Войти
In математическая логика, абстрактная алгебраическая логика- это исследование алгебраизации дедуктивных систем, возникающее как абстракция известной алгебры Линденбаума – Тарского, и как полученные алгебры связаны с логическими системами.
Архетипическая ассоциация такого рода, одна из фундаментальных для исторических истоков алгебраической логики и лежащая в основе всех впоследствии разработанных подтеорий, - это ассоциация между классом Булевы алгебры и классическое исчисление высказываний. Эта ассоциация была обнаружена Джорджем Бульом в 1850-х годах, а затем развита и уточнена другими, особенно К. С. Пирс и Эрнст Шредер, с 1870-х по 1890-е гг. Кульминацией этой работы стала алгебры Линденбаума – Тарского, разработанные Альфредом Тарским и его учеником Адольфом Линденбаумом в 1930-х годах. Позже Тарский и его американские ученики (в число которых входит Дон Пигоцци) открыли цилиндрическую алгебру, которая алгебраизирует всю классическую логику первого порядка, и возродили алгебру соотношений, модели включают в себя все хорошо известные аксиоматические теории множеств.
Классическая алгебраическая логика, которая включала в себя все работы по алгебраической логике примерно до 1960 года, изучала свойства конкретных классов используемых алгебр «алгебраизировать» конкретные логические системы, представляющие особый интерес для конкретных логических исследований. Как правило, было обнаружено, что алгебра, связанная с логической системой, представляет собой тип решетки, возможно, обогащенной одной или несколькими унарными операциями, отличными от решетки дополнения.
Абстрактной алгебраической логика- это современная часть алгебраической логики, которая возникла в Польше в 1950-1960-х годах благодаря работам Хелены Расёовой, Романа Сикорского, Ежи Лось, и (это лишь некоторые из них). Она достигла своей зрелости в 1980-х годах с плодотворными публикациями польского логика, голландского логика Вима Блока и американского логика. Фокус абстрактной алгебраической логики сместился с изучения конкретных классов алгебр, связанных с конкретными логическими системами (в центре внимания классической алгебраической логики), к изучению:
Переход от классической алгебраической логики к абстрактной алгебраической логике можно сравнить с переходом от «современной» или абстрактной алгебры (т. е. изучением группы, кольца, модули, поля и т. Д.) До универсальной алгебры (изучение классов алгебр произвольных типов подобия (алгебраические сигнатуры ), удовлетворяющих конкретным абстракциям t свойства).
Две основные причины развития абстрактной алгебраической логики тесно связаны с пунктами (1) и (3) выше. Что касается (1), критический шаг в переходе был инициирован работой Расиовой. Ее цель состояла в том, чтобы абстрагировать результаты и методы, которые, как известно, верны для классического исчисления высказываний и булевых алгебр и некоторых других тесно связанных логических систем, таким образом, чтобы эти результаты и методы могли быть применяется к гораздо большему разнообразию пропозициональных логик.
(3) во многом обязан совместной работе Блока и Пигоцци по изучению различных форм хорошо известной теоремы дедукции классического исчисления высказываний и логики первого порядка принимает участие в большом количестве логических систем. Они связали эти различные формы теоремы дедукции со свойствами алгебраических аналогов этих логических систем.
Абстрактная алгебраическая логика превратилась в хорошо известное подразделение алгебраической логики с множеством глубоких и интересных результатов. Эти результаты объясняют многие свойства различных классов логических систем, ранее объясненные только в индивидуальном порядке или окутанные тайной. Возможно, наиболее важным достижением абстрактной алгебраической логики явилась классификация логик высказываний в иерархии, называемой абстрактной алгебраической иерархией или иерархией Лейбница, различные уровни которой примерно отражают силу связи между логикой на определенном уровне и связанным с ней классом алгебр. Положение логики в этой иерархии определяет степень, в которой эта логика может быть изучена с использованием известных алгебраических методов и приемов. Как только логика назначена на уровень этой иерархии, можно использовать мощный арсенал результатов, накопленных за последние 30 с лишним лет, управляющих алгебрами, расположенными на том же уровне иерархии.
Приведенная выше терминология может вводить в заблуждение. «Абстрактная алгебраическая логика» часто используется для обозначения подхода венгерской школы, в том числе Хайнала Андреки и других. То, что в вышеприведенных абзацах называется «абстрактной алгебраической логикой», должно быть «алгебраической логикой». Алгебраизация систем Генцена Рамоном Янсана, Дж. Фонтом и другими является значительным улучшением по сравнению с «алгебраической логикой».
| Логическая система | Алгебраический аналог |
|---|---|
| Пропозициональная логика | Булевы алгебры |
| Интуиционистская логика высказываний | Гейтинговые алгебры |
| Пропозициональная модальная логика | Булевы алгебры с операторами. Модальная алгебра |
| Логика первого порядка | Цилиндрические алгебры. Полиадическая алгебра. Логика предикатных функторов |
| Теория множеств | Комбинаторная логика. Алгебра отношений. Булева алгебра |
