Эллиптические функции Абеля

Графическое изображение эллиптической функции, где ее значения обозначены цветами. Они периодически повторяются в двух направлениях комплексной плоскости .

Эллиптические функции Абеляявляются голоморфными функциями одной комплексной переменной и с двумя периодами.. Впервые они были установлены Нильсом Хенриком Абелем и представляют собой обобщение тригонометрических функций. Поскольку они основаны на эллиптических интегралах, они были первыми примерами эллиптических функций. Вскоре после этого подобные функции были определены Карлом Густавом Якоби. Несмотря на то, что функции Абеля имеют несколько теоретических преимуществ, эллиптические функции Якоби стали стандартом. Это может быть связано с тем фактом, что Авель умер всего через два года после того, как представил их, в то время как Якоби мог продолжать свое исследование их на протяжении всей своей жизни. Обе эллиптические функции Абеля и Якоби могут быть получены из более общей формулировки, которая была позже дана Карлом Вейерштрассом на основе их двойной периодичности.

• 1 История
• 2 Свойства
  • 2.1 Формулы сложения
  • 2.2 Комплексное расширение
  • 2.3 Двойная периодичность
  • 2.4 Эллиптические функции Якоби
• 3 Ссылки
• 4 Литература

Первые эллиптические функции были обнаружены Карлом Фридрихом Гауссом около 1795 года в связи с его вычислением лемнискаты длины дуги, но впервые опубликовано после его смерти. Это частные случаи общих эллиптических функций, которые впервые были исследованы Абелем в 1823 году, когда он был еще студентом. Его отправной точкой были эллиптические интегралы, которые были подробно изучены Адрианом-Мари Лежандром. Через год после того, как Абель смог доложить, что его новые функции имеют два периода. Особенно это свойство сделало их более интересными, чем обычные тригонометрические функции, которые имеют только один период. В частности, это означало, что они должны были быть сложными функциями, которые в то время еще находились в зачаточном состоянии.

В последующие годы Авель продолжал исследовать эти функции. Он также попытался обобщить их на функции с еще большим числом точек, но, похоже, не торопился публиковать свои результаты. Но в начале 1827 года он написал свою первую длинную презентацию своих открытий Recherches sur les fonctions elliptiques. В конце того же года он узнал о Карле Густаве Якоби и его работах по новым преобразованиям эллиптических интегралов. Затем Абель заканчивает вторую часть своей статьи об эллиптических функциях и показывает в приложении, как легко могут следовать результаты преобразований Якоби. Когда он затем видит следующую публикацию Якоби, в которой он использует эллиптические функции для доказательства своих результатов, не обращаясь к Абелю, норвежский математик оказывается в борьбе с Якоби за приоритет. Он заканчивает несколько новых статей по смежным вопросам, впервые встречаясь с ними, но умирает менее чем через год. Тем временем Якоби завершает свою великую работу Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum об эллиптических функциях, которая выходит в том же году, что и книга. В итоге он определил, какой будет стандартная форма эллиптических функций в последующие годы.

Во время своего недолгого пребывания в Копенгагене в 1823 году под влиянием Карла Фердинанда Дегена Абель начал работать над эллиптическим интегралы, которые ранее были исследованы и классифицированы Лежандром. Интеграл первого рода он написал в симметричной форме

$u\; =\; \int \; 0\; xdt\; (1\; -\; c\; 2\; t\; 2)\; (1\; +\; e\; 2\; t\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{x\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{(1-c\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\})\; (1\; +\; e\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\})\}\}\}\}$

где c и e - произвольные параметры. Первоначально они будут считаться действительными числами, но со временем могут также принимать комплексные значения. В частном случае c = 1 и e = 0 интеграл дает длину дуги для окружности, а для c = e = 1 он дает длину дуги лемниската. Таким образом, он мог установить контакт как с тригонометрическими функциями (круговыми функциями), так и с лемнискатическими функциями, на которые Гаусс намекал в его Disquisitiones Arithmeticae.

Значение интеграла u является функцией верхнего предела x интеграла. Пока x < 1/c this value will increase with increasing x and reach a maximum

$\omega \; 2\; =\; \int \; 0\; 1\; /\; c\; d\; t\; (1\; -\; c\; 2\; t\; 2)\; (1\; +\; e\; 2\; t\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; omega\; \backslash \; over\; 2\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\; /\; c\}\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{(1-c\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\})\; (1+\; e\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\})\}\}\}.\}$

когда x = 1 / c. Пока что не было ничего нового в том, что еще не сделал Лежандр. Но гениальный ход Абеля заключался в том, что теперь он рассмотрел обратную функцию x = φ (u). Это хорошо определено в интервале 0 ≤ u ≤ ω / 2 с φ (0) = 0. Поскольку определяющий интеграл является нечетной функцией верхнего предела, эта новая функция φ (u) также будет нечетной и, таким образом, определена во всем интервале -ω / 2 ≤ u ≤ ω / 2 со специальными значениями φ (± ω / 2) = ± 1 / c.

Взяв производную по u с обеих сторон интеграла, можно найти производную dx / du = φ '(u). Это приводит к

$\phi \; \prime \; (u)\; =\; (1\; -\; c\; 2\; \phi \; 2\; (u))\; (1\; +\; e\; 2\; \phi \; 2\; (u))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \text{'}(u)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{(1\; -c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\; (u))\; (1\; +\; e\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\; (u))\}\}\}$

которая теперь является четной функцией φ '(u ) = φ '(−u) со значениями φ' (± ω / 2) = 0 и φ '(0) = 1.

Для двух квадратных корней, которые здесь появляются, Абель ввел новые функции

$е\; (и)\; =\; 1\; -\; с\; 2\; \phi \; 2\; (и),\; F\; (и)\; =\; 1\; +\; е\; 2\; \phi \; 2\; (и)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (u)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\; (u)\}\},\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; F\; (u)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; e\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\; (u)\}\}\}$

который тоже есть. Сверху находим f (0) = F (0) = 1 вместе с f (± ω / 2) = 0 и F (± ω / 2) = √1 + e / c. Если рассматривать φ (u) как обобщенную синусоидальную функцию, то эти две четные функции можно рассматривать как обобщенные косинусные функции, из которых сейчас две. Тогда в их терминах имеется производная в более компактной форме φ '(u) = f (u) F (u). Аналогично отсюда следует, что f '(u) = - cφ (u) F (u) и F' (u) = eφ (u) f (u).

Формулы сложения

Эйлера и Лежандра показали, что эллиптические интегралы удовлетворяют различным теоремам сложения. Абель дал новый вывод этого для конкретного интеграла, который он рассматривал, и нашел

$\phi \; (u\; 1\; +\; u\; 2)\; =\; \phi \; (u\; 1)\; f\; (u\; 2)\; F\; (u\; 2)\; +\; \phi \; (u\; 2)\; f\; (\; u\; 1)\; F\; (u\; 1)\; 1\; +\; c\; 2\; e\; 2\; \phi \; 2\; (u\; 1)\; \phi \; 2\; (u\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (u\_\; \{1\}\; +\; u\_\; \{2\})\; =\; \{\backslash \; varphi\; (u\_\; \{1\; \})\; f\; (u\_\; \{2\})\; F\; (u\_\; \{2\})\; +\; \backslash \; varphi\; (u\_\; \{2\})\; f\; (u\_\; \{1\})\; F\; (u\_\; \{1\})\; \backslash \; over\; 1\; +\; c\; ^\; \{2\}\; e\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\; (u\_\; \{1\})\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\; (u\_\; \{2\})\}\}$

Для двух других эллиптических функций он аналогичным образом получил

Используя их, он теперь мог расширить диапазон аргументов, по которым были определены функции. Например, установка u 1 = ± ω / 2 в первой формуле дает

$\phi \; (u\; \pm \; \omega \; 2)\; =\; \pm \; 1\; cf\; (u)\; F\; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \{\backslash \; big\; (\}\; u\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; omega\; \backslash \; over\; 2\}\; \{\backslash \; big)\}\; =\; \backslash \; pm\; \{1\; \backslash \; over\; c\}\; \{f\; (u)\; \backslash \; over\; F\; (u)\}\}$

и аналогично для двух другие функции,

$f\; (u\; \pm \; \omega \; 2)\; =\; \mp \; c\; 2\; +\; e\; 2\; \phi \; (u)\; F\; (u),\; F\; (u\; \pm \; \omega \; 2)\; =\; c\; 2\; +\; e\; 2\; c\; 1\; F\; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; е\; \{\backslash \; big\; (\}\; и\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; omega\; \backslash \; over\; 2\}\; \{\backslash \; big)\}\; =\; \backslash \; mp\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\; ^\; \{2\}\; +\; e\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; varphi\; (u)\; \backslash \; over\; F\; (u)\},\; \backslash ;\; \backslash ;\; F\; \{\backslash \; big\; (\}\; u\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; omega\; \backslash \; over\; 2\}\; \{\backslash \; big)\}\; =\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{c\; ^\; \{2\}\; +\; e\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; over\; c\}\; \{1\; \backslash \; over\; F\; (u)\}\}$

Таким образом, при u = ω / 2 φ (ω) = 0, так что функции будут определены во всем интервале −ω ≤ u ≤ ω. Повторяя это расширение еще на один шаг, находим φ (u + ω) = −φ (u). Тогда эта функция будет периодической φ (u + 2ω) = φ (u) с периодом 2ω. Для двух четных функций аналогично получаем f (u + ω) = −f (u) и F (u + ω) = F (u). Таким образом, функция f (u) также имеет период 2ω, тогда как F (u) имеет более короткий период ω.

Сложное расширение

Абель мог также расширить свои новые функции на комплексную плоскость. Для этого он определил сопряженный интеграл

$v\; =\; \int \; 0\; ydt\; (1\; +\; c\; 2\; t\; 2)\; (1\; -\; e\; 2\; t\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{y\}\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{(1\; +\; c\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\})\; (1-e\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\})\}\}\}\}$

где параметры c являются e заменены. Верхний предел y снова можно принять как функцию от интегрального значения v. Это действительное число, которое постоянно увеличивается от нуля до максимального значения

$\omega \; \prime \; 2\; =\; \int \; 0\; 1\; /\; edt\; (1\; +\; c\; 2\; t\; 2\; )\; (1\; -\; е\; 2\; t\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; omega\; \text{'}\backslash \; over\; 2\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\; /\; e\}\; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{(1\; +\; c\; ^\; \{2\; \}\; t\; ^\; \{2\})\; (1-e\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\})\}\}\}\}$

для y = 1 / e. Заменив переменную интегрирования с t на нее, Абель обнаружил, что iy = φ (iv). Таким образом, эта эллиптическая функция может быть найдена для чисто мнимых значений аргумента. В частности, φ (iω '/ 2) = i / e. Затем, используя теоремы сложения, можно вычислить функции для общего комплексного аргумента вида w = u + iv.

Для этого сложного расширения нужны также значения двух других эллиптических функций для мнимых аргументов. Находим f (± iω '/ 2) = √1 + c / e и F (± iω' / 2) = 0. Отсюда следует, что

$\phi \; (u\; \pm \; i\; \omega \; \prime \; 2)\; =\; \pm \; т.е.\; F\; (\; U)\; е\; (U)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varphi\; \{\backslash \; big\; (\}\; и\; \backslash \; pm\; я\; \{\backslash \; omega\; \text{'}\backslash \; над\; 2\}\; \{\backslash \; big)\}\; =\; \backslash \; pm\; \{я\; \backslash \; над\; е\}\; \{F\; (и)\; \backslash \; над\; f\; (u)\}\}$

и аналогично для двух других функций

$F\; (u\; \pm \; i\; \omega \; \prime \; 2)\; =\; \pm \; ic\; 2\; +\; e\; 2\; \phi \; (u)\; f\; (u),\; f\; (u\; \pm \; i\; \omega \; \text{'}2)\; знак\; равно\; с\; 2\; +\; е\; 2\; е\; 1\; е\; (U)\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; \{\backslash \; big\; (\}\; и\; \backslash \; pm\; я\; \{\backslash \; omega\text{'}\; \backslash \; более\; 2\}\; \{\backslash \; big)\}\; =\; \backslash \; pm\; я\; \{\backslash \; sqrt\; \{с\; ^\; \{2\}\; +\; e\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; varphi\; (u)\; \backslash \; over\; f\; (u)\},\; \backslash ;\; \backslash ;\; f\; \{\backslash \; big\; (\}\; u\; \backslash \; pm\; i\; \{\backslash \; omega\; \text{'}\backslash \; over\; 2\}\; \{\backslash \; big)\}\; =\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{c\; ^\; \{2\}\; +\; e\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; over\; e\}\; \{1\; \backslash \; over\; f\; (u)\}\}$

Поскольку f (± ω / 2) = 0, отсюда следует, что три эллиптические функции расходятся в точках ω / 2 ± iω '/ 2 и других точках, связанных симметрией. Эти расхождения оказываются простыми полюсами, но эта часть комплексного анализа еще не была так развита во времена Абеля.

Двойная периодичность

Вышеупомянутое комплексное расширение было определено для мнимых аргументов в интервале −ω '/ 2 ≤ v ≤ ω' / 2. Но с помощью формул сложения это можно продолжить до −ω '≤ v ≤ ω'. Заменяя затем u на u + iω '/ 2 в тех же формулах, получаем φ (u + iω') = −φ (u). Следовательно, эта эллиптическая функция периодична также в мнимом направлении с периодом 2iω '. Кроме того, тогда также

$\phi \; (u\; +\; \omega \; \pm \; я\; \omega \; \prime )\; =\; \phi \; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (u\; +\; \backslash \; omega\; \backslash \; pm\; i\; \backslash \; omega\; \text{'})\; =\; \backslash \; varphi\; (u)\}$

, так что эквивалентно можно сказать, что функция имеет два комплексных периода ω 1,2 = ω ± i ω '. Поскольку φ (0) = 0, функция также будет равна нулю во всех точках w = mω + inω ', где m и n - целые числа. Таким образом, эти нули образуют правильную решетку в комплексной плоскости , как и полюса.

Для двух других функций Абель нашел f (u + iω ') = f (u) и F (u + iω') = −F (u). Таким образом, функция f (u) имеет период iω 'в мнимом направлении, тогда как для F (u) он равен 2iω'. Их нули и полюсы снова образуют правильную решетку, отражающую их двойную периодичность. После смерти Гаусса было обнаружено, что он обнаружил соответствующую двойную периодичность в своей эллиптической функции лемнискаты.

эллиптических функциях Якоби

. Из определяющих интегралов видно, что эллиптические функции Абеля могут быть выражены через Эллиптические функции Якоби для мнимых значений k = ie / c модуля. Точное соотношение между этими функциями можно найти, изменив переменную интегрирования:

$\phi \; (u;\; c,\; e)\; =\; 1\; c\; sn\; \; (cu,\; т.е.\; /\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (u;\; c\; ,\; e)\; =\; \{1\; \backslash \; over\; c\}\; \backslash \; operatorname\; \{sn\}\; (cu,\; ie\; /\; c)\}$

Для двух второстепенных функций это приводит к

$f\; (u;\; c,\; e)\; =\; cn\; \; (cu\; ,\; т.е.\; /\; с),\; F\; (u;\; c,\; e)\; знак\; равно\; dn\; d\; (cu,\; ie\; /\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (u;\; c,\; e)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{cn\}\; (cu,\; ie\; /\; c),\; \backslash \; ;\; \backslash ;\; F\; (u;\; c,\; e)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{dn\}\; (cu,\; ie\; /\; c)\}$

После смерти Абеля в 1829 году Якоби продолжил свои исследования эллиптических функций. Со временем они превратились в числовые таблицы и в итоге превратились в стандартные эллиптические функции. Поэтому, используя их для мнимых значений модуля, можно также вычислить соответствующие эллиптические функции Абеля.

1. ^ J. Стиллвелл, Математика и ее история, Спрингер, Нью-Йорк (2010). ISBN 978-1441960528.
2. ^А. Штубхауг, Нильс Хенрик Абель и его Times, Springer-Verlag, Берлин (2000). ISBN 3-540-66834-9.
3. ^О. Оре, Нильс Хенрик Абель - выдающийся математик, AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд (2008). ISBN 978-0821846445.
4. ^N.H. Абель, Recherches sur les fonctions elliptiques, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2, 101–181 (1827).
5. ^Н.Х. Абель, Recherches sur les fonctions elliptiques, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 3, 160–190 (1828).
6. ^ Дж. Грей, Реальное и сложное: история анализа в XIX веке, Springer, Heidelberg (2015). ISBN 978-3-319-23714-5.
7. ^М. Абрамовиц и И. Стегун, Справочник по математическим функциям, Dover Publications, Нью-Йорк (1983). ISBN 0-486-61272-4.

• Нильс Хенрик Абель, Recherhes sur le fonctions elliptiques, первая и вторая части в Софус Ли и Людвиг Силов (ред.) Собрание сочинений, Осло (1881 г.).
• Кристиан Хаузель, Работа Нильса Хенрика Абеля, в OA Лаудаль и Р. Пиене, Наследие Нильса Хенрика Абеля - Двухсотлетие Абеля, Осло, 2002, Springer Verlag, Берлин (2004). ISBN 3-540-43826-2.