Билинейное преобразование (также известное как метод Тастина ) используется в цифровой обработке сигналов и теории управления с дискретным временем для преобразования представлений системы с непрерывным временем в дискретное время и наоборот.
Билинейное преобразование - это частный случай конформного отображения (а именно, преобразование Мёбиуса ), часто используемое для преобразования передаточной функции из линейного, неизменного во времени (LTI ) фильтр в непрерывной -временной области (часто называемой аналоговым фильтром ) в передаточную функцию линейного, инвариантного к сдвигу фильтра в дискретной -временной области (часто называется цифровым фильтром, хотя существуют аналоговые фильтры, построенные с переключаемые конденсаторы, которые являются фильтрами дискретного времени). Он отображает позиции на оси , в s-плоскости до единичной окружности, в z-плоскости. Другие билинейные преобразования могут использоваться для искажения частотной характеристики любой линейной системы с дискретным временем (например, для аппроксимации нелинейного частотного разрешения слуховой системы человека) и могут быть реализованы в дискретной области путем замены блок системы задерживает с всепроходными фильтрами первого порядка.
Преобразование сохраняет стабильность и отображает каждую точку частотной характеристики фильтра непрерывного времени, в соответствующую точку в частотной характеристике фильтра дискретного времени, , хотя и с несколько другой частотой, как показано в разделе Искажение частоты ниже. Это означает, что для каждой особенности, которую можно увидеть в частотной характеристике аналогового фильтра, существует соответствующая функция с одинаковым усилением и фазовым сдвигом в частотной характеристике цифрового фильтра, но, возможно, на несколько другой частоте. Это едва заметно на низких частотах, но совершенно очевидно на частотах, близких к частоте Найквиста.
Содержание
- 1 Приближение дискретного времени
- 2 Сохраняются стабильность и свойство минимальной фазы
- 3 Общее преобразование БИХ-фильтра с непрерывным временем
- 4 Пример
- 5 Преобразование фильтра с непрерывным временем первого порядка
- 6 Преобразование биквада второго порядка
- 7 Искажение частоты
- 8 См. также
- 9 Ссылки
- 10 Внешние ссылки
Приближение дискретного времени
Билинейное преобразование - это приближение первого порядка функции натурального логарифма, которая является точным отображением z-плоскости в s -самолет. Когда преобразование Лапласа выполняется для сигнала с дискретным временем (с каждым элементом последовательности с дискретным временем, присоединенным к соответственно задержанному единичному импульсу ), результатом будет точно Z преобразование дискретной временной последовательности с заменой
где - это шаг численного интегрирования размер трапециевидной линейки, используемой при выводе билинейного преобразования; или, другими словами, период выборки. Вышеуказанное билинейное приближение может быть решено для или аналогичного приближения для может быть выполнено.
Обратное к этому отображению (и его билинейному приближению первого порядка) равно
Билинейное преобразование по существу использует это приближение первого порядка и заменяет передаточную функцию непрерывного времени,
То есть
Сохранены стабильность и свойство минимальной фазы
Причинно-следственный фильтр с непрерывным временем является стабильным, если полюса его передаточной функции попадают в левую половину комплекса s-плоскость. Причинный фильтр с дискретным временем является стабильным, если полюсы его передаточной функции попадают внутрь единичной окружности в комплексной z-плоскости. Билинейное преобразование отображает левую половину комплексной s-плоскости во внутреннюю часть единичной окружности в z-плоскости. Таким образом, фильтры, разработанные в области непрерывного времени, которые являются стабильными, преобразуются в фильтры в области дискретного времени, которые сохраняют эту стабильность.
Аналогично, фильтр с непрерывным временем является минимально-фазовым, если нули его передаточной функции попадают в левую половину комплексной s-плоскости. Дискретный фильтр является минимально-фазовым, если нули его передаточной функции попадают внутрь единичного круга в комплексной z-плоскости. Затем то же свойство отображения гарантирует, что фильтры непрерывного времени с минимальной фазой преобразуются в фильтры с дискретным временем, которые сохраняют это свойство минимальной фазы.
.
Общее преобразование БИХ-фильтра непрерывного времени
Рассмотрим БИХ-фильтр непрерывного времени порядка
где и - полюса и нули передаточной функции в s-плоскости. Пусть (или, если используется искажение частоты, как описано ниже, пусть ).
Билинейное преобразование фильтра получается заменой :
где , - полюс z-плоскости и положения нуля дискретизированного фильтра,
.
Пример
В качестве примера возьмем простой low-pass RC фильтр. Этот фильтр непрерывного времени имеет передаточную функцию
Если мы хотим реализовать этот фильтр как цифровой фильтр, мы можем применить билинейное преобразование, заменив формулу выше ; после некоторой доработки мы получаем следующее представление фильтра:
| |
| |
| |
| |
Коэффициенты знаменатель - это коэффициенты "обратной связи", а коэффициенты числителя - коэффициенты "прямой связи", используемые для реализации цифрового фильтра реального времени.
.
Преобразование непрерывного фильтра первого порядка
Можно связать коэффициенты аналогового фильтра с непрерывным временем с коэффициентами аналогичного цифрового фильтра с дискретным временем, созданного в процессе билинейного преобразования. Преобразование общего непрерывного фильтра первого порядка с заданной передаточной функцией
с использованием билинейного преобразования (без предварительного искажения какой-либо спецификации частоты) требует замены из
где
- .
Однако, если компенсация искажения частоты, как описано ниже, используется в билинейном преобразовании, так что оба усиление и фаза аналогового и цифрового фильтров согласовываются на частоте , затем
- .
Это приводит к дискретный цифровой фильтр с коэффициентами, выраженными через коэффициенты исходного непрерывного фильтра времени:
Обычно постоянный член в знаменателе должно быть нормализовано до 1 перед выводом соответствующего разностного уравнения . Это приводит к
Разностное уравнение (с использованием прямой формы I ):
Преобразование биквада второго порядка
Аналогичный процесс можно использовать для общего фильтра второго порядка с заданной передаточной функцией
В результате получается цифровой биквадратный фильтр с дискретным временем с коэффициентами, выраженными через коэффициенты исходного фильтра непрерывного времени:
Опять же, постоянный член в знаменателе обычно нормализуется до 1 перед выводом соответствующего разностного уравнения. Это приводит к
Разностное уравнение (с использованием прямой формы I ):
Искажение частоты
Для определения частотной характеристики непрерывного временного фильтра, передаточная функция оценивается как , который находится на оси . Аналогичным образом, чтобы определить частотную характеристику фильтра дискретного времени, передаточная функция оценивается как который находится на единичной окружности, . Билинейное преобразование отображает ось s-плоскости (из которой является доменом ) к единичной окружности z-плоскости, (который является доменом ), но это не то же отображение , которое также отображает к единичной окружности. Когда фактическая частота вводится в фильтр дискретного времени, созданный с помощью билинейного преобразования, тогда желательно знать, при каких частота, , для фильтра непрерывного времени, что этот сопоставлен с.
| |
| |
| |
| |
| |
| |
Это показывает, что каждая точка на единичный круг в плоскости z фильтра дискретного времени, отображается в точку на оси на s-плоскости фильтра непрерывного времени, . То есть преобразование частоты дискретного времени в непрерывное время билинейного преобразования равно
, а обратное отображение -
фильтр дискретного времени ведет себя на частоте так же, как фильтр непрерывного времени ведет себя на частоте . В частности, коэффициент усиления и фазовый сдвиг, которые имеет фильтр дискретного времени на частоте , является тем же усилением и фазовым сдвигом, что и фильтр непрерывного времени имеет на частоте . Это означает, что каждая особенность, каждая «выпуклость», которая видна в частотной характеристике фильтра непрерывного времени, также видна в фильтре дискретного времени, но с другой частотой. Для низких частот (то есть, когда или ), то функции отображаются с немного другой частотой; .
Можно видеть, что весь непрерывный частотный диапазон
отображается на интервал основной частоты
Частота фильтра непрерывного времени соответствует фильтру дискретного времени частота и частота фильтра непрерывного времени соответствуют частоте фильтра дискретного времени
Также можно видеть, что существует нелинейная связь между и Этот эффект билинейного преобразования называется искажением частоты . Фильтр непрерывного времени может быть разработан для компенсации этого искажения частоты, установив для каждой спецификации частоты, которую контролирует разработчик (например, угловая частота или центральная частота). Это называется предварительным искажением конструкции фильтра.
Однако можно компенсировать искажение частоты путем предварительного искажения спецификации частоты (обычно резонансный частота или частота наиболее важной характеристики частотной характеристики) системы непрерывного времени. Эти предварительно деформированные спецификации могут затем использоваться в билинейном преобразовании для получения желаемой системы с дискретным временем. При проектировании цифрового фильтра как приближения фильтра с непрерывным временем, частотная характеристика (как амплитуда, так и фаза) цифрового фильтра может быть согласована с частотной характеристикой непрерывного фильтра на заданной частоте , а также сопоставление на DC, если следующее преобразование подставляется в передаточную функцию непрерывного фильтра. Это модифицированная версия преобразования Тастина, показанного выше.
Однако обратите внимание, что это преобразование становится исходным преобразованием
as .
Основное преимущество деформации явлением является отсутствие искажения наложения спектров частотной характеристики, например, наблюдаемого при импульсной инвариантности.
См. также
Ссылки
Внешние ссылки