Теория поля классов

Раздел теории алгебраических чисел, связанный с абелевыми расширениями

В математике, теория полей классов - это раздел теории алгебраических чисел, связанный с абелевыми расширениями числовых полей, глобальных полей положительная характеристика и локальные поля. Теория берет свое начало в доказательстве квадратичной взаимности Гауссом в конце 18 века. Эти идеи были развиты в течение следующего столетия, что привело к ряду предположений Гильберта, которые впоследствии были доказаны Такаги и Артином. Эти гипотезы и их доказательства составляют основную часть теории полей классов.

Один из основных результатов утверждает, что для числового поля F и записи K для максимального абелевого неразветвленного расширения F группа Галуа K над F канонически изоморфна группа идеальных классов из F. Это утверждение может быть обобщено на закон взаимности Артина ; записывая C F для группы классов идеелей группы F, и принимая L как любое конечное абелево расширение F, этот закон дает канонический изоморфизм

$\theta \; L\; /\; F:\; CF\; /\; NL\; /\; F\; (CL)\; \to \; Gal\; \; (L\; /\; F),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \_\; \{L\; /\; F\}:\; C\_\; \{F\}\; /\; \{N\_\; \{L\; /\; F\}\; (C\_\; \{L\})\}\; \backslash \; к\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (L\; /\; F),\}$

где $NL\; /\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{L\; /\; F\}\}$обозначает отображение идеальной нормы из L в F. Этот изоморфизм затем вызвал карту взаимности. Теорема существования утверждает, что отображение взаимности может использоваться, чтобы дать биекцию между множеством абелевых расширений F и множеством замкнутых подгрупп конечного индекса $C\; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{F\}.\}$

Стандартным методом разработки глобальной теории полей классов с 1930-х годов является разработка локальной теории поля классов, которая описывает абелевы расширения локальных полей, а затем ее использование построить глобальную теорию полей классов. Впервые это было сделано Артином и Тейтом с использованием теории групповых когомологий и, в частности, путем разработки понятия классовых формаций. Позже Нойкирх нашел доказательство основных утверждений глобальной теории полей классов без использования когомологических идей.

Теория полей классов также включает явное построение максимальных абелевых расширений числовых полей в тех немногих случаях, когда такие конструкции известны. В настоящее время эта часть теории состоит из теоремы Кронекера-Вебера, которую можно использовать для построения абелевых расширений $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$и теория комплексного умножения, которая может быть использована для построения абелевых расширений CM-полей.

Программа Ленглендса предлагает один подход для обобщения теории полей классов на неабелевы расширения. Это обобщение по большей части остается предположительным. Для числовых полей известны только те случаи, когда теория полей классов и результаты, связанные с теоремой модулярности.

• 1 Формулировка на современном языке
• 2 История
• 3 Приложения
• 4 Обобщения теории поля классов
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

На современном математическом языке теорию поля классов можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим максимальное абелево расширение A локального или глобального поля K. Он имеет бесконечную степень над K; группа Галуа G группы A над K является бесконечной про-конечной группой, поэтому компактная топологическая группа, и она абелева. Центральные цели теории полей классов: описать G в терминах некоторых подходящих топологических объектов, ассоциированных с K, описать конечные абелевы расширения K в терминах открытых подгрупп конечного индекса в топологическом объекте, ассоциированном с K. В частности, один желает установить взаимно однозначное соответствие между конечными абелевыми расширениями K и их группами норм в этом топологическом объекте для K. Этот топологический объект является мультипликативной группой в случае локальных полей с конечным полем вычетов и группа классов иделей в случае глобальных полей. Конечное абелево расширение, соответствующее открытой подгруппе конечного индекса, называется полем классов для той подгруппы, которая дала название теории.

Фундаментальный результат общей теории полей классов утверждает, что группа G естественно изоморфна проконечному пополнению группы C K, мультипликативной группе локального поля или группа классов идеелей глобального поля относительно естественной топологии на C K, связанной со специфической структурой поля K. Эквивалентно, для любого конечного расширения Галуа L поля K существует изоморфизм ( карта взаимности Артина )

$Gal\; \; (L\; /\; K)\; ab\; \to \; CK\; /\; NL\; /\; K\; (CL)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Gal\}\; (L\; /\; K)\; ^\; \{\backslash \; operatorname\; \{ab\}\}\; \backslash \; to\; C\_\; \{K\}\; /\; N\_\; \{L\; /\; K\}\; (C\_\; \{L\})\}$

из абелианизации группы Галуа расширения с факторным отношением группы классов идеелей K по образу нормы группы классов идеелей L.

Для некоторых небольших полей, таких как поле рациональных чисел $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$или его квадратные мнимые расширения есть более подробное, очень явное, но слишком конкретное ory, который предоставляет дополнительную информацию. Например, абелианизированная абсолютная группа Галуа G $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$является (естественно изоморфной) бесконечным произведением группы единиц p- целые адические числа, взятые по всем простым числам p, и соответствующее максимальное абелево расширение рациональных чисел является полем, порожденным всеми корнями из единицы. Это известно как теорема Кронекера – Вебера, первоначально предположенная Леопольдом Кронекером. В этом случае изоморфизм взаимности теории полей классов (или отображение взаимности Артина) также допускает явное описание благодаря теореме Кронекера – Вебера. Однако основные конструкции таких более подробных теорий для полей малых алгебраических чисел не распространяются на общий случай полей алгебраических чисел, и в общей теории полей классов используются различные концептуальные принципы.

Стандартный метод построения гомоморфизма взаимности состоит в том, чтобы сначала построить локальный изоморфизм взаимности из мультипликативной группы пополнения глобального поля в группу Галуа его максимального абелевого расширения (это делается внутри локального поля классов теории), а затем докажите, что произведение всех таких локальных отображений взаимности, когда они определены на группе иделей глобального поля, тривиально на образе мультипликативной группы глобального поля. Последнее свойство называется глобальным законом взаимности и представляет собой далеко идущее обобщение квадратичного закона взаимности Гаусса.

. Один из методов построения гомоморфизма взаимности использует формирование классов, которое выводит теорию поля классов из аксиом теории поля классов. Этот вывод является чисто топологическим теоретико-групповым, в то время как для установления аксиом необходимо использовать кольцевую структуру основного поля.

Существуют методы, которые используют группы когомологий, в частности группу Брауэра, и есть методы, которые не используют группы когомологий и очень явны и плодотворны для приложений.

Истоки теории поля классов лежат в квадратичном законе взаимности, доказанном Гауссом. Обобщение происходило как долгосрочный исторический проект, включающий квадратичные формы и их «теорию родов », работы Эрнста Куммера и Леопольда Кронекера / Курт Хензель об идеалах и пополнениях, теории круговых и расширений Куммера.

Первые две теории поля классов были очень явными теориями поля классов кругового и комплексного умножения. Они использовали дополнительные структуры: в случае поля рациональных чисел они использовали корни из единицы, в случае мнимых квадратичных расширений поля рациональных чисел они использовали эллиптические кривые с комплексным умножением и их точки конечного порядка. Много позже теория Шимуры предоставила еще одну очень явную теорию полей классов для класса полей алгебраических чисел. Все эти очень явные теории нельзя распространить на произвольное числовое поле. В положительной характеристике $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$и Satake использовал двойственность Витта, чтобы получить очень простое описание $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$-часть гомоморфизма взаимности.

Однако общая теория полей классов использовала разные концепции, и ее конструкции работают над каждым глобальным полем.

Знаменитые проблемы Дэвида Гильберта стимулировали дальнейшее развитие, которое привело к законам взаимности и доказательствам Тейджи Такаги, Филипп Фуртвенглер, Эмиль Артин, Гельмут Хассе и многие другие. Решающая теорема существования Такаги была известна к 1920 году, а все основные результаты - примерно к 1930 году. Одной из последних классических гипотез, которые требовалось доказать, было свойство принципализации. Первые доказательства теории полей классов использовали субстанциональные аналитические методы. В 1930-х годах и впоследствии использование бесконечных расширений и теории Вольфганга Крулля их групп Галуа стало все более полезным. Он сочетается с двойственностью Понтрягина, чтобы дать более ясную и абстрактную формулировку центрального результата, закона взаимности Артина. Важным шагом стало введение иделей Клодом Шевалле в 1930-е годы. Их использование заменило классы идеалов и существенно прояснило и упростило структуры, описывающие абелевы расширения глобальных полей. Большинство основных результатов было доказано к 1940 году.

Позже результаты были переформулированы в терминах групповых когомологий, которые стали стандартным способом изучения теории поля классов для нескольких поколений теоретиков чисел. Недостатком когомологического метода является его относительная неясность. В результате местного вклада Бернарда Дворка, Джона Тейта, Мишеля Хазевинкеля и местной и глобальной интерпретации Юргена Нойкирха, а также в связи с работой над явными формулами взаимности многих математиков, очень явное и свободное от когомологий представление теории полей классов было установлено в девяностых годах, см., например, книга Нойкирха.

Теория поля классов используется для доказательства двойственности Артина-Вердье. Очень явная теория полей классов используется во многих областях алгебраической теории чисел, таких как теория Ивасавы и теория модулей Галуа.

Большинство основных достижений в соответствии Ленглендса для числовых полей, гипотезе BSD для числовых полей и теории Ивасавы для числовых полей используют очень явное, но узкое поле классов методы теории или их обобщения. Поэтому открытый вопрос состоит в том, чтобы использовать обобщения общей теории полей классов в этих трех направлениях.

Есть три основных обобщения, каждое из которых само по себе представляет большой интерес. Это: программа Ленглендса, анабелева геометрия и теория поля высшего класса.

Часто соответствие Ленглендса рассматривается как неабелева теория поля классов. Если / когда он будет полностью установлен, он будет содержать определенную теорию неабелевых расширений Галуа глобальных полей. Однако соответствие Ленглендса не содержит столько арифметической информации о конечных расширениях Галуа, сколько теория полей классов в абелевом случае. Он также не включает аналог теоремы существования в теории полей классов, т.е. понятие полей классов отсутствует в соответствии Ленглендса. Существует несколько других неабелевых теорий, локальных и глобальных, которые предлагают альтернативу точке зрения соответствия Ленглендса.

Другим обобщением теории полей классов является анабелева геометрия, которая изучает алгоритмы восстановления исходного объекта (например, числового поля или гиперболической кривой над ним) на основе знания его полной абсолютной группы Галуа фундаментальной алгебраической теории. группа.

Другое естественное обобщение - теория поля высших классов. Он описывает абелевы расширения более высоких локальных полей и более высоких глобальных полей. Последние приходят как функциональные поля схем конечного типа над целыми числами и их соответствующей локализацией и дополнениями. Теория упоминается как теория поля высших локальных классов и теория поля высших глобальных классов. Он использует алгебраическую K-теорию, а соответствующие K-группы Милнора заменяют $K\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{1\}\}$, который используется в одномерной теории полей классов.

1. ^Взаимность и IUT, доклад на семинаре RIMS на IUT Summit, июль 2016 г., Иван Фесенко
2. ^Милн, Дж. С. Арифметические теоремы двойственности. Чарлстон, Южная Каролина: BookSurge, LLC 2006
3. ^Фесенко, Иван (2015), Теория арифметической деформации через арифметические фундаментальные группы и неархимедовые тета-функции, примечания к работе Shinichi Mochizuki, Eur. J. Math., 2015 (PDF)

• Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (1990), теория поля классов, Редвуд-Сити, Калифорния: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-51011-9
• Касселс, JWS ; Фрёлих, Альбрехт, ред. (1967), Algebraic Number Theory, Academic Press, Zbl 0153.07403
• , История теории поля классов. (PDF)
• Фесенко, Иван Б. ; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения, Переводы математических монографий, 121 (второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3259-2, MR 1915966
• (2005), Теория поля классов: от теории к практике (исправленное 2-е издание), Монографии Springer по математике, xiii + 507 страниц, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44133-5
• Ивасава, Кенкичи (1986), Теория поля локальных классов, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2, MR 0863740, Zbl 0604.12014
• Кавада, Юкиёси (1955), «Классовые образования», Duke Math. J., 22 : 165–177, doi : 10.1215 / s0012-7094-55-02217-1, Zbl 0067.01904
• Кавада, Юкиёси; Сатаке, I. (1956), «Классовые образования. II», J.Fac. Наук. Tokyo Sect. 1A, 7 : 353–389, Zbl 0101.02902
• Neukirch, Jürgen (1986), Class Field Theory, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-15251-4
• Neukirch, Jürgen (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.