Гипотетический силлогизм

В классической логике гипотетический силлогизм - это допустимая форма аргументации, силлогизм с условным утверждением для одной или обеих его предпосылок.

Пример на английском :

Если я не просыпаюсь, то не могу пойти на работу.

Если я не могу пойти на работу, мне не будут платить.

Следовательно, если я не проснусь, то мне не заплатят.

Термин произошел от Теофраста.

• 1 Логика высказываний
• 2 Применимость
• 3 Формальные обозначения
• 4 Доказательство ^[3]
• 5 Альтернативные формы
  • 5.1 Доказательство
  • 5.2 Как метатеорема
• 6 См. Также
• 7 ссылки
• 8 Внешние ссылки

В логике высказываний, гипотетический силлогизм это имя действительного правила вывода (часто сокращенно HS, а иногда также называют цепь аргументов, цепное правило, или принцип транзитивности импликации). Правило может быть сформулировано:

${\ displaystyle {\ frac {P \ to Q, Q \ to R} {\, следовательно, P \ to R}}}$

где правило состоит в том, что всякий раз, когда экземпляры " " и " " появляются в строках доказательства, " " могут быть помещены в следующую строку. ${\ displaystyle P \ to Q}$${\ displaystyle Q \ to R}$ ${\ displaystyle P \ to R}$

Гипотетический силлогизм тесно связан с дизъюнктивным силлогизмом и похож на него в том смысле, что это также тип силлогизма, а также название правила вывода.

Правило гипотетического силлогизма сохраняется в классической логике, интуиционистской логике, большинстве систем релевантной логики и многих других системах логики. Однако это справедливо не для всех логик, включая, например, немонотонную логику, вероятностную логику и логику по умолчанию. Причина этого в том, что эти логики описывают выполнимые рассуждения, а условные выражения, которые появляются в реальных контекстах, обычно допускают исключения, допущения по умолчанию, условия при прочих равных или просто неопределенность.

Пример, полученный от Адамса,

(1) Если Джонс победит на выборах, Смит уйдет в отставку после выборов.

(2) Если Смит умрет до выборов, Джонс победит на выборах.

(3) Если Смит умрет до выборов, Смит уйдет в отставку после выборов.

Ясно, что (3) не следует из (1) и (2). (1) верно по умолчанию, но не выполняется в исключительных обстоятельствах смерти Смита. На практике условные выражения реального мира всегда имеют тенденцию включать допущения или контексты по умолчанию, и может оказаться невозможным или даже невозможным указать все исключительные обстоятельства, в которых они могут оказаться неверными. По тем же причинам правило гипотетического силлогизма не выполняется для контрфактических условных выражений.

Гипотетическое умозаключение правило вывода может быть записано в секвенции записи, которая составляет специализацию правила сечения:

${\ displaystyle {\ frac {P \ vdash Q \ quad Q \ vdash R} {P \ vdash R}}}$

где это металогический символ и значение, которое является синтаксическим следствием из в какой - то логической системе ; ${\ displaystyle \ vdash}$ ${\ displaystyle A \ vdash B}$${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$

и выражается в истинности функциональной тавтологии или теоремы о логике высказываний :

${\ Displaystyle ((п \ к Q) \ земля (Q \ к R)) \ к (P \ к R)}$

где, и суждения, выраженные в некоторой формальной системе. ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle R}$

Шаг	Предложение	Вывод
1	${\ displaystyle P \ to Q}$	Данный
2	${\ displaystyle Q \ to R}$	Данный
3	${\ displaystyle P}$	Условное доказательство предположения
4	${\ displaystyle Q}$	Модус поненс (1,3)
5	${\ displaystyle R}$	Modus ponens (2,4)
6	${\ displaystyle P \ to R}$	Условное доказательство (3-5)

Альтернативная форма гипотетического силлогизма, более полезная для классических систем исчисления высказываний с импликацией и отрицанием (то есть без символа конъюнкции), следующая:

(HS1) ${\ Displaystyle (Q \ к R) \ к ((P \ к Q) \ к (P \ к R))}$

Еще одна форма:

(HS2) ${\ Displaystyle (п \ к Q) \ к ((Q \ к R) \ к (P \ к R))}$

Доказательство

Ниже приводится пример доказательства этих теорем в таких системах. Мы используем две из трех аксиом, используемых в одной из популярных систем, описанных Яном Лукасевичем. Доказательства опираются на две из трех аксиом этой системы:

(A1) ${\ displaystyle \ phi \ to \ left (\ psi \ to \ phi \ right)}$

(A2) ${\ displaystyle \ left (\ phi \ to \ left (\ psi \ rightarrow \ xi \ right) \ right) \ to \ left (\ left (\ phi \ to \ psi \ right) \ to \ left (\ phi \ в \ xi \ right) \ right)}$

Доказательство (HS1) выглядит следующим образом:

(1)       (пример (A1))${\ Displaystyle ((п \ к (q \ к г)) \ к ((п \ к q) \ к (р \ к г))) \ к ((д \ к г) \ к ((р \ к (q \ to r)) \ to ((p \ to q) \ to (p \ to r))))}$

(2)       (пример (A2))${\ Displaystyle (п \ к (д \ к г)) \ к ((п \ к д) \ к (р \ к г))}$

(3)       (из (1) и (2) по modus ponens )${\ Displaystyle (д \ к р) \ к ((п \ к (д \ к г)) \ к ((р \ к д) \ к (р \ к г)))}$

(4)       (пример (A2))${\ Displaystyle ((д \ к г) \ к ((п \ к (q \ к г)) \ к ((р \ к д) \ к (р \ к г)))) \ к (((д \ to r) \ to (p \ to (q \ to r))) \ to ((q \ to r) \ to ((p \ to q) \ to (p \ to r))))}$

(5)       (из (3) и (4) по modus ponens )${\ Displaystyle ((д \ к р) \ к (п \ к (д \ к г))) \ к ((д \ к г) \ к ((р \ к д) \ к (р \ к г)))}$

(6)       (пример (A1))${\ Displaystyle (д \ к г) \ к (п \ к (д \ к г))}$

(7) (из (5) и (6) по modus ponens )${\ Displaystyle (д \ к г) \ к ((п \ к д) \ к (п \ к г))}$

Доказательство (HS2) приводится здесь.

Как метатеорема

Всякий раз, когда у нас есть две теоремы вида и, мы можем доказать, выполнив следующие шаги: ${\ Displaystyle T_ {1} = (Q \ к R)}$${\ Displaystyle T_ {2} = (от P \ до Q)}$${\ Displaystyle (P \ to R)}$

(1)       (пример доказанной теоремы)${\ Displaystyle (Q \ к R) \ к ((P \ к Q) \ к (P \ к R)))}$

(2)       (пример (T1))${\ displaystyle Q \ to R}$

(3)       (из (1) и (2) по modus ponens)${\ Displaystyle (P \ к Q) \ к (P \ к R)}$

(4)       (пример (T2))${\ displaystyle P \ to Q}$

(5)       (из (3) и (4) по modus ponens)${\ displaystyle P \ to R}$

• Modus ponens
• Modus tollens
• Утверждая следствие
• Отрицание антецедента
• Переходное отношение

• Индекс философии: гипотетический силлогизм