Броуновский мост

Броуновское движение, закрепленное с обоих концов. Здесь используется броуновский мост.

A Броуновский мост - это непрерывный стохастический процесс B (t), распределение вероятностей которого является условным распределением вероятностей винеровского процесса W (t) (математическая модель броуновского движения ) при условии (при стандартизации), что W (T) = 0, так что процесс закреплен в начале координат как при t = 0, так и при t = T. Точнее:

$В\; t:\; =\; (W\; t\; \mid \; WT\; =\; 0),\; t\; \in \; [0,\; T]\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{t\}:\; =\; (W\_\; \{t\}\; \backslash \; mid\; W\_\; \{T\}\; =\; 0),\; \backslash ;\; t\; \backslash \; in\; [0,\; T]\}$

Ожидаемое значение моста равно нулю с дисперсией $t\; (T\; -\; t)\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \{\backslash \; frac\; \{t\; (Tt)\}\; \{\; T\}\}\}$, подразумевая, что наибольшая неопределенность находится в середине моста с нулевой неопределенностью в узлах. ковариация B (s) и B (t) равна s (T - t) / T, если s < t. The increments in a Brownian bridge are not independent.

• 1 Отношение к другим случайным процессам
• 2 Интуитивные замечания
• 3 Общий случай
• 4 Ссылки

Если W (t) является стандартным винеровским процессом (т. Е. Для t ≥ 0, W (t) обычно распределенный с ожидаемым значением 0 и дисперсией t, а приращения являются стационарными и независимыми ), тогда

$B\; (t)\; =\; W\; (t)\; -\; t\; TW\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (t)\; =\; W\; (t)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{T\}\}\; W\; (T)\; \backslash ,\}$

- броуновский мост для t ∈ [0, T]. Он не зависит от W (T)

И наоборот, если B (t) - броуновский мост, а Z - стандартная нормальная случайная величина, не зависящая от B, то процесс

$W\; (t)\; =\; B\; (t)\; +\; t\; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (t)\; =\; B\; (t)\; +\; tZ\; \backslash ,\}$

- винеровский процесс для t ∈ [0, 1]. В более общем смысле, винеровский процесс W (t) для t ∈ [0, T] можно разложить на

$W\; (t)\; =\; B\; (t\; T)\; +\; t\; T\; Z.\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (t)\; =\; B\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\}\}\}\; Z.\}$

Другое представление Броуновский мост, основанный на броуновском движении, для t ∈ [0, T]

$B\; (t)\; =\; (T\; -\; t)\; TW\; (t\; T\; -\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(Tt)\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\}\}\}\; W\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{Tt\}\}\; \backslash \; right).\}$

И наоборот, для t ∈ [0, ∞]

$W\; (t)\; =\; T\; +\; t\; TB\; (T\; t\; T\; +\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{T\; +\; t\}\; \{T\}\}\; B\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{Tt\}\; \{T\; +\; t\}\}\; \backslash \; right).\}$

Броуновский мост также может быть представлен в виде ряда Фурье со стохастическими коэффициентами, как

$B\; t\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; Z\; k\; 2\; T\; sin\; \; (k\; \pi \; t\; /\; T)\; k\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; Z\_\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2T\}\}\; \backslash \; sin\; (k\; \backslash \; pi\; t\; /\; T)\}\; \{k\; \backslash \; pi\}\}\}$

где $Z\; 1,\; Z\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{1\},\; Z\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots\}$- независимые одинаково распределенные стандартные нормальные случайные величины (см. теорему Карунена – Лоэва ).

Броуновский мост - результат теоремы Донскера в области эмпирических процессов. Он также используется в тесте Колмогорова – Смирнова в области статистического вывода.

Стандартный винеровский процесс удовлетворяет W (0) = 0 и, следовательно, «привязан» к началу координат, но другие точки не ограничены. С другой стороны, в процессе броуновского моста не только B (0) = 0, но мы также требуем, чтобы B (T) = 0, то есть процесс также «привязан» при t = T. Подобно тому, как буквальный мост поддерживается пилонами с обоих концов, броуновский мост должен удовлетворять условиям на обоих концах интервала [0, T]. (В небольшом обобщении, иногда требуется, чтобы B (t 1) = a и B (t 2) = b, где t 1, t 2, a и b - известные константы.)

Предположим, что мы сгенерировали ряд точек W (0), W (1), W (2), W (3) и т. Д. Из путь винеровского процесса путем компьютерного моделирования. Теперь требуется заполнить дополнительные точки в интервале [0, T], то есть интерполировать между уже созданными точками W (0) и W (T). Решение состоит в том, чтобы использовать броуновский мост, который требуется для прохождения значений W (0) и W (T).

Для общего случая, когда B (t 1) = a и B (t 2) = b, распределение B в момент времени t ∈ (t 1, t 2) является нормальным, с средним

$a\; +\; t\; -\; t\; 1\; t\; 2\; -\; t\; 1\; (b\; -\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; +\; \{\backslash \; frac\; \{t-t\_\; \{1\}\}\; \{t\_\; \{2\}\; -t\_\; \{1\}\}\}\; (ba)\}$

и ковариация между B (s) и B (t), причем s < t is

$(t\; 2\; -\; t)\; (s\; -\; t\; 1)\; t\; 2\; -\; t\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(t\_\; \{2\}\; -t)\; (s-t\_\; \{1\})\}\; \{t\_\; \{2\}\; -t\_\; \{1\}\}\}.\}$

• Глассерман, Пол (2004). Методы Монте-Карло в финансовом инжиниринге. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00451-3.
• Ревуз, Даниэль; Йор, Марк (1999). Непрерывные мартингалы и броуновское движение (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57622-3.