Войти
Метод аналитического элемента (AEM ) - это числовой метод, используемый для решения уравнений в частных производных. Первоначально он был разработан O.D.L. Штрака в Университете Миннесоты. По своей природе он аналогичен методу граничных элементов (BEM), поскольку он не полагается на дискретизацию объемов или площадей в моделируемой системе; дискретизируются только внутренние и внешние границы. Одно из основных различий между AEM и BEM заключается в том, что граничные интегралы вычисляются аналитически.
Обтекание непроницаемых цилиндров. Решено с помощью AEM с использованием 20 коэффициентов в расширениях ряда. Основная предпосылка метода аналитических элементов состоит в том, что для линейных дифференциальных уравнений элементарные решения могут быть наложены друг на друга для получения более сложных решений. Набор 2D и 3D аналитических решений («элементов») доступен для различных основных уравнений. Эти элементы обычно соответствуют разрыву в зависимой переменной или ее градиенту вдоль геометрической границы (например, точки, линии, эллипса, круга, сферы и т. Д.). Этот разрыв имеет определенную функциональную форму (обычно полином в 2D) и может быть изменен, чтобы удовлетворить граничным условиям Дирихле, Неймана или Робина (смешанные). Каждое аналитическое решение бесконечно в пространстве и / или времени.
Обычно каждое аналитическое решение содержит степени свободы (коэффициенты), которые могут быть вычислены для удовлетворения заданных граничных условий вдоль границы элемента. Чтобы получить глобальное решение (т. Е. Правильные коэффициенты элементов), система уравнений решается так, чтобы граничные условия выполнялись по всем элементам (с использованием коллокации, минимизации наименьших квадратов или аналогичный подход). Примечательно, что глобальное решение обеспечивает пространственно непрерывное описание зависимой переменной повсюду в бесконечной области, а основное уравнение удовлетворяется везде, за исключением границы элемента, где основное уравнение не применимо строго из-за разрыва.
Возможность совмещать множество элементов в одном решении означает, что аналитические решения могут быть реализованы для сколь угодно сложных граничных условий. То есть могут быть решены модели со сложной геометрией, прямыми или изогнутыми границами, несколькими границами, переходными граничными условиями, несколькими слоями водоносного горизонта, кусочно изменяющимися свойствами и непрерывно меняющимися свойствами. Элементы могут быть реализованы с использованием расширений дальнего поля, так что модель, содержащая многие тысячи элементов, может быть решена эффективно с высокой точностью.
Метод аналитических элементов применялся к задачам потока грунтовых вод, которые регулируются множеством линейных дифференциальных уравнений в частных производных, включая Лапласа, уравнение Пуассона, модифицированное уравнение Гельмгольца, уравнение теплопроводности и бигармоническое уравнения. Часто эти уравнения решаются с использованием комплексных переменных, что позволяет использовать математические методы, доступные в теории сложных переменных. Полезный метод решения сложных проблем - использование конформного отображения, которое отображает границы геометрии, например эллипса на границу единичной окружности, где решение известно.
В методе аналитического элемента используется потенциал разряда и функция тока, или комбинированный комплексный потенциал. Этот потенциал связывает физические свойства системы грунтовых вод, гидравлический напор или границы потока с математическим представлением в потенциале. Это математическое представление можно использовать для расчета потенциала с точки зрения местоположения и, таким образом, решения проблем с потоком грунтовых вод. Элементы разрабатываются путем решения граничных условий для любого из этих двух свойств, гидравлического напора или границы потока, что приводит к аналитическим решениям, способным справиться с многочисленными граничными условиями.
Современный студент Стрэка, который является сторонником метода аналитических элементов (AEM) в приложениях для моделирования подземных вод, - доктор Дэвид Стюард из Университета штата Канзас.
Как уже упоминалось, метод аналитического элемента, таким образом, не полагается на дискретизацию объема или площади в модели, как в конечных элементах или конечно разные методы. Таким образом, он может смоделировать сложную проблему с ошибкой порядка машинной точности. Это проиллюстрировано в исследовании, в котором смоделирован весьма неоднородный изотропный водоносный горизонт путем включения 100 000 сферических неоднородностей со случайной проводимостью и отслеживания 40 000 частиц. Метод аналитических элементов можно эффективно использовать в качестве средства проверки или скрининга в более крупных проектах, поскольку он может быстро и точно рассчитать поток подземных вод для многих сложных задач.
В отличие от других широко используемых методов моделирования подземных вод, например метод конечных элементов или конечных различных, AEM не разделяет область модели на ячейки. Это дает то преимущество, что модель действительна для любой заданной точки в области модели. Однако это также подразумевает, что домен не так легко разделить на области, например разная гидравлическая проводимость, как при моделировании ячеистой сеткой. Хотя есть некоторые решения, которые справляются с этим, например существуют решения для реализации вертикально меняющихся свойств или структур в водоносном горизонте в модели AEM.
