября 2016 г.). Введение в логику. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-315-51087-3.
• Копи, Ирвинг. Символическая логика. MacMillan, 1979, пятое издание.
• Prior, A.N. «Логика, традиционная». Энциклопедия философии, Vol. 5, Macmillan, 1973.
• Стеббинг, Сьюзен. Современное введение в логику. Harper, 1961, седьмое издание

• Неправильная транспозиция (файлы ошибок)