Порядковая полезность

редактировать

В экономике функция порядковой полезности - это функция, представляющая предпочтения агента по порядковой шкале. Порядковая теория полезности утверждает, что имеет смысл только спросить, какой вариант лучше другого, но бессмысленно спрашивать, насколько он лучше или насколько он хорош. Вся теория принятия решений потребителем в условиях уверенности может быть выражена и обычно выражается в терминах порядковой полезности.

Например, предположим, что Джордж говорит нам, что «Я предпочитаю A вместо B и B вместо C». Предпочтения Джорджа могут быть представлены функцией u, такой что:

u (A) = 9, u (B) = 8, u (C) = 1 {\ displaystyle u (A) = 9, u (B) = 8, u (C) = 1}

{\ displaystyle u (A) = 9, u (B) = 8, u (C) = 1}

Но критики кардинальной полезности утверждают, что единственным значимым посланием этой функции является порядок $u (A)>u (B)>u (C) {\ Displaystyle и (А)>и (В)>и (С)}$ $u(A)>и (В)>и (С)$ ; фактические числа не имеют смысла. Следовательно, предпочтения Джорджа также могут быть представлены следующей функцией v:

v (A) = 9, v (B) = 2, v (C) = 1 {\ displaystyle v (A) = 9, v (B) = 2, v (C) = 1}

v (A) = 9, v (B) = 2, v ( C) = 1

Функции u и v обычно эквивалентны - они одинаково хорошо представляют предпочтения Джорджа.

Порядковая полезность контрастирует с теорией кардинальной полезности : последняя предполагает, что различия между предпочтениями также важны. A и B намного меньше th между B и C, а в v - наоборот. Следовательно, u и v кардинально не эквивалентны.

Понятие порядковой полезности было впервые введено Парето в 1906 году.

Содержание

1 Обозначение
2 Понятия, связанные с данным
- 2.1 Отображение кривой безразличия
- 2.2 Выявленное предпочтение
3 Необходимые условия существования порядковой функции полезности
4 Непрерывность
5 Уникальность
6 Монотонность
7 Предельная скорость замещения
8 Линейность
9 Квазилинейность
10 Аддитивность с двумя товарами
- 10.1 Свойство двойной отмены
- 10.2 Соответствующее свойство компромиссов
11 Аддитивность с тремя или более товарами
- 11.1 Уникальность аддитивного представления
12 Сравнение между порядковыми и кардинальными функциями полезности
13 См. Также
14 Ссылки
15 Внешние ссылки

Обозначение

Предположим, что набор всех состояний мира равен $X {\ displaystyle X}$ $X$ и агент имеет отношение предпочтений на $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Обычно отношение слабого предпочтения отмечается как $⪯ {\ displaystyle \ prevq}$ $\ prevq$ , так что $A ⪯ B {\ displaystyle A \ prevq B}$ $A \ prevq B$ читает «агент хочет B не меньше, чем A».

Символ $∼ {\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ используется как сокращение для отношения безразличия: $A ∼ B ⟺ (A ⪯ B ∧ B ⪯ A) {\ displaystyle A \ sim B \ iff (A \ prevq B \ land B \ prevq A)}$ ${\ displaystyle A \ sim B \ iff (A \ prevq B \ land B \ prevq A)}$ , что гласит: «Агент безразличен между B и A».

Символ $≺ {\ displaystyle \ prec}$ $\ prec$ используется как сокращение для строгого отношения предпочтения: $A ≺ B ⟺ (A ⪯ B ∧ B ⪯̸ A) {\ displaystyle A \ prec B \ iff (A \ Preq B \ land B \ not \ prevq A)}$ ${\ displaystyle A \ prec B \ iff (A \ prevq B \ land B \ not \ prevq A)}$ , что гласит: «Агент строго предпочитает B вместо A».

Функция $u: X → R {\ displaystyle u: X \ to \ mathbb {R}}$ $u: X \ to {\ mathbb {R}}$ , как говорят, представляет отношение $⪯ {\ displaystyle \ prevq}$ $\ prevq$ если:

A ⪯ B ⟺ u (A) ≤ u (B) {\ displaystyle A \ prevq B \ iff u (A) \ leq u (B)}

{\ Displaystyle A \ prevq B \ iff u (A) \ leq u (B)}

Связанные концепции

Отображения кривой безразличия

Вместо определения числовой функции отношение предпочтений агента может быть представлено графически с помощью кривых безразличия. Это особенно полезно, когда есть два вида товаров: x и y. Затем каждая кривая безразличия показывает набор точек $(x, y) {\ displaystyle (x, y)}$ $(x, y)$ таких, что если $(x 1, y 1) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ $(x_ {1}, y_ {1})$ и $(x 2, y 2) {\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ $(x_ {2}, y_ {2})$ находятся на одной кривой, тогда $(x 1, y 1) ∼ (x 2, y 2) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) \ sim (x_ {2}, y_ {2 })}$ $(x_1, y_1) \ sim ( x_2, y_2)$ .

Пример кривой безразличия показан ниже:

Каждая кривая безразличия представляет собой набор точек, каждая из которых представляет собой комбинацию количества двух товаров или услуг, каждая из которых одинаково удовлетворяет потребителя. Чем дальше кривая от начала координат, тем выше уровень полезности.

Наклон кривой (отрицательное значение предельной нормы замещения X вместо Y) в любой точке показывает скорость, с которой индивид готов обменять товар X на товар Y поддерживать тот же уровень полезности. Кривая выпуклая к началу координат, как показано, при условии, что у потребителя уменьшается предельная норма замещения. Можно показать, что анализ потребителей с использованием кривых безразличия (порядковый подход) дает те же результаты, что и анализ, основанный на теории кардинальной полезности, т. Е. Потребители будут потреблять в точке, где предельная норма замещения между любыми двумя товары равны соотношению цен на эти товары (принцип равномаржинальности).

Выявленное предпочтение

Выявленная теория предпочтения решает проблему того, как наблюдать порядковые отношения предпочтений в реальном мире. Задача теории выявленных предпочтений отчасти заключается в том, чтобы определить, от каких наборов товаров отказались на основании того, что они менее нравятся, когда люди наблюдают, выбирая определенные наборы товаров.

Необходимые условия для существования порядковой функции полезности.

Некоторые условия в $⪯ {\ displaystyle \ prevq}$ $\ prevq$ необходимы, чтобы гарантировать существование представляющей функции:

Транзитивность : if $A ⪯ B {\ displaystyle A \ prevq B}$ $A \ prevq B$ и $B ⪯ C {\ displaystyle B \ Preq C}$ $B \ prevq C$ , затем $A ⪯ C {\ displaystyle A \ prevq C }$ $A \ prevq C$ .
Полнота: для всех пакетов A, B ∈ X {\ displaystyle A, B \ in X}: либо A ⪯ B {\ displaystyle A \ prevq B}или B ⪯ A {\ displaystyle B \ prevq A}или оба.
- Полнота также подразумевает рефлексивность: для каждого $A ∈ X {\ displaystyle A \ in X}$ $A \ in X$ : $A ⪯ A {\ displaystyle A \ prevq A}$ $A \ prevq A$ .

когда эти условия выполняются и множество $X {\ displaystyle X}$ $X$ конечно, легко создать функцию $u {\ displaystyle u}$ $u$ , которая представляет $≺ {\ displaystyle \ prec}$ $\ prec$ , просто присвоив соответствующий номер каждому элементу $X {\ displaystyle X}$ $X$ , как показано в первом абзаце. То же самое верно, когда X счетно бесконечен. Более того, можно индуктивно построить представляющую функцию полезности, значения которой находятся в диапазоне $(- 1, 1) {\ displaystyle (-1,1)}$ $(-1,1)$ .

Когда $X {\ displaystyle X}$ $X$ бесконечно, этих условий недостаточно. Например, лексикографические предпочтения являются транзитивными и полными, но они не могут быть представлены какой-либо функцией полезности. Требуемым дополнительным условием является непрерывность.

Непрерывность

Отношение предпочтений называется непрерывным, если всякий раз, когда B предпочтительнее A, небольшие отклонения от B или A не изменят порядок между ними. Формально отношение предпочтения на множестве X называется непрерывным, если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

Для каждого $A ∈ X {\ displaystyle A \ in X}$ $A \ in X$ множество ${(A, B) | A ⪯ B} {\ displaystyle \ {(A, B) | A \ prevq B \}}$ $\ {(A, B) | A \ prevq B \}$ является топологически замкнутым в $X × X {\ displaystyle X \ times X}$ $X \ times X$ с топологией продукта (для этого определения требуется, чтобы $X {\ displaystyle X}$ $X$ был топологическим пространством ).
для каждого последовательность $(A i, B i) {\ displaystyle (A_ {i}, B_ {i})}$ $(A_i,B_i)$ , если для всех i $A i ⪯ B i {\ displaystyle A_ { i} \ prevq B_ {i}}$ $A_i \preq B_i$ и $A i → A {\ displaystyle A_ {i} \ to A}$ $A_i \ to A$ и $B i → B {\ displaystyle B_ {i} \ to B}$ $B_i \ to B$ , затем $A ⪯ B {\ displaystyle A \ Preq B}$ $A \ prevq B$ .
для каждого $A, B ∈ X {\ displaystyle A, B \ in X}$ $A, B \ в X$ такой, что $A ≺ B {\ displaystyle A \ prec B}$ $A \ Prec B$ , существует шар вокруг $A {\ displaystyle A}$ $A$ и шар вокруг $B {\ displaystyle B}$ $B$ так, что для каждого $a {\ displaystyle a}$ $a$ в шаре вокруг $A {\ displaystyle A}$ $A$ и каждый $b {\ displaystyle b}$ $b$ в шаре вокруг $B {\ disp Laystyle B}$ $B$ , $a ≺ b {\ displaystyle a \ prec b}$ $a \ Prec b$ (это определение требует, чтобы $X {\ displaystyle X}$ $X$ был метрическим пространством ).

Если отношение предпочтения представлено непрерывной функцией полезности, то оно явно непрерывно. Согласно теоремам Дебре (1954), верно и обратное:

Каждое непрерывное полное отношение предпочтений может быть представлено непрерывной порядковой функцией полезности.

Обратите внимание, что лексикографические предпочтения не непрерывны. Например, $(5, 0) ≺ (5, 1) {\ displaystyle (5,0) \ prec (5,1)}$ ${\ displaystyle (5,0) \ prec (5,1)}$ , но в каждом шаре вокруг (5,1) есть точки с $x < 5 {\displaystyle x<5}$ $x <5$ , и эти точки уступают $(5, 0) {\ displaystyle (5,0)}$ $(5,0)$ . Это согласуется с указанным выше фактом, что эти предпочтения не могут быть представлены функцией полезности.

Уникальность

Для каждой функции полезности v существует уникальное отношение предпочтения, представленное v. Однако обратное неверно: отношение предпочтения может быть представлено множеством различных функций полезности. Те же предпочтения могут быть выражены как любая функция полезности, которая является монотонно возрастающим преобразованием v. Например, если

v (A) ≡ f (v (A)) {\ displaystyle v (A) \ Equiv f (v ( A))}

v (A) \ Equiv f (v (A))

где $f: R → R {\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}$ - любая монотонно возрастающая функция, тогда функции v и v вызывают идентичные отображения кривой безразличия.

Эта эквивалентность кратко описывается следующим образом:

Порядковая функция полезности уникальна вплоть до возрастающего монотонного преобразования.

Напротив, функция кардинальной полезности уникальна только до увеличения аффинного преобразования. Каждое аффинное преобразование монотонно; следовательно, если две функции кардинально эквивалентны, они также обычно эквивалентны, но не наоборот.

Монотонность

Предположим, что с этого момента набор $X {\ displaystyle X}$ $X$ является набором всех неотрицательных вещественных двумерных векторов. Таким образом, элемент $X {\ displaystyle X}$ $X$ представляет собой пару $(x, y) {\ displaystyle (x, y)}$ $(x, y)$ , которая представляет потребленные количества из двух продуктов, например, яблок и бананов.

Тогда при определенных обстоятельствах отношение предпочтения $⪯ {\ displaystyle \ prevq}$ $\ prevq$ представлено функцией полезности $v (x, y) {\ displaystyle v (x, y)}$ $v(x,y)$ .

Предположим, что отношение предпочтения монотонно возрастает, что означает, что «больше всегда лучше»:

x < x ′ ⟹ ( x, y) ≺ ( x ′, y) {\displaystyle x

x<x' \implies (x,y)\prec(x',y)

y < y ′ ⟹ ( x, y ′) ≺ ( x, y ′) {\displaystyle y

y<y' \implies (x,y')\prec(x,y')

Тогда обе частные производные v, если они существуют, положительны. Вкратце:

Если функция полезности представляет собой монотонно возрастающее отношение предпочтения, то функция полезности монотонно увеличивается.

Предельная норма замещения

Предположим, у человека есть связка $(x 0, y 0) {\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_ {0}, y_ {0 })$ и утверждает, что ему безразлично этот набор и набор $(x 0 - λ ⋅ δ, y 0 + δ) {\ displaystyle (x_ {0} - \ lambda \ cdot \ delta, y_ {0} + \ delta)}$ $(x_0- \ lambda \ cdot \ delta, y_0 + \ delta)$ . Это означает, что он готов дать $λ ⋅ δ {\ displaystyle \ lambda \ cdot \ delta}$ $\ lambda \ cdot \ delta$ единиц x, чтобы получить $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ единиц у. Если это соотношение сохраняется как $δ → 0 {\ displaystyle \ delta \ to 0}$ $\ delta \ to 0$ , мы говорим, что $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ - это предельная скорость замещения (MRS) между x и y в точке $(x 0, y 0) {\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_ {0}, y_ {0 })$ .

Это определение MRS основана только на порядковом отношении предпочтения - она не зависит от числовой функции полезности. Если отношение предпочтения представлено функцией полезности и функция является дифференцируемой, то MRS можно вычислить на основе производных этой функции:

M R S = v x 'v y'. {\ displaystyle MRS = {\ frac {v '_ {x}} {v' _ {y}}}.}

MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}}.

Например, если отношение предпочтений представлено как $v (x, y) = xa ⋅ yb {\ displaystyle v (x, y) = x ^ {a} \ cdot y ^ {b}}$ $v (x, y) = x ^ a \ cdot y ^ b$ , затем $MRS = a ⋅ xa - 1 ⋅ ybb ⋅ yb - 1 ⋅ xa = aybx {\ displaystyle MRS = {\ frac {a \ cdot x ^ {a-1} \ cdot y ^ {b}} {b \ cdot y ^ {b-1} \ cdot x ^ {a}}} = {\ frac {ay} {bx}}}$ $MRS = \ frac {a \ cdot x ^ {a-1} \ cdot y ^ b} {b \ cdot y ^ {b-1} \ cdot x ^ a} = \ frac {ay } {bx}$ . MRS такая же для функции $v (x, y) = a ⋅ log ⁡ x + b ⋅ log ⁡ y {\ displaystyle v (x, y) = a \ cdot \ log {x} + b \ cdot \ log {y}}$ $v (x, y) = a \ cdot \ log {x} + b \ cdot \ log {y}$ . Это не совпадение, поскольку эти две функции представляют одно и то же отношение предпочтений - каждая из них является увеличивающимся монотонным преобразованием другой.

Как правило, MRS может отличаться в разных точках $(x 0, y 0) {\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_ {0}, y_ {0 })$ . Например, возможно, что в $(9, 1) {\ displaystyle (9,1)}$ $(9,1)$ MRS низкий, потому что у человека много x и только один y, но при $(9, 9) {\ displaystyle (9,9)}$ $(9,9)$ или $(1, 1) {\ displaystyle (1,1)}$ $(1,1)$ MRS - это выше. Некоторые особые случаи описаны ниже.

Линейность

Когда MRS определенного отношения предпочтения не зависит от пакета, т. Е. MRS одинаков для всех $(x 0, y 0) {\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_ {0}, y_ {0 })$ , кривые безразличия являются линейными и имеют форму:

x + λ y = const, {\ displaystyle x + \ lambda y = {\ text {const}},}

{\ Displaystyle х + \ лямбда y = {\ text {const}},}

и отношение предпочтения может быть представлено линейной функцией:

v (x, y) = x + λ y. {\ displaystyle v (x, y) = x + \ lambda y.}

{\ displaystyle v (x, y) = x + \ lambda y.}

(Конечно, то же отношение может быть представлено многими другими нелинейными функциями, такими как $x + λ y {\ displaystyle { \ sqrt {x + \ lambda y}}}$ $\ sqrt {x + \ lambda y}$ или $(x + λ y) 2 {\ displaystyle (x + \ lambda y) ^ {2}}$ $(x + \ lambda y) ^ 2$ , но линейная функция является наиболее простой.)

Квазилинейность

Когда MRS зависит от $y 0 {\ displaystyle y_ {0}}$ $y_ {0}$ , но не от $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_{0}$ отношение предпочтений может быть представлено квазилинейной функцией полезности в форме

v (x, y) = x + γ v Y (y) {\ displaystyle v (x, y) = x + \ gamma v_ {Y} (y)}

{\ displaystyle v (x, y) = x + \ gamma v_ {Y} (y)}

где $v Y {\ displaystyle v_ {Y}}$ $v_Y$ - некоторая монотонно возрастающая функция. Поскольку MRS является функцией $λ (y) {\ displaystyle \ lambda (y)}$ $\ лямбда (y)$ , возможная функция $v Y {\ displaystyle v_ {Y}}$ $v_Y$ можно вычислить как интеграл от $λ (y) {\ displaystyle \ lambda (y)}$ $\ лямбда (y)$ :

v Y (y) = ∫ 0 y λ (y ′) dy ′ {\ displaystyle v_ {Y} (y) = \ int _ {0} ^ {y} {\ lambda (y ') dy'}}

v_Y(y)=\int_{0}^{y}{\lambda(y') dy'}

В этом случае все кривые безразличия параллельны - они являются горизонтальными переходами друг друга.

Аддитивность с двумя товарами

Более общий тип функции полезности - это аддитивная функция :

v (x, y) = v X (x) + v Y (y) {\ displaystyle v (x, y) = v_ {X} (x) + v_ {Y} (y)}

v (x, y) = v_X (x) + v_Y (y)

Есть несколько способов проверить, можно ли представить данные предпочтения с помощью аддитивной функции полезности.

Свойство двойной отмены

Если предпочтения являются аддитивными, то простой арифметический расчет показывает, что

(x 1, y 1) ⪰ (x 2, y 2) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}) \ successq (x_ {2}, y_ {2})}

(x_1, y_1) \ successq (x_2, y_2)

(x 2, y 3) ⪰ (x 3, y 1) {\ displaystyle (x_ {2}, y_ {3}) \ successq (x_ {3}, y_ {1})}

(x_2, y_3) \ successq (x_3, y_1)

подразумевает

(x 1, y 3) ⪰ (x 3, y 2) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {3}) \ successq (x_ {3}, y_ {2})}

(x_1, y_3) \ successq (x_3, y_2)

, поэтому это свойство "двойного отмены" является необходимым условием аддитивности.

Дебре (1960) показал, что этого свойства также достаточно: т. Е. Если отношение предпочтения удовлетворяет свойству двойного сокращения, оно может быть представлено дополнительной функцией полезности.

Соответствующее свойство компромиссов

Если предпочтения представлены аддитивной функцией, то простой арифметический расчет показывает, что

MRS (x 2, y 2) = MRS (x 1, y 2) ⋅ MRS (x 2, y 1) MRS (x 1, y 1) {\ displaystyle MRS (x_ {2}, y_ {2}) = {\ frac {MRS (x_ {1}, y_ {2}) \ cdot MRS (x_ {2}, y_ {1})} {MRS (x_ {1}, y_ {1})}}}

MRS (x_2, y_2) = \ frac {MRS (x_1, y_2) \ cdot MRS (x_2, y_1)} {MRS (x_1, y_1)}

так что это свойство «соответствующих компромиссов» является необходимым условием для аддитивности. Этого условия также достаточно.

Аддитивность с тремя или более товарами

Когда есть три или более товаров, условие аддитивности функции полезности на удивление проще, чем для двух товаров. Это результат теоремы 3 Дебре (1960). Условием, необходимым для аддитивности, является преимущественная независимость .

Подмножество товаров A называется предпочтительно независимым от подмножества товаров B, если отношение предпочтения в подмножестве A при постоянных значениях для подмножества B не зависит от эти постоянные значения. Например, предположим, что есть три товара: x y и z. Подмножество {x, y} предпочтительно не зависит от подмножества {z}, если для всех $xi, yi, z, z ′ {\ displaystyle x_ {i}, y_ {i}, z, z '}$ $x_i,y_i,z,z'$ :

(Икс 1, Y 1, Z) ⪯ (Икс 2, Y 2, Z) ⟺ (Икс 1, Y 1, Z ') ⪯ (Икс 2, Y 2, Z') {\ Displaystyle (x_ { 1}, y_ {1}, z) \ prevq (x_ {2}, y_ {2}, z) \ iff (x_ {1}, y_ {1}, z ') \ prevq (x_ {2}, y_ {2}, z ')}

(x_1,y_1, z)\preceq (x_2,y_2, z) \iff (x_1,y_1, z')\preceq (x_2,y_2, z')

В этом случае мы можем просто сказать, что:

(x 1, y 1) ⪯ (x 2, y 2) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ { 1}) \ prevq (x_ {2}, y_ {2})}

(x_1, y_1) \ prevq (x_2, y_2)

для константы z.

Преимущественная независимость имеет смысл в случае независимых товаров. Например, предпочтения между связками яблок и бананов, вероятно, не зависят от количества обуви и носков, которые есть у агента, и наоборот.

Согласно теореме Дебре, если все подмножества товаров предпочтительно независимы от своих дополнений, то отношение предпочтений может быть представлено аддитивной функцией ценности. Здесь мы предлагаем интуитивно понятное объяснение этого результата, показывая, как можно построить такую аддитивную функцию ценности. Доказательство предполагает три предмета: x, y, z. Мы покажем, как определить три точки для каждой из трех функций значений $vx, vy, vz {\ displaystyle v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}}$ $v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}$ : точка 0, 1 балл и 2 балла. Другие точки могут быть рассчитаны аналогичным образом, а затем можно использовать непрерывность, чтобы сделать вывод о том, что функции четко определены во всем диапазоне.

0 баллов : выберите произвольно $x 0, y 0, z 0 {\ displaystyle x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}}$ $x_0, y_0, z_0$ и назначьте их как нуль функции значения, то есть:

vx (x 0) = vy (y 0) = vz (z 0) = 0 {\ displaystyle v_ {x} (x_ {0}) = v_ {y} ( y_ {0}) = v_ {z} (z_ {0}) = 0}

v_x (x_0) = v_y (y_0) = v_z (z_0) = 0

1 балл : выберите произвольно $x 1>x 0 {\ displaystyle x_ {1}>x_ {0} }$ $x_{1}>x_ {0}$ такой, что $(x 1, y 0, z 0) ≻ (x 0, y 0, z 0) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {0}, z_ {0}) \ succ ( x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ $(x_1, y_0, z_0) \ succ (x_0, y_0, z_0)$ . Установите его в качестве единицы значения, например:

vx (x 1) = 1 {\ displaystyle v_ {x} (x_ {1}) = 1}

v_x (x_1) = 1

Выберите $y 1 {\ displaystyle y_ {1}}$ $y_ {1}$ и $z 1 {\ displaystyle z_ {1}}$ $z_ {1}$ такие, что выполняются следующие отношения безразличия:

(x 1, y 0, z 0) ∼ (x 0, y 1, z 0) ∼ (x 0, y 0, z 1) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {0}, z_ {0}) \ sim (x_ {0}, y_ {1}, z_ {0}) \ si m (x_ {0}, y_ {0}, z_ {1})}

(x_1, y_0, z_0) \ sim (x_0, y_1, z_0) \ sim (x_0, y_0, z_1)

Это безразличие служит для масштабирования единиц y и z, чтобы они соответствовали единицам x. Значение в этих трех точках должно быть 1, поэтому мы присваиваем

vy (y 1) = vz (z 1) = 1 {\ displaystyle v_ {y} (y_ {1}) = v_ {z} (z_ { 1}) = 1}

v_y (y_1) = v_z (z_1) = 1

2 балла : теперь мы используем предположение о преимущественной независимости. Связь между $(x 1, y 0) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {0})}$ $(x_1,y_0)$ и $(x 0, y 1) {\ displaystyle (x_ {0}, y_ {1})}$ $(x_0,y_1)$ не зависит от z, и аналогичным образом отношение между $(y 1, z 0) {\ displaystyle (y_ {1}, z_ {0}) }$ $(y_1,z_0)$ и $(y 0, z 1) {\ displaystyle (y_ {0}, z_ {1})}$ $(y_0, z_1)$ не зависит от x и отношения между $(Z 1, Икс 0) {\ Displaystyle (z_ {1}, x_ {0})}$ $(z_1, x_0)$ и $(z 0, x 1) {\ displaystyle (z_ {0}, x_ { 1})}$ $(z_0, x_1)$ не зависит от y. Следовательно,

(x 1, y 0, z 1) ∼ (x 0, y 1, z 1) ∼ (x 1, y 1, z 0). {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {0}, z_ {1}) \ sim (x_ {0}, y_ {1}, z_ {1}) \ sim (x_ {1}, y_ {1}, z_ {0}).}

{\ displaystyle (x_ {1}, y_ {0}, z_ {1}) \ sim (x_ {0}, y_ {1}, z_ {1}) \ sim (x_ {1}, y_ {1}, z_ {0}).}

Это полезно, потому что это означает, что функция v может иметь одинаковое значение - 2 - в этих трех точках. Выберите $x 2, y 2, z 2 {\ displaystyle x_ {2}, y_ {2}, z_ {2}}$ $x_2, y_2, z_2$ так, чтобы

(x 2, y 0, z 0) ∼ (Икс 0, Y 2, Z 0) ∼ (Икс 0, Y 0, Z 2) ∼ (Икс 1, Y 1, Z 0) {\ Displaystyle (x_ {2}, y_ {0}, z_ { 0}) \ sim (x_ {0}, y_ {2}, z_ {0}) \ sim (x_ {0}, y_ {0}, z_ {2}) \ sim (x_ {1}, y_ {1 }, z_ {0})}

(x_2, y_0, z_0) \ sim (x_0, y_2, z_0) \ sim (x_0, y_0, z_2) \ sim (x_1, y_1, z_0)

и присваиваем

vx (x 2) = vx (y 2) = vx (z 2) = 2. {\ displaystyle v_ {x} (x_ {2}) = v_ {x} (y_ {2}) = v_ {x} (z_ {2}) = 2.}

{\ displaysty le v_ {x} (x_ {2}) = v_ {x} (y_ {2}) = v_ {x} (z_ {2}) = 2.}

3 балла : чтобы показать, что наши назначения пока согласованы, мы должны показать, что все точки которые получают в сумме 3 балла безразличия. Здесь снова используется предположение о преимущественной независимости, поскольку связь между $(x 2, y 0) {\ displaystyle (x_ {2}, y_ {0})}$ $(x_2, y_0)$ и $(x 1, y 1) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ $(x_ {1}, y_ {1})$ не зависит от z (и аналогично для других пар); следовательно

(Икс 2, Y 0, Z 1) ∼ (Икс 1, Y 1, Z 1) {\ Displaystyle (x_ {2}, y_ {0}, z_ {1}) \ sim (x_ {1 }, y_ {1}, z_ {1})}

(x_2, y_0, z_1) \ sim (x_1, y_1, z_1)

и аналогично для других пар. Следовательно, 3-я точка определяется последовательно.

Мы можем продолжить это по индукции и определить функции для каждого товара во всех целых точках, а затем использовать непрерывность, чтобы определить ее во всех реальных точках.

Неявное предположение в пункте 1 приведенного выше доказательства состоит в том, что все три товара являются существенными или важными для предпочтений. Это означает, что существует такой набор, что при увеличении количества определенного товара новый набор будет строго лучше.

Для более чем 3 товаров доказательство аналогично. Фактически, нам не нужно проверять, что все подмножества точек предпочтительно независимы; достаточно проверить линейное количество пар товаров. Например, если есть $m {\ displaystyle m}$ $m$ разных товаров, $j = 1,..., m {\ displaystyle j = 1,..., m}$ $j = 1,..., m$ , тогда достаточно проверить, что для всех $j = 1,..., m - 1 {\ displaystyle j = 1,..., m-1}$ $j = 1,..., m-1$ , два товара ${xj, xj + 1} {\ displaystyle \ {x_ {j}, x_ {j + 1} \}}$ $\ {x_j, x_ {j + 1} \}$ предпочтительно независимы от других $m - 2 {\ displaystyle m-2}$ $m-2$ товаров.

Уникальность добавления представление

Аддитивное отношение предпочтения может быть представлено множеством различных аддитивных функций полезности. Однако все эти функции похожи: они не только увеличивают монотонное преобразование друг друга (, как и все функции полезности, представляющие одно и то же отношение); они увеличивают линейные преобразования друг друга. Короче говоря,

Аддитивная порядковая функция полезности уникальна вплоть до возрастающего линейного преобразования.

Сравнение порядковых и кардинальных функций полезности

В следующей таблице сравниваются два типа функций полезности, распространенных в экономике:

	Уровень измерения	Представляет предпочтения on	Уникальный до	Существование подтверждается	В основном используется в
Порядковая полезность	Порядковая шкала	Несомненные результаты	Увеличение монотонного преобразования	Дебре (1954)	Теория потребления в условиях уверенности
Кардинальная полезность	Интервальная шкала	Случайные исходы (лотереи)	Увеличивающееся монотонное линейное преобразование	Фон Нейман-Моргенштерн (1947)	Теория игр, выбор в условиях неопределенности

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки