Топология Александрова

В топологии топология Александрова является топологией в котором пересечение любого семейства открытых множеств открыто. Аксиома топологии гласит, что пересечение любого конечного семейства открытых множеств открыто; в топологиях Александрова конечное ограничение снимается.

Набор вместе с топологией Александрова известен как дискретное пространство Александрова или конечно порожденное пространство .

Топологии Александрова однозначно определяются их предзаказами специализации. Действительно, для любого предварительного порядка ≤ на множестве X существует уникальная топология Александрова на X, для которой предварительный порядок специализации равен ≤. Открытые множества - это просто верхние множества по отношению к ≤. Таким образом, топологии Александрова на X находятся во взаимно однозначном соответствии с предпорядками на X.

Александров-дискретные пространства также называются конечно порожденными пространствами, поскольку их топология однозначно определяется семейством всех конечных подпространств. Таким образом, дискретные пространства по Александрову можно рассматривать как обобщение конечных топологических пространств.

. В связи с тем, что прообразы коммутируют с произвольными объединениями и пересечениями, свойство быть дискретным по Александрову пространством сохраняется при частных.

Александров-дискретные пространства названы в честь русского тополога Павла Александрова. Их не следует путать с более геометрическими пространствами Александрова, введенными российским математиком Александром Даниловичем Александровым.

• 1 Характеризация топологий Александрова
• 2 Двойственность с упорядоченными множествами
  • 2.1 Топология Александрова на предупорядоченном множестве
  • 2.2 Предварительный порядок специализации на топологическом пространстве
  • 2.3 Эквивалентность между предпорядками и топологиями Александрова
  • 2.4 Эквивалентность между монотонностью и непрерывностью
  • 2.5 Теоретико-категориальное описание двойственности
  • 2.6 Связь с построением модальных алгебр из модальных фреймов
• 3 История
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Топологии Александрова имеют множество характеристик. Пусть X= - топологическое пространство. Тогда следующие эквиваленты:

• Характеристики открытого и закрытого множества:
  • Открытый набор. Произвольное пересечение открытых множеств в X открыто.
  • Закрытое множество. Произвольное объединение замкнутых множеств в X является замкнутым.
• Характеристика окружения:
  • Наименьшая окрестность. Каждая точка X имеет наименьшую окрестность.
  • Фильтр соседства. Фильтр соседства каждой точки в X замкнут при произвольных пересечениях.
• Внутренняя и замыкающая алгебраические характеристики:
  • Внутренний оператор. внутренний оператор в X распределяет по произвольным пересечениям подмножеств.
  • Оператор замыкания. оператор замыкания элемента X распределяется по произвольным объединениям подмножеств.
• Характеристики предварительного заказа:
  • Предварительный заказ специализации. T - лучшая топология, соответствующая предварительному заказу специализации из X т.е. лучшая топология, дающая предварительный порядок ≤, удовлетворяющий x ≤ y тогда и только тогда, когда x находится в замыкании {y} в X.
  • Open up-set. Существует предварительный порядок ≤ такой, что открытые наборы X - это в точности те, которые закрыты вверх, т.е. если x находится в наборе и x ≤ y, то y находится в наборе. (Этот предварительный заказ будет в точности предварительным заказом специализации.)
  • Закрытый понижающий набор. Существует предварительный заказ ≤ такой, что закрытые множества X - это в точности те, которые закрыты вниз, т. Е. Если x находится в наборе и y ≤ x, тогда y находится в наборе. (Этот предварительный заказ будет в точности предварительным заказом специализации.)
  • Внутреннее направление вверх. Точка x лежит внутри подмножества S из X тогда и только тогда, когда существует точка y в S такое, что y ≤ x, где ≤ - предварительный порядок специализации, т.е. y лежит в закрытии {x}.
  • Замыкание вниз. Точка x лежит в замыкании подмножества S из X тогда и только тогда, когда существует точка y в S такая, что x ≤ y, где ≤ - предпорядок специализации, т. е. x лежит в замыкании {y}.
• Конечная генерация и теоретико-категориальные характеристики:
  • Конечное замыкание. Точка x лежит внутри замыкания подмножества S из X тогда и только тогда, когда существует конечное подмножество F из S такое, что x лежит в замыкании F. (Это конечное подмножество всегда может быть выбрано одноэлементным.)
  • Конечное подпространство. T является когерентным с конечными подпространствами X.
  • Отображение конечного включения. Отображение включения f i: Xi→ Xконечного подпространства X образуют.
  • Конечное порождение. Xконечно порождено ed, т.е. находится в одном из конечных пространств. (Это означает, что существует конечный сток f i: Xi→ X, где каждое Xiявляется конечным топологическим пространством.)

Топологические пространства, удовлетворяющие приведенным выше эквивалентным характеристикам, называются конечно порожденными пространствами или Дискретные пространства Александрова и их топология T называется топологией Александрова .

Топология Александрова на заранее упорядоченном множестве

Дана предварительно упорядоченный набор $X\; =\; ⟨X,\; \le ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{X\}\; =\; \backslash \; langle\; X,\; \backslash \; leq\; \backslash \; rangle\}$, мы можем определить топологию Александрова $\tau \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$на X, выбирая открытые множества как верхние множества :

$\tau \; =\; \{G\; \subseteq \; X:\; \forall \; x,\; y\; \in \; X\; (x\; \in \; G\; \wedge \; x\; \le \; y)\; \to \; Y\; \in \; G\}\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; тау\; =\; \backslash \; \{\backslash ,\; G\; \backslash \; substeq\; X:\; \backslash \; forall\; x,\; y\; \backslash \; in\; X\; \backslash \; \backslash \; (x\; \backslash \; in\; G\; \backslash \; \backslash \; land\; \backslash \; x\; \backslash \; leq\; y)\; \backslash \; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; y\; \backslash \; in\; G\; \backslash ,\; \backslash \}\}$

Таким образом, мы получаем топологическое пространство $T\; (X)\; =\; ⟨X,\; \tau ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; (\backslash \; mathbf\; \{X\})\; =\; \backslash \; langle\; X,\; \backslash \; tau\; \backslash \; rangle\}$.

Соответствующие замкнутые множества - это нижние множества :

$\{S\; \subseteq \; X:\; \forall \; x,\; y\; \in \; X\; (x\; \in \; S\; \wedge \; y\; \le \; x)\; \to \; y\; \in \; S\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash ,\; S\; \backslash \; substeq\; X:\; \backslash \; forall\; x,\; y\; \backslash \; in\; X\; \backslash \; \backslash \; (\; x\; \backslash \; in\; S\; \backslash \; \backslash \; land\; \backslash \; y\; \backslash \; leq\; x)\; \backslash \; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; y\; \backslash \; in\; S\; \backslash ,\; \backslash \}\}$

Предварительный порядок специализации в топологическом пространстве

Для данного топологического пространства X= предварительный заказ специализации на X определяется следующим образом:

x≤y тогда и только тогда, когда x находится в замыкании {y}.

Таким образом, мы получаем предварительно упорядоченный набор W(X) = .

Эквивалентность между предзаказами и топологиями Александрова

Для каждого предварительно упорядоченного набора X= мы всегда имеем W(T(X)) = X, т.е. восстанавливается предзаказ X из топологического пространства T(X) в качестве предпорядка специализации. Более того, для каждого Александровско-дискретного пространства X, мы имеем T(W(X)) = X, т.е. топология Александрова X восстанавливается как топология, индуцированная предварительный заказ специализации.

Однако для топологического пространства в целом не T(W(X)) = X . Скорее T(W(X)) будет набором X с более тонкой топологией, чем у X (т.е. у него будет больше открытых наборов).

Эквивалентность между монотонностью и непрерывностью

Для монотонной функции

f: X→Y

между двумя предварительно упорядоченными наборами (т.е. функция

f: X → Y

между нижележащими множествами, так что x≤y в X подразумевает f (x) ≤f (y) в Y ), пусть

T(f): T(X)→T(Y)

будет то же отображение, что и f, рассматриваемое как отображение между соответствующими пространствами Александрова. Тогда T (f) - это непрерывное отображение.

. И наоборот, для непрерывного отображения

g: X→Y

между двумя топологическими пространствами, пусть

W(g): W(X)→W(Y)

- то же самое отображение, что и f, рассматриваемое как отображение между соответствующими предварительно упорядоченными наборами. Тогда W (g) - монотонная функция.

Таким образом, отображение между двумя предварительно упорядоченными множествами является монотонным тогда и только тогда, когда оно является непрерывным отображением между соответствующими Александров-дискретными пространствами. Наоборот, отображение между двумя Александров-дискретными пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда оно является монотонной функцией между соответствующими предварительно упорядоченными множествами.

Однако обратите внимание, что в случае топологий, отличных от топологии Александрова, мы можем иметь отображение между двумя топологическими пространствами, которое не является непрерывным, но, тем не менее, является монотонной функцией между соответствующими предварительно упорядоченными наборами. (Чтобы увидеть это, рассмотрим не-Александровско-дискретное пространство X и рассмотрим тождественное отображение i: X→T(W(X).)

Теоретико-категориальное описание двойственность

Пусть Набор обозначает категорию наборов и карт. Пусть Top обозначает категорию топологических пространств и непрерывных отображений ; и пусть Pro обозначает категорию предварительно упорядоченных наборов и монотонных функций. Затем

T: Pro → Top и

W: Top → Pro

находятся над Set, которые являются смежными слева и справа соответственно.

Пусть Alx обозначает полную подкатегорию из Top, состоящую из дискретных пространств Александрова. Тогда ограничения

T: Pro → Alx и

W: Alx → Pro

инверсны по сравнению с Set .

Alx находится в Фактически это подкатегория бикоотражателя из Верх с бикоотражателем T◦W: Верх → Alx . Это означает, что дано топологическое пространство X, тождественное отображение

i: T(W(X)) → X

непрерывно и для каждой непрерывной карты

f: Y→X

, где Y - Александров-дискретное пространство, композиция

i ◦f: Y→T(W(X))

непрерывна.

Связь с построением модальных алгебр из модальных фреймов

Учитывая предварительно упорядоченный набор X, внутренний оператор и оператор замыкания из T(X) задаются следующим образом:

Int (S) = {x ∈ X: для всех y ∈ X, x≤y влечет y ∈ S}, и

Cl(S) = {x ∈ X: существует y ∈ S с x≤y}

для всех S⊆ X.

Считая внутренний оператор и оператор замыкания модальными операторами на множестве степеней Булева алгебра X, эта конструкция является частным случаем построения модальной алгебры из модального фрейма, т.е. из набора с одним бинарным отношением . (Последняя конструкция сама по себе является частным случаем более общей конструкции комплексной алгебры из реляционной структуры, то есть множества с определенными на ней отношениями.) Класс модальных алгебр, которые в случае заранее упорядоченного множества мы получаем класс внутренних алгебр - алгебраических абстракций топологических пространств.

Впервые пространства Александрова были введены в 1937 году П. С. Александров под названием дискретные пространства, где он дал характеристики в терминах множеств и окрестностей. Название дискретные пространства позже стало использоваться для топологических пространств, в которых каждое подмножество открыто, а первоначальная концепция была забыта в топологической литературе. С другой стороны, пространства Александрова сыграли важную роль в Oystein Ore пионерских исследованиях замкнутых систем и их взаимосвязи с теорией решетки и топологией.

С развитием науки категориальная топология в 1980-х годах пространства Александрова были заново открыты, когда концепция конечного поколения была применена к общей топологии и для них было принято название конечно порожденные пространства . Примерно в то же время были переоткрыты пространства Александрова в контексте топологий, возникших в результате денотационной семантики и теории предметной области в информатике.

. В 1966 году Майкл С. МакКорд и А.К. Каждый из Штейнера независимо наблюдал двойственность между частично упорядоченными множествами и пространствами, которые были в точности T0 версиями пространств, введенных Александровым. П. Джонстон называл такие топологии топологиями Александрова . Ф. Г. Аренас независимо предложил это название для общей версии этих топологий. МакКорд также показал, что эти пространства слабо гомотопически эквивалентны комплексу порядка соответствующего частично упорядоченного множества. Штайнер продемонстрировал, что двойственность - это контравариантный изоморфизм решетки, сохраняющий произвольные встречи и соединения, а также дополнение.

Также хорошо известен результат в области модальной логики, что существует двойственность между конечными топологическими пространствами и предварительными порядками на конечных множествах (конечные модальные рамки для модальной логики S4). А. Гжегорчик заметил, что это распространяется на двойственность между тем, что он называл полностью распределительными пространствами и предварительными порядками. К. Натурман заметил, что эти пространства были Александров-дискретными пространствами, и распространил результат на теоретико-категориальную двойственность между категорией Александров-дискретных пространств и (открытых) непрерывных отображений и категорией предпорядков и (ограниченных) монотонных отображений, предоставление предварительных характеристик, а также внутренних и замыкающих алгебраических характеристик.

Систематическое исследование этих пространств с точки зрения общей топологии, которой пренебрегали со времени выхода оригинальной статьи Александрова был поднят FG Арены.

• P-пространство, пространство, удовлетворяющее более слабому условию, что счетные пересечения открытых множеств открыты