Радиальная базисная функция

A радиальная базисная функция (RBF ) - функция с действительным знаком $\phi \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; varphi\}$, значение которого зависит только от расстояния между вводом и некоторой фиксированной точкой, либо исходной точкой, так что $\phi \; (x)\; =\; \phi \; (\Vert \; Икс\; \Vert )\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |)\}$или другой фиксированный точка $c\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\}$, называемая центром, так что $\phi \; (x)\; =\; \phi \; (\Vert \; x\; -\; c\; \Vert )\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |)\}$. Любая функция $\phi \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; varphi\}$, удовлетворяющая свойству $\phi \; (x)\; =\; \phi \; (\Vert \; x\; \Vert )\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |)\}$- это радиальная функция. Расстояние обычно составляет евклидово расстояние, хотя иногда используются другие метрики. Они часто используются как набор $\{\phi \; k\}\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; varphi\; \_\; \{k\}\; \backslash \}\; \_\; \{k\}\}$, который образует основу для некоторое интересующее функциональное пространство, отсюда и название.

Суммы радиальных базисных функций обычно используются для аппроксимации заданных функций. Этот процесс аппроксимации также можно интерпретировать как простую разновидность нейронной сети ; Это был контекст, в котором они первоначально применялись к машинному обучению в работе Дэвида Брумхеда и Дэвида Лоу в 1988 году, которая была основана на основополагающем исследовании Майкла Дж. Д. Пауэлла 1977 года. RBF также используются в качестве ядра в классификации векторов поддержки. Этот метод оказался достаточно эффективным и гибким, поэтому радиальные базисные функции теперь применяются во множестве инженерных приложений.

Содержание

• 1 Определение
  • 1.1 Примеры
• 2 Аппроксимация
• 3 Сеть RBF
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Дополнительная литература

Определение

Радиальная функция - это функция $\phi :\; [0,\; \infty )\; \to \; R\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; varphi:\; [0,\; \backslash \; infty)\; \backslash \; в\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$. В паре с метрикой в ​​векторном пространстве $\Vert \; \cdot \; \Vert :\; V\; \to \; [0,\; \infty )\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; |\; \backslash \; cdot\; \backslash \; |:\; V\; \backslash \; to\; [0,\; \backslash \; infty)\}$a функция $\phi \; c\; =\; \phi \; (\Vert \; x\; -\; c\; \Vert )\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{c\}\}\; =\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; |)\}$называется радиальным ядром с центром в $c\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\}$. Радиальная функция и связанные с ней радиальные ядра называются радиальными базисными функциями, если для любого набора узлов $\{xk\}\; k\; =\; 1\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \}\; \_\; \{\; k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\}$

• Ядра $\phi \; x\; 1,\; \phi \; x\; 2,\dots ,\; \phi \; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{1\}\},\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{2\}\},\; \backslash \; dots,\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\}\}\}$линейно независимы (например, $\phi \; (r)\; =\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (r)\; =\; r\; ^\; \{2\}\}$in $V\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$не является радиальная базисная функция)

• Ядра $\phi \; x\; 1,\; \phi \; x\; 2,\dots ,\; \phi \; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{1\}\},\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\; \}\; \_\; \{2\}\},\; \backslash \; dots,\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\}\}\}$образуют основу для пространства Хаара, что означает, что матрица интерполяции

$[\phi \; (\Vert \; x\; 1\; -\; x\; 1\; \Vert )\; \phi \; (\Vert \; x\; 2\; -\; x\; 1\; \Vert )\dots \; \phi \; (\Vert \; xn\; -\; x\; 1\; \Vert )\; \phi \; (\Vert \; x\; 1\; -\; x\; 2\; \Vert )\; \phi \; (\Vert \; x\; 2\; -\; x\; 2\; \Vert )\dots \; \phi \; (\Vert \; xn\; -\; x\; 2\; \Vert )\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; \phi \; (\Vert \; x\; 1\; -\; xn\; \Vert )\; \phi \; (\Vert \; x\; 2\; -\; xn\; \Vert )\dots \; \phi \; (\Vert \; xn\; -\; xn\; \Vert )]\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; |)\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\; \}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; |)\; \backslash \; точки\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; |)\; \backslash \backslash \backslash \; varphi\; (\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\; \}\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; |)\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; |)\; \backslash \; точки\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; |)\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; varphi\; (\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{\; x\}\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; |)\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; |)\; \backslash \; точки\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; |)\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$неособое число.

Примеры

Обычно используемые типы радиальных базисных функций включают (запись $r\; =\; \Vert \; x\; -\; xi\; \Vert \; \{\backslash \; textstyle\; r\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\}$и использование $\epsilon \; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; varepsilon\}$для указания параметра формы, который может использоваться для масштабирования входных данных радиального ядра):

• Бесконечно гладкие RBF

Эти радиальные базисные функции взяты из $C\; \infty \; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$и являются строго положительно определенные функции, требующие настройки параметра формы $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$

• Gaussian :$\phi \; (r)\; =\; e\; -\; (\epsilon \; r)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (r)\; =\; e\; ^\; \{-\; (\backslash \; varepsilon\; r)\; ^\; \{2\}\}\}$

A функция Гаусса для нескольких вариантов $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$. График масштабированного Функция рельефности с несколькими вариантами $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$.

• :$\phi \; (r)\; =\; 1\; +\; (\epsilon \; r)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (r)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; (\backslash \; varepsilon\; r)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

• :$\phi \; (r)\; =\; 1\; 1\; +\; (\epsilon \; r)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (r)\; =\; \{\backslash \; dfrac\; \{1\}\; \{1\; +\; (\backslash \; varepsilon\; r)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

• :$\phi \; (r)\; =\; 1\; 1\; +\; (\epsilon \; r)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (r)\; =\; \{\backslash \; dfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; (\backslash \; varepsilon\; r)\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

• Полигармонический сплайн :$\phi \; (r)\; =\; rk,\; k\; =\; 1,\; 3,\; 5,\; \dots \; \Phi \; (г)\; знак\; равно\; рк\; пер\; \; (г),\; к\; =\; 2,\; 4,\; 6,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; varphi\; (r)\; =\; r\; ^\; \{k\},\; k\; =\; 1,3,\; 5,\; \backslash \; dotsc\; \backslash \backslash \backslash \; varphi\; (r)\; =\; r\; ^\; \{k\}\; \backslash \; ln\; (r),\; k\; =\; 2,4,6,\; \backslash \; dotsc\; \backslash \; end\; \{выравнивается\}\}\}$* Для полигармонической четной степени шлицы $(k\; =\; 2,\; 4,\; 6,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; (k\; =\; 2,4,6,\; \backslash \; dotsc)\}$, чтобы избежать числовых проблем при $r\; =\; 0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; r\; =\; 0\}$где $ln\; \; (0)\; =\; -\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (0)\; =\; -\; \backslash \; infty\}$, вычислительная реализация часто записывается как $\phi \; (r)\; =\; rk\; -\; 1\; ln\; \; (rr)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (r)\; =\; r\; ^\; \{k-1\}\; \backslash \; ln\; (r\; ^\; \{r\})\}$.

• Тонкая шлицевая пластина (специальный полигармонический сплайн): $\phi \; (r)\; =\; r\; 2\; ln\; \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (r)\; =\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; ln\; (r)\}$

• Компактно Поддерживаемые RBF

Эти RBF компактно поддерживаются и поэтому не -нуль только в пределах радиуса $1\; /\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; \backslash \; varepsilon\}$и, следовательно, имеют разреженные матрицы дифференцирования

• Bump function :

Аппроксимация

Радиальные базисные функции обычно используются для построения аппроксимации функций вида

$y\; (x)\; Знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; вес\; \phi \; (\Vert \; Икс\; -\; хи\; \Vert ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; w\_\; \{я\}\; \backslash ,\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |),\}$

где аппроксимирующая функция $y\; (x)\; \{\backslash \; textstyle\; y\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; \}$представлен как сумма $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$радиальных базисных функций, каждая из которых связана с другим центром $xi\; \{\backslash \; textstyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\}$, и взвешенные с помощью соответствующего коэффициента $wi.\; \{\backslash \; textstyle\; w\_\; \{i\}.\}$Веса $wi\; \{\backslash \; textstyle\; w\_\; \{i\}\}$можно оценить с помощью матричных методов линейных наименьших квадратов, поскольку аппроксимирующая функция линейна по весам $wi\; \{\backslash \; textstyle\; w\_\; \{i\}\}$.

Схемы аппроксимации такого типа особенно используются в прогнозировании временных рядов и управление из нелинейных систем, демонстрирующих достаточно простое хаотическое поведение и трехмерную реконструкцию в компьютерной графике (например, иерархический RBF и Деформация пространства позы ).

RBF Network

Две ненормализованные радиальные базисные функции Гаусса в одном входном измерении. Базовые функциональные центры расположены в $x\; 1\; =\; 0,75\; \{\backslash \; textstyle\; x\_\; \{1\}\; =\; 0,75\}$и

$y\; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; wi\; \phi \; (\Vert \; x\; -\; xi\; \Vert ),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; w\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; left\; \backslash \; |\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |),\}$также можно интерпретировать как довольно простой однослойный тип искусственной нейронной сети, называемой сетью с радиальными базисными функциями, при этом радиальные базисные функции принимают на себя роль функций активации сети. Можно показать, что любую непрерывную функцию на компактном интервале в принципе можно интерполировать с произвольной точностью суммой этой формы, если достаточно большое число $N\; \{\backslash \; textstyle\; N\}$радиальных базисных функций.

Аппроксимация $y\; (x)\; \{\backslash \; textstyle\; y\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}$дифференцируема по весам $wi\; \{\backslash \; textstyle\; w\_\; \{i\}\}$. Таким образом, веса можно было узнать, используя любой из стандартных итерационных методов для нейронных сетей.

Использование радиальных базисных функций таким образом приводит к разумному подходу к интерполяции при условии, что набор подгонки был выбран таким, что он систематически охватывает весь диапазон (идеально расположены эквидистантные точки данных). Однако без полиномиального члена, который ортогонален радиальным базисным функциям, оценки за пределами подгоночного набора, как правило, работают плохо.

См. Также

• Ковариационная функция Матерна
• Интерполяция радиальной базисной функции

Ссылки

Дополнительная литература

• Харди, Р.Л. (1971). «Мультиквадрические уравнения топографии и других нерегулярных поверхностей». Журнал геофизических исследований. 76 (8): 1905–1915. Bibcode : 1971JGR.... 76.1905H. doi : 10.1029 / jb076i008p01905.
• Харди, Р.Л. (1990). "Теория и приложения многоквадратично-бигармонического метода, 20 лет открытий, 1968 1988". Комп. Math Applic. 19 (8/9): 163–208. doi : 10.1016 / 0898-1221 (90) 90272-l.
• Press, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 3.7.1. Интерполяция радиальной базисной функции», Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Сираяноне, С., 1988, Сравнительные исследования кригинга, многоквадратично-бигармонических и других методов решения проблем минеральных ресурсов, доктор философии. Диссертация, кафедра наук о Земле, Государственный университет Айовы, Эймс, Айова.
• Sirayanone, S.; Харди, Р.Л. (1995). «Многоквадратично-бигармонический метод, используемый для минеральных ресурсов, метеорологических и других приложений». Журнал прикладных наук и вычислений. 1 : 437–475.