Утилита с несколькими атрибутами

В теории принятия решений функция полезности с несколькими атрибутами используется для представления предпочтений агента по отношению к пакетам товаров либо в условиях уверенности в результатах любого потенциального выбора, либо в условиях неопределенности.

• 1 Предварительные мероприятия
• 2 Оценка функции кардинальной полезности с несколькими атрибутами
• 3 Аддитивная независимость
• 4 Коммунальная независимость
• 5 Сравнение концепций независимости
• 6 См. Также
• 7 ссылки

Человеку приходится выбирать между двумя или более вариантами. Решение основывается на атрибутах вариантов.

Самый простой случай - это когда есть только один атрибут, например: деньги. Обычно предполагается, что все люди предпочитают больше денег меньшим деньгам; следовательно, проблема в этом случае тривиальна: выберите вариант, который принесет вам больше денег.

На самом деле атрибутов два и более. Например, человек должен выбрать между двумя вариантами трудоустройства: вариант А дает ему 12 тысяч долларов в месяц и 20 дней отпуска, а вариант Б дает ему 15 тысяч долларов в месяц и только 10 дней отпуска. Человек должен выбрать между (12К, 20) и (15К, 10). У разных людей могут быть разные предпочтения. При определенных условиях предпочтения человека могут быть представлены числовой функцией. В статье о порядковой полезности описаны некоторые свойства таких функций и способы их вычисления.

Еще одно соображение, которое может усложнить решение проблемы, - это неопределенность. Хотя существует по крайней мере четыре источника неопределенности - результаты атрибутов и нечеткость лица, принимающего решения, относительно: а) конкретных форм функций полезности отдельных атрибутов, б) значений агрегированных констант и в) аддитивности ли функции полезности атрибутов., эти термины рассматриваются в настоящее время - неопределенность отныне означает только случайность в уровнях атрибутов. Эта сложность неопределенности существует даже при наличии единственного атрибута, например, денег. Например, вариант A может быть лотереей с 50% шансом выиграть 2 доллара, а вариант B - точно выиграть 1 доллар. Человеку предстоит сделать выбор между лотереей lt;2: 0,5gt; и лотереей lt;1: 1gt;. Опять же, у разных людей могут быть разные предпочтения. Опять же, при определенных условиях предпочтения могут быть представлены числовой функцией. Такие функции называются кардинальными функциями полезности. В статье « Теорема полезности фон Неймана – Моргенштерна» описаны некоторые способы их вычисления.

Самая общая ситуация состоит в том, что существует как множество атрибутов, так и неопределенность. Например, вариант A может быть лотереей с 50% шансом выиграть два яблока и два банана, а вариант B - обязательно выиграть два банана. Решение находится между lt;(2,2):( 0.5,0.5)gt; и lt;(2,0):( 1,0)gt;. Предпочтения здесь могут быть представлены кардинальными функциями полезности, которые принимают несколько переменных (атрибутов). Таким функциям и посвящена данная статья.

Цель состоит в том, чтобы вычислить функцию полезности, которая представляет предпочтения человека в лотереях пакетов. То есть лотерея A предпочтительнее лотереи B тогда и только тогда, когда ожидание функции выше при A, чем при B: ${\ displaystyle u (x_ {1},..., x_ {n})}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle E_ {A} [u (x_ {1},..., x_ {n})]gt; E_ {B} [u (x_ {1},..., x_ {n})]}$

Если количество возможных пакетов конечно, u можно построить напрямую, как объяснили фон Нейман и Моргенштерн (VNM): упорядочить пакеты от наименее предпочтительных к наиболее предпочтительным, назначить полезность 0 первому и полезность 1 второму и назначить для каждого промежуточного пакета полезность, равная вероятности эквивалентной лотереи.

Если число пучков бесконечно, один вариант, чтобы начать, игнорируя хаотичность, и оценить в порядковой полезности функции, которая представляет утилиту человека на уверенных пучках. То есть, связка x предпочтительнее, чем связка y, тогда и только тогда, когда функция для x выше, чем для y: ${\ displaystyle v (x_ {1},..., x_ {n})}$${\ displaystyle v}$

${\ Displaystyle v (x_ {1},..., x_ {n})gt; v (y_ {1},..., y_ {n})}$

Эта функция, по сути, преобразует проблему с несколькими атрибутами в проблему с одним атрибутом: атрибут есть. Затем VNM можно использовать для создания функции. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle u}$

Обратите внимание, что u должно быть положительным монотонным преобразованием v. Это означает, что существует монотонно возрастающая функция, такая что: ${\ displaystyle r: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle u (x_ {1},..., x_ {n}) = r (v (x_ {1},..., x_ {n}))}$

Проблема с этим подходом состоит в том, что оценить функцию r непросто. При оценке функции кардинальной полезности с одним атрибутом с помощью VNM мы задаем такие вопросы, как: «Какая вероятность выиграть 2 доллара эквивалентна 1 доллару?». Итак, чтобы оценить функцию r, мы должны задать такой вопрос: «Какая вероятность выиграть 2 единицы стоимости эквивалентна 1 значению?». На последний вопрос ответить гораздо труднее, чем на первый, поскольку он включает в себя «ценность», которая является абстрактной величиной.

Возможное решение - вычислить n одномерных кардинальных функций полезности - по одной для каждого атрибута. Например, предположим, что есть два атрибута: apples () и bananas (), оба имеют диапазон от 0 до 99. Используя VNM, мы можем вычислить следующие одномерные функции полезности: ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

• ${\ displaystyle u (x_ {1}, 0)}$ - кардинальная полезность по яблокам при отсутствии бананов (южная граница домена);
• ${\ displaystyle u (99, x_ {2})}$ - кардинальная полезность бананов, когда яблоки максимальны (восточная граница домена).

Используя линейные преобразования, масштабируйте функции так, чтобы они имели одинаковое значение на (99,0).

Затем для каждого набора найдите эквивалентный набор (набор с тем же v), который имеет форму или форму, и установите его полезность на то же число. ${\ displaystyle (x_ {1} ', x_ {2}')}$${\ displaystyle (x_ {1}, 0)}$${\ displaystyle (99, x_ {2})}$

Часто можно использовать определенные свойства независимости между атрибутами, чтобы упростить построение функции полезности.

Наиболее сильное свойство независимости называется аддитивной независимостью. Два атрибута, 1 и 2, называются аддитивно независимыми, если предпочтение между двумя лотереями (определяемое как совместные распределения вероятностей для двух атрибутов) зависит только от их предельных распределений вероятностей (предельное PD для атрибута 1 и предельное PD для атрибута 2.).

Это означает, например, что следующие две лотереи эквивалентны:

• ${\ displaystyle L}$: Лотерея равных шансов между и ;${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$${\ displaystyle (y_ {1}, y_ {2})}$
• ${\ displaystyle M}$: Лотерея с равными шансами между и.${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {2})}$${\ displaystyle (y_ {1}, x_ {2})}$

В обеих этих лотереях предельное PD по атрибуту 1 составляет 50% для и 50% для. Точно так же предельное значение PD для атрибута 2 составляет 50% для и 50% для. Следовательно, если у агента есть независимые от аддитивов полезности, ему должно быть безразлично эти две лотереи. ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle y_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle y_ {2}}$

Фундаментальный результат в теории полезности состоит в том, что два атрибута не зависят от аддитивности тогда и только тогда, когда их функция полезности с двумя атрибутами является аддитивной и имеет форму:

${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = u_ {1} (x_ {1}) + u_ {2} (x_ {2})}$

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

${\ displaystyle \ longrightarrow}$

Если атрибуты не зависят от аддитивности, то лотереи и, определенные выше, эквивалентны. Это означает, что их ожидаемой полезности является то же самое, то есть:. Умножение на 2 дает: ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E_ {L} [u] = E_ {M} [u]}$

${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) + u (y_ {1}, y_ {2}) = u (x_ {1}, y_ {2}) + u (y_ {1}, x_ {2})}$

Это верно для любого выбора и. Предположим теперь, что и зафиксированы. Произвольно установлено. Напишите: и. Приведенное выше уравнение становится: ${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle y_ {1}}$${\ displaystyle y_ {2}}$${\ displaystyle u (y_ {1}, y_ {2}) = 0}$${\ displaystyle u_ {1} (x_ {1}) = u (x_ {1}, y_ {2})}$${\ displaystyle u_ {2} (x_ {2}) = u (y_ {1}, x_ {2})}$

${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = u_ {1} (x_ {1}) + u_ {2} (x_ {2})}$

${\ displaystyle \ longleftarrow}$

Если функция u аддитивная, то по правилам математического ожидания для каждой лотереи: ${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle E_ {L} [u (x_ {1}, x_ {2})] = E_ {L} [u_ {1} (x_ {1})] + E_ {L} [u_ {2} (x_ {2})]}$

Это выражение зависит только от предельных распределений вероятностей двух атрибутов. ${\ displaystyle L}$

Этот результат обобщается на любое количество атрибутов: если предпочтения по сравнению с лотереями по атрибутам 1,..., n зависят только от их предельного распределения вероятностей, то функция полезности n -атрибутов является аддитивной:

${\ displaystyle u (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {k_ {i} u_ {i} (x_ {i})}}$

где и нормированы на диапазон, а - константы нормировки. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle k_ {i}}$

Большая часть работы по теории аддитивной полезности была проделана Питером К. Фишберном.

Немного более слабое свойство независимости - это независимость от полезности. Атрибут 1 не зависит от полезности атрибута 2, если условные предпочтения в лотереях по атрибуту 1 при постоянном значении атрибута 2 не зависят от этого постоянного значения.

Это означает, например, что предпочтение между лотереей и лотереей одинаково, независимо от значения. ${\ displaystyle lt;(x_ {1}, x_ {2}):( y_ {1}, x_ {2})gt;}$${\ displaystyle lt;(x '_ {1}, x_ {2}):( y' _ {1}, x_ {2})gt;}$${\ displaystyle x_ {2}}$

Обратите внимание, что независимость от полезности (в отличие от аддитивной независимости) не является симметричной: возможно, что атрибут 1 не зависит от полезности от атрибута 2, а не наоборот.

Если атрибут 1 не зависит от полезности атрибута 2, то функция полезности для каждого значения атрибута 2 является линейным преобразованием функции полезности для любого другого значения атрибута 2. Следовательно, это можно записать как:

${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = c_ {1} (x_ {2}) + c_ {2} (x_ {2}) \ cdot u (x_ {1}, x_ {2} ^ {0})}$

when - постоянное значение для атрибута 2. Аналогично, если атрибут 2 не зависит от полезности атрибута 1: ${\ displaystyle x_ {2} ^ {0}}$

${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = d_ {1} (x_ {1}) + d_ {2} (x_ {1}) \ cdot u (x_ {1} ^ {0}, x_ {2})}$

Если атрибуты взаимно независимы от полезности, то функция полезности u имеет следующую полилинейную форму:

${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = u_ {1} (x_ {1}) + u_ {2} (x_ {2}) + k \ cdot u_ {1} (x_ {1}) \ cdot u_ {2} (x_ {2})}$

Где - константа, которая может быть положительной, отрицательной или 0. ${\ displaystyle k}$

• Когда функция u является аддитивной, а атрибуты аддитивно независимыми.${\ displaystyle k = 0}$
• Когда, функция полезности является мультипликативной, поскольку ее можно записать как:${\ Displaystyle к \ neq 0}$

${\ Displaystyle [ку (x_ {1}, x_ {2}) + 1] = [ку_ {1} (x_ {1}) + 1] \ cdot [ку_ {2} (x_ {2}) + 1] }$

где каждый член является линейным преобразованием функции полезности.${\ Displaystyle к \ cdot +1}$

Эти результаты можно обобщить на любое количество атрибутов. Для заданных атрибутов 1,..., n, если какое-либо подмножество атрибутов не зависит от полезности от своего дополнения, то функция полезности n -атрибутов является полилинейной и имеет одну из следующих форм:

• Добавка, или -
• Мультипликативный:

${\ displaystyle 1 + ku (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} {1 + kk_ {i} u_ {i} (x_ {i}) }}$

где:

• Значения и значения приведены к диапазону ;${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle [0,1]}$
• Это константы в ;${\ displaystyle k_ {i}}$${\ displaystyle [0,1]}$
• ${\ displaystyle k}$- константа, которая находится либо в, либо в (обратите внимание, что предел, когда является аддитивной формой).${\ displaystyle (-1,0)}$${\ displaystyle (0, \ infty)}$${\ displaystyle k \ to 0}$

Полезно сравнить три различных концепции, связанных с независимостью атрибутов: независимость от аддитивов (AI), независимость от полезности (UI) и независимость от предпочтений (PI).

И ИИ, и пользовательский интерфейс касаются предпочтений в лотереях и описаны выше. PI касается предпочтений по определенным исходам и объясняется в статье о порядковой полезности.

Их порядок следования следующий:

AI ⇒ UI ⇒ PI

AI является симметричным отношением (если атрибут 1 является AI атрибута 2, тогда атрибут 2 является AI атрибута 1), а UI и PI - нет.

AI подразумевает взаимный интерфейс. Обратное, как правило, неверно; это верно, только если в многолинейной формуле для атрибутов пользовательского интерфейса. Но если, помимо взаимного пользовательского интерфейса, существуют, для которых две лотереи и, определенные выше, эквивалентны - тогда должно быть 0, а это означает, что отношение предпочтения должно быть ИИ. ${\ displaystyle k = 0}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, y_ {1}, y_ {2}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k}$

UI подразумевает PI. Обратное, как правило, неверно. Но если:

• есть как минимум 3 основных атрибута и:
• все пары атрибутов {1, i } являются PI своего дополнения, и:
• атрибут 1 - UI его дополнения,

тогда все атрибуты взаимно UI. Более того, в этом случае существует простая связь между функцией кардинальной полезности, представляющей предпочтения в лотереях, и порядковой функцией полезности, представляющей предпочтения в определенных пакетах. Функция должна иметь одну из следующих форм: ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle u}$

• Добавка: ${\ displaystyle u (x_ {1},..., x_ {n}) = v (x_ {1},..., x_ {n})}$
• Мультипликативный: ${\ displaystyle u (x_ {1},..., x_ {n}) = [exp (R \ cdot v (x_ {1},..., x_ {n})) - 1] / [exp ( R) -1]}$

где. ${\ Displaystyle R \ neq 0}$

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Достаточно доказать, что u имеет постоянное абсолютное неприятие риска по отношению к значению v.

• Предположение PI подразумевает, что функция цены является аддитивной, то есть:${\ Displaystyle п \ geq 3}$

${\ displaystyle v (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ lambda _ {i} v_ {i} (x_ {i})}}$

• Пусть будет два разных значения для атрибута 1. Позвольте быть точным эквивалентом лотереи. Предположение пользовательского интерфейса подразумевает, что для каждой комбинации значений других атрибутов имеет место следующая эквивалентность:${\ displaystyle x_ {1}, z_ {1}}$${\ displaystyle y_ {1}}$${\ displaystyle lt;x_ {1}: z_ {1}gt;}$${\ Displaystyle (ш_ {2}, \ точки, ш_ {п})}$

${\ displaystyle (y_ {1}, w) \ sim lt;(x_ {1}, w):( z_ {1}, w)gt;}$

• Два предыдущих утверждения подразумевают, что для каждого w в пространстве значений выполняется следующая эквивалентность:

${\ displaystyle \ lambda _ {1} v_ {1} (y_ {1}) + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ lambda _ {i} v_ {i} (w_ {i})} \ sim lt;\ lambda _ {1} v_ {1} (x_ {1}) + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ lambda _ {i} v_ {i} (w_ {i})}: \ lambda _ {1} v_ {1} (z_ {1}) + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ lambda _ {i} v_ {i} (w_ {i})}gt;}$

• Это означает, что добавление любого количества к обеим сторонам лотереи (через термин) увеличивает достоверность, эквивалентную лотерее, на такое же количество.${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 2} ^ {п} {\ лямбда _ {я} v_ {я} (ш_ {я})}}$
• Последнее означает постоянное неприятие риска.

• Мультиатрибутный аукцион
• Многоцелевая оптимизация
• ПО для принятия решений