Войти
Простой пример двух кардинальных функций полезности u (первый столбец) и v (второй столбец), значения которых во всех обстоятельствах связаны соотношением v = 2u + 3 В экономике функция или масштаб кардинальной полезности - это индекс полезности, который сохраняет предпочтения однозначно до положительного аффинные преобразования. Два индекса полезности связаны аффинным преобразованием, если для значения 
,для фиксированные константы a и b. Таким образом, сами функции полезности связаны соотношением
Эти два индекса различаются только масштабом и происхождением. Таким образом, если одно из них вогнутое, то и другое будет таким же, и в этом случае часто говорят, что имеет место убывающая предельная полезность.
Таким образом, использование кардинальной полезности налагает допущение, что уровни абсолютного удовлетворения существуют, так что величины увеличение удовлетворенности можно сравнить в разных ситуациях.
В теории потребительского выбора предпочтительнее порядковая полезность с его более слабыми допущениями, поскольку можно получить столь же сильные результаты.
Первым, кто высказал теорию о предельной стоимости денег, был Даниэль Бернулли в 1738 году. Он предположил, что стоимость дополнительной суммы обратно пропорциональна материальному имуществу, которое человек уже владеет. Поскольку Бернулли молчаливо предполагал, что межличностная мера для реакции полезности разных людей может быть обнаружена, он тогда непреднамеренно использовал раннюю концепцию мощности.
воображаемую логарифмическую функцию полезности Бернулли и В то время функция U = W была задумана не для теории спроса, а для решения St. Петербургская игра. Бернулли предположил, что «бедный человек обычно получает больше пользы, чем богатый от равной выгоды», подход, который более глубок, чем простое математическое ожидание денег, поскольку он включает в себя закон морального ожидания.
Ранние теоретики полезности считали, что у нее есть физически измеримые атрибуты. Они думали, что полезность ведет себя как величина расстояния или времени, когда простое использование линейки или секундомера дает различимую меру. «Утилиты» - это фактически название, данное единицам шкалы коммунальных услуг.
В викторианскую эпоху многие аспекты жизни поддавались количественной оценке. Теория полезности вскоре стала применяться к морально-философским дискуссиям. Основная идея в утилитаризме состоит в том, чтобы судить о решениях людей, глядя на их изменения в потребностях, и измерять, стали ли они лучше. Основным предшественником утилитарных принципов с конца 18 века был Джереми Бентам, который считал, что полезность может быть измерена с помощью сложного интроспективного исследования и что она должна служить ориентиром при разработке социальной политики и законов. Для Бентама шкала удовольствия имеет в качестве единицы интенсивности «степень интенсивности, которой обладает это удовольствие, которое является самым слабым из всех, которые можно определить как удовольствие»; он также заявил, что по мере того, как интенсивность этих удовольствий возрастает, их могут представлять все более высокие числа. В XVIII и XIX веках измеримость полезности привлекала большое внимание европейских школ политической экономии, в первую очередь благодаря работам маржиналистов (например, Уильям Стэнли Джевонс, Леон Вальрас, Альфред Маршалл ). Однако ни один из них не представил веских аргументов в поддержку предположения об измеримости. В случае Джевона он добавил к более поздним изданиям своей работы примечание о сложности точной оценки полезности. Вальрас тоже много лет боролся, прежде чем смог даже попытаться формализовать предположение об измеримости. Маршалл неоднозначно относился к измеримости гедонизма, потому что он придерживался его психолого-гедонистических свойств, но он также утверждал, что это было «нереалистично».
Сторонники теории кардинальной полезности в 19 веке предположили, что рыночные цены отражают полезность, хотя они мало говорят об их совместимости (т. е. цены объективны, а полезность субъективна). Точно измерить субъективное удовольствие (или боль ) казалось неудобным, о чем думали тогдашние мыслители. Они переименовали полезность творческими способами, такими как субъективное богатство, общее счастье, моральная ценность, психическое удовлетворение или ophélimité. Во второй половине XIX века было проведено множество исследований, связанных с этой вымышленной величиной - полезностью, но вывод всегда был один: оказалось невозможным однозначно сказать, стоит ли товар 50, 75 или 125 утилит для человека., или двум разным людям. Более того, простая зависимость полезности от понятий гедонизма заставила академические круги скептически отнестись к этой теории.
Фрэнсис Эджворт также осознавал необходимость обоснования теории полезности в реальных условиях. Мир. Он обсудил количественные оценки, которые человек может сделать для своего собственного удовольствия или удовольствия других, заимствуя методы, разработанные в психологии для изучения гедонистических измерений: психофизика. Эта область психологии была основана на работе Эрнста Х. Вебера, но примерно во время Первой мировой войны психологи перестали это делать.
В конце 19 века Карл Менгер и его последователи из австрийской экономической школы предприняли первый успешный отход от измеримой полезности в умной форме теории ранжированного использования. Несмотря на отказ от мысли о поддающейся количественной оценке полезности (т.е.психологическом удовлетворении, отображаемом в наборе реальных чисел) Менгер сумел обосновать совокупность гипотез о принятии решений, опираясь исключительно на несколько аксиом ранжированных предпочтений в отношении возможного использования товаров и услуг. Его числовые примеры «иллюстрируют порядковые, а не кардинальные отношения».
Примерно на рубеже XIX века неоклассические экономисты начали использовать альтернативные способы решения проблемы измеримости. К 1900 году Парето не решался точно измерить удовольствие или боль, потому что считал, что такая субъективная величина, о которой сообщается самим собой, не имеет научной обоснованности. Он хотел найти альтернативный способ лечения полезности, который не основывался бы на беспорядочном восприятии чувств. Главный вклад Парето в порядковую полезность состоял в предположении, что более высокие кривые безразличия имеют большую полезность, но насколько больше не нужно указывать, чтобы получить результат увеличения предельных норм замещения.
Работы и руководства Вильфредо Парето, Фрэнсиса Эджворта, Ирвинга Фишера и Юджина Слуцкого отошли от кардинальной полезности и послужили опорой для других, чтобы продолжить эту тенденцию. обыденность. По словам Винера, эти экономические мыслители выступили с теорией, объясняющей отрицательный наклон кривых спроса. Их метод избегал измеримости полезности путем построения некоторой абстрактной карты кривой безразличия.
В течение первых трех десятилетий 20-го века экономисты из Италии и России познакомились с паретианской идеей о том, что полезность не обязательно должна быть кардинальной. Согласно Шульцу, к 1931 году идея порядковой полезности еще не была воспринята американскими экономистами. Прорыв произошел, когда в 1934 году Джон Хикс и Рой Аллен объединили теорию порядковой полезности. Фактически, страницы 54–55 этой статьи содержат первое использование термина «кардинальная полезность». Однако первая трактовка класса функций полезности, сохраняемых аффинными преобразованиями, была сделана в 1934 году Оскаром Ланге.
В 1944 году Фрэнк Найт активно выступал за кардинальную полезность. В десятилетие 1960 года Пардуччи изучил человеческие суждения о величинах и предложил теорию частотного диапазона. С конца 20 века у экономистов возобновился интерес к вопросам измерения счастья. В этой области разрабатываются методы, опросы и индексы для измерения счастья.
Некоторые свойства кардинальных функций полезности могут быть получены с использованием инструментов из теории мер и теории множеств.
Функция полезности считается измеримой, если сила предпочтения или интенсивность симпатии к товару или услуге определяется с точностью с помощью некоторых объективных критериев. Например, предположим, что употребление яблока доставляет человеку ровно половину удовольствия от еды апельсина. Это было бы измеримой полезностью, если и только если бы тест, используемый для его прямого измерения, был основан на объективном критерии, который мог бы позволить любому внешнему наблюдателю точно повторить результаты. Одним из гипотетических способов добиться этого могло бы быть использование гедонометра, который был предложен Эджвортом для измерения уровня удовольствия, испытываемого людьми, расходящегося по закону ошибок.
До 1930-х годов экономисты ошибочно называли измеримость функций полезности кардинальностью. Другое значение мощности использовалось экономистами, которые следовали формулировке Хикса-Аллена. При таком использовании мощность функции полезности - это просто математическое свойство уникальности с точностью до линейного преобразования. Примерно в конце 1940-х годов некоторые экономисты даже поспешили заявить, что аксиоматизация фон Неймана-Моргенштерна ожидаемой полезности воскресила измеримость.
Путаница между мощностью и измеримостью не могла быть разрешена до тех пор, пока не появились работы Армена Алчиана, Уильям Баумоль и Джон Чипман. Название статьи Баумоля «Кардинальная полезность, которая является порядковой» хорошо отражало семантическую путаницу литературы того времени.
Полезно рассмотреть ту же проблему, которая возникает при построении шкал измерения в естественных науках. В случае температуры есть две степени свободы для ее измерения - выбор единицы и ноль. Различные температурные шкалы по-разному отображают его интенсивность. На шкале шкалы Цельсия ноль выбирается как точка, где вода замерзает, и аналогично, в теории кардинальной полезности можно было бы подумать, что выбор нуля будет соответствовать товару или услуге, которые приносят точно 0 утилит. Однако это не обязательно так. Математический индекс остается кардинальным, даже если ноль произвольно перемещается в другую точку, или если изменяется выбор шкалы, или если изменяются и шкала, и ноль. Каждая измеримая сущность отображается в кардинальную функцию, но не каждая кардинальная функция является результатом сопоставления измеримой сущности. Суть этого примера использовалась, чтобы доказать, что (как и в случае с температурой) все еще можно предсказать что-то о комбинации двух значений некоторой функции полезности, даже если утилиты преобразуются в совершенно разные числа, пока она остается линейное преобразование.
Фон Нейман и Моргенштерн заявили, что вопрос об измеримости физических величин является динамичным. Например, температура изначально была числом только до любого монотонного преобразования, но развитие термометрии идеального газа привело к преобразованиям, в которых отсутствовали абсолютный ноль и абсолютная единица. Последующие разработки термодинамики даже зафиксировали абсолютный ноль, так что система преобразования в термодинамике состоит только из умножения на константы. Согласно фон Нейману и Моргенштерну (1944, стр. 23) «С точки зрения полезности ситуация кажется аналогичной [с температурой]».
Следующая цитата Алчиана послужила раз и навсегда прояснением реальной природы функций полезности, подчеркнув, что они больше не должны быть измеримыми:
Можно ли присвоить набор чисел (мер) параметрам различные объекты и прогнозировать, что будет выбран объект с наибольшим присвоенным номером (мерой)? Если так, мы могли бы окрестить эту меру «полезностью» и затем утверждать, что выбор делается таким образом, чтобы максимизировать полезность. Это простой шаг к утверждению, что «вы максимизируете свою полезность», которое говорит не более чем о том, что ваш выбор предсказуем в зависимости от размера некоторых присвоенных чисел. Для аналитического удобства принято постулировать, что индивид стремится максимизировать что-то с некоторыми ограничениями. Вещь - или числовая мера «вещи», которую он стремится максимизировать, называется «полезностью». Здесь не имеет значения, является ли полезность каким-то сиянием, теплом или счастьем; все, что имеет значение, - это то, что мы можем присвоить номера сущностям или условиям, которые человек может стремиться реализовать. Затем мы говорим, что человек стремится максимизировать некоторую функцию этих чисел. К сожалению, термин «полезность» к настоящему времени приобрел так много коннотаций, что трудно понять, что для настоящих целей полезность не имеет большего значения, чем это.
— Армен Алчян, Значение измерения полезностиВ 1955 году Патрик Суппес и Мюриэль Винет решили проблему представимости предпочтений с помощью функции кардинальной полезности и получили набор аксиом и примитивных характеристик, необходимых для этого индекса полезности.
Предположим, агента просят оценить его предпочтения в отношении A относительно B и его предпочтения в отношении B по сравнению с C. Если он обнаружит, что может заявить, например, что его степень предпочтения A для B превышает степень его предпочтения от B до C, мы могли бы суммировать эту информацию с помощью любой тройки чисел, удовлетворяющих двум неравенствам: U A>UB>UCи U A - U B>UB- U C.
Если бы A и B были денежными суммами, агент мог бы варьировать сумму денег, представленную B, до тех пор, пока он не сказал бы нам, что он fou и степень его предпочтения A перед пересмотренным количеством B 'равна степени его предпочтения B' над C. Если он найдет такое B ', то результаты этой последней операции будут выражены любой тройкой чисел, удовлетворяющих отношения: (a) U A>UB'>UCи (b) U A - U B '= U B' - U C. Любые две тройки, подчиняющиеся этим отношениям, должны быть связаны линейным преобразованием; они представляют собой индексы полезности, различающиеся только масштабом и происхождением. В этом случае «мощность» означает больше ничего неспособного дать последовательные ответы на эти конкретные вопросы. Обратите внимание, что этот эксперимент не требует измеримости полезности. Ицхак Гильбоа дает здравое объяснение того, почему измеримость никогда не может быть достигнута исключительно с помощью самоанализа :
Возможно, с вами случилось, что вы несете стопку бумаг или одежды, но не обратите внимание, что вы уронили несколько. Уменьшение общего веса, которое вы несете, вероятно, было недостаточно большим, чтобы вы заметили. Два объекта могут находиться слишком близко по весу, чтобы мы могли заметить разницу между ними. Эта проблема присуща восприятию всеми нашими органами чувств. Если я спрошу, имеют ли два стержня одинаковой длины или нет, есть различия, которые вы не заметите. То же самое относится и к вашему восприятию звука (громкости, высоты тона), света, температуры и так далее...
— Ицхак Гильбоа, Теория принятия решений в условиях неопределенностиСогласно этой точке зрения, те ситуации, когда человек просто Невозможность отличить А от В приведет к безразличию не из-за постоянства предпочтений, а из-за неправильного восприятия чувств. Более того, человеческие чувства адаптируются к заданному уровню стимуляции, а затем регистрируют изменения по сравнению с этим исходным уровнем.
Предположим, у определенного агента есть предпочтение по сравнению со случайными результатами (лотереями). Если можно спросить агента о его предпочтениях, можно построить кардинальную функцию полезности, которая представляет эти предпочтения. В этом суть теоремы фон Неймана-Моргенштерна.
Среди экономистов благосостояния утилитаристской школы общая тенденция получать удовлетворение ( в некоторых случаях удовольствие) как единица благосостояния. Если функция экономики благосостояния заключается в предоставлении данных, которые будут служить социальному философу или государственному деятелю при вынесении суждений о благосостоянии, эта тенденция, возможно, ведет к гедонистической этике.
В этой структуре действия (включая производство) товаров и предоставления услуг) оцениваются по их вкладу в субъективное богатство людей. Другими словами, это позволяет судить о «величайшем благе наибольшему количеству людей». Действие, которое уменьшает полезность одного человека на 75 утилит, в то время как увеличивает полезность двух других на 50 утилит каждая, увеличивает общую полезность на 25 утилит и, таким образом, является положительным вкладом; один, который стоит 125 утилит первому человеку, в то время как отдача таких же 50 каждому двум другим людям привела к чистым потерям в 25 утилит.
Если класс функций полезности является кардинальным, разрешены внутриличностные сравнения различий в полезности. Если, кроме того, некоторые сравнения полезности значимы в межличностном плане, линейные преобразования, используемые для создания класса функций полезности, должны быть ограничены для разных людей. Примером может служить сопоставимость кардинальных единиц. В этой информационной среде допустимые преобразования - это увеличивающие аффинные функции, и, кроме того, коэффициент масштабирования должен быть одинаковым для всех. Это информационное допущение позволяет проводить межличностные сравнения различий в полезности, но уровни полезности нельзя сравнивать на межличностном уровне, потому что пересечение аффинных преобразований может различаться у разных людей.
Этот тип индексов предполагает выбор в условиях риска. В этом случае A, B и C - это лотереи, связанные с результатами. В отличие от теории кардинальной полезности в условиях определенности, в которой возможность перехода от предпочтений к количественной полезности была почти тривиальной, здесь первостепенное значение имеет возможность сопоставить предпочтения набору действительных чисел, чтобы можно было выполнить операцию математического ожидания. Как только отображение будет выполнено, введение дополнительных предположений приведет к последовательному поведению людей в отношении справедливых ставок. Но справедливые ставки, по определению, являются результатом сравнения игры с нулевым ожидаемым значением с какой-либо другой игрой. Хотя невозможно смоделировать отношение к риску, если не дать количественной оценки полезности, теорию не следует интерпретировать как измерение силы предпочтений при определенности.
Предположим, что определенные результаты связаны с тремя состояниями природы, так что x 3 предпочтительнее, чем x 2, который, в свою очередь, предпочтительнее, чем x 1 ; этот набор исходов X можно считать рассчитываемым денежным призом в управляемой азартной игре, уникальным с точностью до одного положительного коэффициента пропорциональности в зависимости от денежной единицы.
Пусть L 1 и L 2 - две лотереи с вероятностями p 1, p 2 и p 3 из x 1, x 2 и x 3 соответственно, равные
Предположим, что кто-то имеет следующую структуру предпочтений в условиях риска:
означает, что L 1 предпочтительнее L 2. Изменяя значения p 1 и p 3 в L 1, в конечном итоге будут некоторые подходящие значения (L 1 ') для которого она оказывается безразличной между ним и L 2 - например,
Теория ожидаемой полезности говорит нам, что
и поэтому
В этом примере от Маджумдара фиксируется нулевое значение индекса полезности, так что полезность x 1 равна 0, и если выбрать шкалу так, чтобы полезность x 2 была равна 1, получаем
Модели полезности с несколькими периодами, в которых люди дисконтируют будущие значения полезности, должны использовать кардинализм, чтобы иметь правильные функции полезности. По словам Пола Самуэльсона, максимизация дисконтированной суммы будущих полезностей подразумевает, что человек может ранжировать различия в полезности.
Некоторые авторы комментировали вводящий в заблуждение характер термина «кардинальная полезность» и «порядковая полезность», как используется на экономическом жаргоне:
Эти термины, которые, кажется, были введены Хиксом и Алленом (1934), имеют скудное, если вообще какое-либо отношение, к математической концепции порядковых и кардинальных чисел; скорее это эвфемизмы для понятий гомоморфизма порядка к действительным числам и гомоморфизма группы к действительным числам.
— Джон Чипман, Основы полезностиОстались экономисты, которые верят в эту полезность, если ее нельзя измерить, по крайней мере, могут быть в некоторой степени аппроксимированы, чтобы обеспечить некоторую форму измерения, подобно тому, как цены, которые не имеют единой единицы для определения фактического уровня цен, могут все же индексироваться для получения «уровня инфляции» (который на самом деле является уровнем изменения в ценах взвешенных индексированных продуктов). Эти меры не идеальны, но могут действовать как прокси для коммунального предприятия. Подход Ланкастера к потребительскому спросу иллюстрирует это.
В следующей таблице сравниваются два типа функций полезности, распространенных в экономике:
| Уровень измерения | Представляет предпочтения on | Уникальность до | Существование доказано | В основном используется в | |
|---|---|---|---|---|---|
| Порядковая полезность | Порядковая шкала | Несомненные результаты | Возрастающий монотонный трансформация | Дебре (1954) | Теория потребления в условиях уверенности |
| Кардинальная полезность | Интервальная шкала | Случайные исходы (лотереи) | Растущая монотонность линейное преобразование | Фон Нейман-Моргенштерн (1947) | Теория игр, выбор в условиях неопределенности |
