Эмпирическая функция распределения

Зеленая кривая, которая асимптотически приближается к высотам 0 и 1, не достигая их, является истинной кумулятивной функцией распределения стандартное нормальное распределение. Серые хеш-метки представляют наблюдения в конкретной выборке, взятые из этого распределения, а горизонтальные шаги синей ступенчатой ​​функции (включая крайнюю левую точку на каждом этапе, но не включая крайнюю правую точку) образуют эмпирическое распределение. функция этого образца. ()

В статистике, эмпирическая функция распределения - это функция распределения, связанная с эмпирической мерой выборки . Эта кумулятивная функция распределения представляет собой ступенчатую функцию , которая увеличивается на 1 / n в каждой из n точек данных. Его значение при любом заданном значении измеряемой переменной представляет собой долю наблюдений измеряемой переменной, которые меньше или равны заданному значению.

Эмпирическая функция распределения - это оценка кумулятивной функции распределения, которая сгенерировала точки в выборке. Согласно теореме Гливенко – Кантелли оно сходится с вероятностью 1 к этому базовому распределению. Существует ряд результатов для количественной оценки скорости сходимости эмпирической функции распределения к лежащей в основе кумулятивной функции распределения.

• 1 Определение
• 2 Среднее
• 3 Дисперсия
• 4 Среднеквадратичная ошибка
• 5 Квантили
• 6 Эмпирическая медиана
• 7 Асимптотические свойства
• 8 Доверительные интервалы
• 9 Статистическая реализация
• 10 См. Также
• 11 Ссылки
• 12 Дополнительная литература
• 13 Внешние ссылки

Пусть (X 1,…, X n) быть независимыми, одинаково распределенными реальными случайными величинами с общей кумулятивной функцией распределения F (t). Тогда эмпирическая функция распределения определяется как

$F\; ^\; n\; (t)\; =\; количество\; элементов\; в\; выборке\; \le \; tn\; =\; 1\; n\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; 1\; X\; i\; \le \; t,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; t\_dv\; \{количество\; элементов\; в\; выборке\}\}\; \backslash \; leq\; t\}\; \{n\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{1\}\; \_\; \{X\_\; \{i\}\; \backslash \; leq\; t\},\}$

где $1\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{1\}\; \_\; \{A\}\}$- индикатор события события A. Для фиксированного t показатель $1\; X\; i\; \le \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{1\}\; \_\; \{X\_\; \{i\}\; \backslash \; leq\; t\}\}$является случайной величиной Бернулли с параметром p = F (t); следовательно, $n\; F\; ^\; n\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; (t)\}$является биномиальной случайной величиной с означает nF (t) и дисперсию nF (t) (1 - F (t)). Это означает, что $F\; ^\; n\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; (t)\}$является несмещенной оценкой для F (t).

Однако в некоторых учебниках определение дается как $F\; ^\; n\; (t)\; =\; 1\; n\; +\; 1\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; 1\; X\; i\; \le \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\; \}\; \_\; \{n\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; +\; 1\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{1\}\; \_\; \{X\_\; \{i\}\; \backslash \; leq\; t\}\}$

Среднее эмпирического распределения - это несмещенная оценка среднего распределения генеральной совокупности.

$E\; N\; (X)\; =\; 1\; N\; (\sum \; i\; =\; 1\; nxi)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{n\}\; (X)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{x\_\; \{i\}\}\; \backslash \; right)\}$

, который чаще обозначается как $x\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\}\}$

дисперсия времен эмпирического распределения $nn\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{n\}\; \{n-1\}\}\}$- несмещенная оценка дисперсии распределения совокупности.

$Var\; \; (X)\; =\; E\; \; [(X\; -\; E\; \; [X])\; 2]\; =\; E\; \; [(X\; -\; x\; ¯)\; 2]\; =\; 1\; n\; (\sum \; i\; =\; 1\; n\; (xi\; -\; x\; ¯)\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; (X)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [(X-\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [X])\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; \backslash \; left\; [(X\; -\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{(x\_\; \{i\}\; -\; \{\backslash \; bar\; \{x\}\})\; ^\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

среднеквадратичная ошибка для эмпирического распределения выглядит следующим образом.

$MSE\; =\; 1\; N\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; (Y\; я\; -\; Y\; я\; ^)\; 2\; =\; Var\; \theta \; ^\; \; (\theta \; ^)\; +\; смещение\; \; (\theta \; ^,\; \theta )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; имя\; оператора\; \{MSE\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (Y\_\; \{i\}\; -\; \{\backslash \; hat\; \{Y\_\; \{i\}\}\})\; ^\; \{2\}\; \backslash \; \backslash \; [4pt]\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\}\; (\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\})\; +\; \backslash \; operatorname\; \{Bias\}\; (\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\},\; \backslash \; theta)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Где $\theta \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\}\}$- оценка, а $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$неизвестный параметр

Для любого действительного числа $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$обозначение $\lceil \; a\; \rceil \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; lceil\; \{a\}\; \backslash \; rceil\}$(читается как «потолок a») обозначает наименьшее целое число, большее или равное $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$. Для любого действительного числа a запись $\lfloor \; a\; \rfloor \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lfloor\; \{a\}\; \backslash \; rfloor\}$(читается как «пол из a») обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное <190.>a {\ displaystyle a}.

Если $nq\; \{\backslash \; displaystyle\; nq\}$не является целым числом, то $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$-й квантиль уникален и равен $x\; (\lceil \; nq\; \rceil )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \_\; \{(\backslash \; lceil\; \{nq\}\; \backslash \; rceil)\}\}$

Если $nq\; \{\backslash \; displaystyle\; nq\}$является целым числом, тогда $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$-й квантиль не уникален и представляет собой любое действительное число $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$такое, что

Если $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$нечетно, то эмпирическая медиана - это число

$x\; ~\; =\; Икс\; (\lceil \; N\; /\; 2\; \rceil )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; =\; x\; \_\; \{(\backslash \; lceil\; \{n\; /\; 2\}\; \backslash \; rceil)\}\}$

Если $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$четно, тогда эмпирическая медиана - это число

$x\; ~\; =\; xn\; /\; 2\; +\; xn\; /\; 2\; +\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{n\; /\; 2\}\; +\; x\_\; \{n\; /\; 2\; +\; 1\}\}\; \{2\}\}\}$

Поскольку отношение (n + 1) / n приближается к 1, когда n стремится к бесконечности, асимптотические свойства двух определений, приведенных выше, одинаковы.

Согласно строгому закону больших чисел, оценка $F\; ^\; n\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; (t)\; \}$сходится к F (t) при n → ∞ почти наверняка для любого значения t:

$F\; ^\; n\; (t)\; \to \; при\; F\; (t);\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; (t)\; \backslash \; \{\backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; text\; \{as\}\}\}\; \backslash \; F\; (t);\}$

таким образом, оценка $F\; ^\; n\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; (t)\}$является непротиворечивым. Это выражение утверждает поточечную сходимость эмпирической функции распределения к истинной кумулятивной функции распределения. Существует более сильный результат, называемый теоремой Гливенко – Кантелли, который утверждает, что на самом деле сходимость происходит равномерно по t:

$\Vert \; F\; ^\; n\; -\; F\; \Vert \; \infty \; \equiv \; sup\; t\; \in \; R\; |\; F\; ^\; n\; (t)\; -\; F\; (t)\; |\; \to \; a.s.\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; -F\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sup\; \_\; \{t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \{\backslash \; big\; |\}\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; (t)\; -F\; (t)\; \{\backslash \; big\; |\}\; \backslash \; \{\backslash \; xrightarrow\; \{\backslash \; text\; \{as\}\}\}\; \backslash \; 0.\}$

Верхняя норма в этом выражении называется Статистика Колмогорова – Смирнова для проверки согласия между эмпирическим распределением $F\; ^\; n\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; (t)\; \}$и предполагаемая истинная кумулятивная функция распределения F. Другие нормальные функции могут быть разумно использованы здесь вместо sup-norm. Например, L-норма приводит к статистике Крамера – фон Мизеса.

. Асимптотическое распределение можно дополнительно охарактеризовать несколькими различными способами. Во-первых, центральная предельная теорема утверждает, что поточечно, $F\; ^\; n\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; (t)\}$имеет асимптотически нормальное распределение со стандартной $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\}$скоростью сходимости:

$n\; (F\; ^\; n\; (t)\; -\; F\; (t))\; \to \; d\; N\; (0,\; F\; (t)\; (1\; -\; F\; (t))).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; (t)\; -F\; (t)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; xrightarrow\; \{d\}\}\; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; \{\backslash \; Big\; (\}\; 0,\; F\; (t)\; \{\backslash \; big\; (\}\; 1-F\; (t)\; \{\backslash \; big)\}\; \{\backslash \; Big)\}.\}$

Этот результат расширен Теорема Донскера, которая утверждает, что эмпирический процесс $n\; (F\; ^\; n\; -\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; (\{\backslash \; widehat\; \{F\; \}\}\; \_\; \{n\}\; -F)\}$, рассматриваемая как функция, индексированная $t\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, сходится по распределению в пространстве Скорохода $D\; [-\; \infty ,\; +\; \infty ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; D\; [-\; \backslash \; infty,\; +\; \backslash \; infty]\}$до нулевого среднего гауссовский процесс $GF\; =\; B\; \circ \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; G\_\; \{F\}\; =\; B\; \backslash \; circ\; F\}$, где B - стандартный броуновский мост. Ковариационная структура этого гауссовского процесса:

$E\; \; [G\; F\; (t\; 1)\; G\; F\; (t\; 2)]\; =\; F\; (t\; 1\; \wedge \; t\; 2)\; -\; F\; (t\; 1)\; F\; (t\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [\backslash ,\; G\_\; \{F\}\; (t\_\; \{1\})\; G\_\; \{F\}\; (t\_\; \{2\})\; \backslash ,]\; =\; F\; (t\_\; \{1\}\; \backslash \; wedge\; t\_\; \{2\})\; -\; F\; (t\_\; \{1\})\; F\; (t\_\; \{2\}).\}$

Равномерную скорость сходимости в теореме Донскера можно количественно оценить с помощью результата, известного как венгерское вложение :

В качестве альтернативы, скорость сходимости $n\; (F\; ^\; n\; -\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\; \}\; (\{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; -F)\}$также можно количественно оценить в терминах асимптотического поведения sup-нормы этого выражения. В этом месте есть ряд результатов, например, неравенство Дворецкого – Кифера – Вулфовица обеспечивает ограничение вероятности хвоста $n\; \Vert \; F\; ^\; n\; -\; F\; \Vert \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; |\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; -F\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$:

$Pr\; (n\; \Vert \; F\; ^\; n\; -\; F\; \Vert \; \infty >z)\; \le \; 2\; e\; -\; 2\; z\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pr\; \backslash !\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; |\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; -F\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}>z\; \{\backslash \; Big)\}\; \backslash \; leq\; 2e\; ^\; \{-\; 2z\; ^\; \{2\}\}.\}$

На самом деле Колмогоров показал, что если кумулятивная функция распределения F непрерывна, то выражение $n\; \Vert \; F\; ^\; n\; -\; F\; \Vert \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; |\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; -F\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$сходится по распределению к $\Vert \; B\; \Vert \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; |\; B\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$, которое имеет распределение Колмогорова, что не зависит от формы F.

Другой результат, который следует из закона повторного логарифма, заключается в том, что

$lim\; sup\; n\; \to \; \infty \; n\; \Vert \; F\; ^\; n\; -\; F\; \Vert \; \infty \; 2\; пер\; \; пер\; \; N\; \le \; 1\; 2,\; так\; как\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; limsup\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; |\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\; \}\; -F\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; ln\; \backslash \; ln\; n\}\}\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{a.s.\}\}\}$

и

$lim\; inf\; n\; \to \; \infty \; 2\; n\; ln\; \; ln\; \; n\; \Vert \; F\; ^\; n\; -\; F\; \Vert \; \infty \; =\; \pi \; 2,\; a.s.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; liminf\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2n\; \backslash \; ln\; \backslash \; ln\; n\}\}\; \backslash \; |\; \{\backslash \; widehat\; \{F\}\}\; \_\; \{n\}\; -F\; \backslash \; |\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\},\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{as\}\}\}$

Эмпирические CDF, CDF и графики доверительных интервалов для различных размеров выборки нормального распределения

Согласно Неравенство Дворецкого – Кифера – Вулфовица интервал, содержащий истинную CDF, $F\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (x)\}$, с вероятностью $1\; -\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; 1-\; \backslash \; alpha\}$определяется как

графики эмпирических CDF, CDF и доверительного интервала для различных размеров выборки распределения Коши

$F\; n\; (x)\; -\; \epsilon \; \le \; F\; (x)\; \le \; F\; n\; (x)\; +\; \epsilon ,\; где\; \epsilon \; =\; ln\; \; 2\; \alpha \; 2\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{n\}\; (x)\; -\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; leq\; F\; (x)\; \backslash \; leq\; F\_\; \{n\}\; (x)\; +\; \backslash \; varepsilon\; \backslash ;\; \{\backslash \; text\; \{where\}\}\; \backslash \; varepsilon\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; alpha\}\}\}\; \{2n\}\}\}.\}$

В соответствии с указанными выше границами мы можем построить эмпирические CDF, CDF и доверительные интервалы для различных распределений, используя любой из Статистические реализации. Ниже приводится синтаксис из Statsmodel для построения эмпирического распределения.

Эмпирические графики CDF, CDF и доверительного интервала для различных размеров выборки распределения треугольников

"" "Эмпирические функции CDF" "" импортировать numpy как np из scipy.interpolate import interp1d def _conf_set (F, alpha = 0.05): nobs = len (F) epsilon = np.sqrt (np.log (2.0 / alpha) / (2 * nobs)) lower = np.clip (F - epsilon, 0, 1) upper = np.clip (F + epsilon, 0, 1) вернуть нижний, верхний класс StepFunction (объект): def __init __ (self, x, y, ival = 0.0, sorted = False, side = "left"): if side.lower () not in ["right "," left "]: msg =" side может принимать значения "right" или "left" "поднять ValueError (msg) self.side = side _x = np.asarray (x) _y = np.asarray (y) if _x.shape! = _y.shape: msg = "x и y не имеют одинаковой формы" вызовите ValueError (msg), если len (_x.shape)! = 1: msg = "x и y должны быть одномерными" поднять ValueError (msg) self.x = np.r _ [- np.inf, _x] self.y = np.r_ [ival, _y], если не отсортировано: asort = np.argsort (self.x) self.x = np.take (self.x, asort, 0) self.y = np.take (self.y, asort, 0) self.n = self.xs hape [0] def __call __ (self, time): tind = np.searchsorted (self.x, time, self.side) - 1 возврат self.y [tind] class ECDF (StepFunction): def __init __ (self, x, side = "right"): x = np.array (x, copy = True) x.sort () nobs = len (x) y = np.linspace (1.0 / nobs, 1, nobs) super (ECDF, self).__ init __ (x, y, side = side, sorted = True) def monotone_fn_inverter (fn, x, vectorized = True, ** keywords): x = np.asarray (x) если векторизовано: y = fn (x, ** ключевые слова) else: y = for _x in x: y.append (fn (_x, ** keywords)) y = np.array (y) a = np.argsort (y) return interp1d (y [a], x [ a]) if __name__ == "__main__": # TODO: Убедитесь, что все правильно выровнено, и выполните # функцию построения из urllib.request import urlopen import matplotlib.pyplot as plt nerve_data = urlopen ("http: //www.statsci.org / data / general / nerve.txt ") nerve_data = np.loadtxt (nerve_data) x = nerve_data / 50.0 # Было за 1/50 секунды cdf = ECDF (x) x.sort () F = cdf (x) plt.step (x, F, где = "post") lower, upper = _conf_set (F) plt.step (x, lower, "r", где = "post") pl t.step (x, upper, "r", где = "post") plt.xlim (0, 1.5) plt.ylim (0, 1.05) plt.vlines (x, 0, 0.05) plt.show ()

Неполный список программных реализаций функции эмпирического распределения включает:

• В программном обеспечении R мы вычисляем эмпирическую кумулятивную функцию распределения с несколькими методами построения графиков., печать и вычисления с таким объектом «ecdf».
• В Mathworks мы можем использовать график эмпирической кумулятивной функции распределения (cdf)
• jmp из SAS, график CDF создает график эмпирической кумулятивной функции распределения.
• Minitab, создает эмпирическую CDF
• Mathwave, мы можем подогнать распределение вероятностей к нашим данным
• Dataplot, мы можем построить эмпирический График CDF
• Scipy, используя scipy.stats, мы можем построить график распределения
• Statsmodels, мы можем использовать statsmodels.distributions.empirical_distribution.ECDF
• Matplotlib, мы можем использовать гистограммы для построить кумулятивное распределение
• Excel, мы можем построить эмпирический график CDF

• Càdlàg функции
• Данные подсчета
• Подгонка распределения
• Неравенство Дворецкого – Кифера – Вольфовица
• Эмпирическая вероятность
• Эмпирический процесс
• Оценка квантилей по выборке
• Частота (статистика)
• Оценка Каплана – Мейера для цензурированных процессов
• Функция выживания

• Shorack, GR; Веллнер, Дж. (1986). Эмпирические процессы с приложениями к статистике. Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-86725-X. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

• СМИ, связанные с Эмпирические функции распределения в Wikimedia Commons