Иерархия (математика)

В математике иерархия представляет собой теоретико-множественный объект, состоящий из предварительного заказа , определенного в наборе. Это часто называют упорядоченным набором, хотя это неоднозначный термин, который многие авторы резервируют для частично упорядоченных наборов или полностью упорядоченных наборов. Термин «предварительно упорядоченный набор» однозначен и всегда является синонимом математической иерархии. Термин иерархия используется для подчеркивания иерархической связи между элементами.

Иногда набор имеет естественную иерархическую структуру. Например, набор натуральных чисел N снабжен естественной структурой предварительного заказа, где $n\; \le \; n\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; leq\; n\; \text{'}\}$всякий раз, когда мы можем найти какое-то другое число $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, так что $n\; +\; m\; =\; n\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; +\; m\; =\; n\; \text{'}\}$. То есть $n\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \text{'}\}$больше, чем $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$только потому, что мы можем добраться до $n\; \prime \; \{\; \backslash \; displaystyle\; n\; \text{'}\}$из $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$с использованием $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$. Это верно для любого коммутативного моноида. С другой стороны, набор целых чисел Z требует более сложных аргументов в пользу своей иерархической структуры, поскольку мы всегда можем решить уравнение $n\; +\; m\; =\; n\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; +\; m\; =\; n\; \text{'}\}$записав $m\; =\; (n\; \text{'}-\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; (n\text{'}-n)\}$.

Математическую иерархию (предварительно упорядоченный набор) не следует путать с более общей концепцией иерархия в социальной сфере, особенно при построении вычислительных моделей, которые используются для описания реальных социальных, экономических или политических систем. Эти иерархии или сложные сети слишком разнообразны, чтобы их можно было описать в категории Набор наборов. Это не просто педантичное заявление; существуют также математические иерархии, которые нельзя описать с помощью теории множеств.

Другая естественная иерархия возникает в информатике, где это слово относится к частично упорядоченным множествам, элементы которых классы объектов повышенной сложности. В этом случае предварительным порядком, определяющим иерархию, является отношение класса-включения. Иерархии сдерживания, таким образом, являются частными случаями иерархий.

• 1 Связанная терминология
• 2 Пример
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Отдельные элементы иерархии часто называют уровнями и иерархия называется бесконечной, если у нее бесконечно много различных уровней, но говорят, что она схлопывается, если она имеет только конечное количество различных уровней.

В теоретической информатике иерархия времени представляет собой классификацию проблем принятия решений в соответствии с количеством время, необходимое для их решения.

1. ^Нам может понадобиться более крупный topos.

.