Войти
Метод граничных элементов (BEM ) представляет собой численный вычислительный метод решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые были сформулированы как интегральные уравнения (т.е. в граничной интегральной форме). включая механику жидкости, акустику, электромагнетизм (Метод моментов ), механику разрушения и механика контактов.
Интегральное уравнение можно рассматривать как точное решение основного уравнения в частных производных. Метод граничных элементов пытается использовать заданные граничные условия для подгонки граничных значений в интегральное уравнение, а не значений во всем пространстве, определяемом уравнением в частных производных. Как только это будет сделано, на этапе постобработки интегральное уравнение можно снова использовать для численного расчета решения непосредственно в любой желаемой точке внутри области решения.
БЭМ применяется к задачам, для которых функции Грина могут быть вычислены. Обычно это поля в линейной однородной среде. Это накладывает значительные ограничения на круг и общность задач, к которым могут быть с успехом применены граничные элементы. Нелинейности могут быть включены в формулировку, хотя они, как правило, вводят объемные интегралы, которые затем требуют, чтобы объем был дискретизирован перед попыткой решения, что устраняет одно из наиболее часто упоминаемых преимуществ МГЭ. Полезным методом обработки интеграла объема без его дискретизации является метод. Метод аппроксимирует часть подынтегрального выражения с использованием радиальных базисных функций (локальные интерполирующие функции) и преобразует интеграл объема в интеграл границы после совмещения в выбранных точках, распределенных по всей области объема (включая границу). В BEM с двойной взаимностью, хотя нет необходимости разбивать объем на ячейки, неизвестные в выбранных точках внутри области решения участвуют в линейных алгебраических уравнениях, приближающих рассматриваемую задачу.
Функциональные элементы Грина, соединяющие пары участков источника и поля, определенные сеткой, образуют матрицу, которая решается численно. Если функция Грина не работает должным образом, по крайней мере, для пар пятен рядом друг с другом, функция Грина должна быть интегрирована как по исходному, так и по полю. Форма метода, в котором интегралы по участкам источника и поля совпадают, называется «методом Галеркина ». Метод Галеркина - очевидный подход к задачам, симметричным относительно обмена точками источника и поля. В электромагнетизме частотной области это обеспечивается электромагнитной взаимностью. Стоимость вычислений, связанных с наивными реализациями Галеркина, обычно довольно высока. Нужно перебрать каждую пару элементов (так что мы получим n взаимодействий), и для каждой пары элементов мы переберем точки Гаусса в элементах, создав мультипликативный коэффициент, пропорциональный количеству точек Гаусса в квадрате. Кроме того, требуемые вычисления функций обычно довольно дороги, включая вызовы тригонометрических / гиперболических функций. Тем не менее, основным источником вычислительных затрат является этот двойной цикл по элементам, создающий полностью заполненную матрицу.
Функции Грина или фундаментальные решения часто бывает проблематично интегрировать, поскольку они основаны на решении уравнений системы, подверженных сингулярной нагрузке (например, электрическое поле, возникающее от точечного заряда). Интегрировать такие особые поля непросто. Для простой геометрии элементов (например, плоских треугольников) можно использовать аналитическое интегрирование. Для более общих элементов можно разработать чисто численные схемы, которые адаптируются к сингулярности, но с большими вычислительными затратами. Конечно, когда исходная точка и целевой элемент (где выполняется интегрирование) находятся далеко друг от друга, нет необходимости точно определять локальный градиент, окружающий точку, и становится возможным легко интегрировать из-за плавного затухания фундаментального решения. Именно эта функция обычно используется в схемах, предназначенных для ускорения расчетов задач граничных элементов.
Вывод функций Грина в замкнутой форме представляет особый интерес в методе граничных элементов, особенно в электромагнетизме. В частности, при анализе слоистых сред, вывод функции Грина в пространственной области требует обращения аналитически выводимой функции Грина в спектральной области через интеграл по путям Зоммерфельда. Этот интеграл не может быть оценен аналитически, а его численное интегрирование является дорогостоящим из-за его колебательного и медленно сходящегося поведения. Для надежного анализа пространственные функции Грина аппроксимируются как комплексные экспоненты с помощью таких методов, как метод Прони или обобщенный пучок функции, а интеграл вычисляется с помощью тождества Зоммерфельда. Этот метод известен как метод дискретного сложного изображения.
Метод граничных элементов часто более эффективен, чем другие методы, включая конечные элементы, с точки зрения вычислительных ресурсов для задач, где есть небольшое соотношение поверхность / объем. По сути, он работает путем построения «сетки » по моделируемой поверхности. Однако для многих задач методы граничных элементов значительно менее эффективны, чем методы объемной дискретизации (метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объемов ). Хорошим примером применения метода граничных элементов является эффективный расчет собственных частот плескания жидкости в резервуарах. Метод граничных элементов является одним из наиболее эффективных методов численного моделирования контактных проблем, в частности, для моделирования клеевых контактов.
Формулировки граничных элементов обычно приводят к полностью заполненным матрицам. Это означает, что требования к хранилищу и время вычислений будут расти пропорционально квадрату размера проблемы. В отличие от этого, матрицы конечных элементов обычно имеют ленточную структуру (элементы соединяются только локально), а требования к хранению для системных матриц обычно растут довольно линейно с размером проблемы. Для решения этих проблем могут использоваться методы сжатия (например, многополюсные разложения или адаптивная перекрестная аппроксимация / иерархические матрицы ), хотя и за счет дополнительной сложности, и с вероятностью успеха, которая в значительной степени зависит от характера проблемы. решаемая и задействованная геометрия.
