Ньютоновская динамика

В физике Ньютоновская динамика понимается как динамика частицы или малого тела согласно законам движения Ньютона.

• 1 Математические обобщения
• 2 Второй закон Ньютона в многомерном пространстве
• 3 Евклидова структура
• 4 Ограничения и внутренние координаты
• 5 Внутреннее представление вектора скорости
• 6 Вложение и индуцированная риманова метрика
• 7 Кинетическая энергия ограниченной ньютоновской динамической системы
• 8 Ограничивающие силы
• 9 Ньютоновская секунда закон в искривленном пространстве
• 10 Связь с уравнениями Лагранжа
• 11 См. также

Обычно ньютоновская динамика возникает в трехмерном Евклидово пространство, которое является плоским. Однако в математике законы движения Ньютона могут быть обобщены на многомерные и искривленные пространства. Часто термин динамика Ньютона сужается до второго закона Ньютона $ma\; =\; F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; m\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$.

Рассмотрим $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; N\}$частицы с массами $m\; 1,\dots ,\; m\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; m\_\; \{N\}\}$в обычном трехмерном евклидовом пространстве. Пусть $r\; 1,\dots ,\; r\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{N\}\}$будет их радиус-векторы в некоторой инерциальной системе координат. Тогда движение этих частиц подчиняется второму закону Ньютона, примененному к каждой из них

$dridt\; =\; vi,\; dvidt\; =\; F\; i\; (r\; 1,\dots ,\; r\; N,\; v\; 1,\dots ,\; v\; N,\; t)\; mi,\; i\; =\; 1,\dots ,\; N.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\},\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{N\},\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{1\; \},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{N\},\; t)\}\; \{m\_\; \{i\}\}\},\; \backslash \; quad\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; N.\}$

(1)

Три- размерные радиус-векторы $r\; 1,\dots ,\; r\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{N\}\}$может быть встроен в один $n\; =\; 3\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; n\; =\; 3N\}$-мерный радиус-вектор. Точно так же трехмерные векторы скорости $v\; 1,\dots ,\; v\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{N\}\}$можно объединить в один $n\; =\; 3\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; n\; =\; 3N\}$-мерный вектор скорости:

$r\; =\; \Vert \; r\; 1\; ⋮\; r\; N\; \Vert ,\; v\; =\; \Vert \; v\; 1\; ⋮\; v\; N\; \Vert .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Vmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{N\}\; \backslash \; end\; \{Vmatrix\}\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{Vmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{N\}\; \backslash \; end\; \{Vmatrix\}\}.\}$

(2)

В терминах многомерных векторов (2) уравнения (1) записываются как

$drdt\; =\; v,\; dvdt\; =\; F\; (r,\; v,\; t),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{v\},\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash \; mathbf\; \{\; v\},\; t),\}$

(3)

т.е. они принимают форму второго закона Ньютона, примененного к отдельной частице с единичной массой $m\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; m\; =\; 1\}$.

Определение . Уравнения (3) называются уравнениями ньютоновской динамической системы в плоском многомерном евклидовом пространстве, которое называется конфигурационным пространством. этой системы. Его точки отмечены радиус-вектором $r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$. Пространство, точки которого отмечены парой векторов $(r,\; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\}$, называется фазовое пространство динамической системы (3).

Конфигурационное пространство и фазовое пространство динамической системы (3) оба являются евклидовыми пространствами, т.е. е. они снабжены евклидовой структурой. Их евклидова структура определена так, что кинетическая энергия отдельной многомерной частицы с единичной массой $m\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; m\; =\; 1\}$равна сумме кинетических энергий трехмерных частиц с массами $m\; 1,\dots ,\; m\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; m\_\; \{N\}\}$:

$T\; знак\; равно\; \Vert \; v\; \Vert \; 2\; 2\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; mi\; \Vert \; vi\; \Vert \; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Vert\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; Vert\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Vert\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; Vert\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\}$.

(4)

В некоторых случаях движение частиц с массами $m\; 1,\dots ,\; m\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; m\_\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; m\_\; \{N\}\}$может быть ограничено. Типичные ограничения выглядят как скалярные уравнения вида

$\phi \; i\; (r\; 1,\dots ,\; r\; N)\; =\; 0,\; i\; =\; 1,\dots ,\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{N\})\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; i\; =\; 1,\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; K\}$.

(5)

Ограничения формы (5) называются голономными и склерономическими. В терминах радиус-вектора $r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$ньютоновской динамической системы (3) они записываются как

$\phi \; i\; (r)\; Знак\; равно\; 0,\; я\; знак\; равно\; 1,\dots ,\; К\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; i\; =\; 1,\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; K\}$.

( 6)

Каждое такое ограничение уменьшает на единицу количество степеней свободы ньютоновской динамической системы (3). Следовательно, система с ограничениями имеет $n\; =\; 3\; N\; -\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; n\; =\; 3\; \backslash ,\; N-K\}$степени свободы.

Определение . Уравнения ограничений (6) определяют $n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; n\}$-мерное многообразие $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; M\}$в конфигурационном пространстве ньютоновской динамической системы (3). Это многообразие $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; M\}$называется пространством конфигурации системы с ограничениями. Его касательная связка $T\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; TM\}$называется фазовым пространством системы с ограничениями.

Пусть $q\; 1,\dots ,\; qn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; q\; ^\; \{n\}\}$будет внутренними координатами точки $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; M\}$. Их использование типично для лагранжевой механики. Радиус-вектор $r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}$выражается как некоторая определенная функция от $q\; 1,\dots ,\; qn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{1\; \},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; q\; ^\; \{n\}\}$:

$r\; =\; r\; (q\; 1,\dots ,\; qn)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; (q\; ^\; \{1\; \},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; q\; ^\; \{n\})\}$.

(7)

Вектор-функция (7) разрешает уравнения ограничений (6) в том смысле, что при подстановке ( 7) в (6) уравнения (6) выполняются идентично в $q\; 1,\dots ,\; qn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; q\; ^\; \{n\}\}$.

Вектор скорости ограниченной ньютоновской динамической системы выражается через частные производные вектор-функции (7):

$v\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; \partial \; р\; \partial \; qiq\; \dot{}\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{\backslash \; частичное\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; ^\; \{i\}\}$.

(8)

Величины $q\; \dot{}\; 1,\dots ,\; q\; \dot{}\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; di\; splaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; ^\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; ^\; \{n\}\}$называются внутренними компонентами вектора скорости. Иногда они обозначаются отдельным символом

$q\; \dot{}\; i\; =\; wi,\; i\; =\; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; ^\; \{i\}\; =\; w\; ^\; \{i\},\; \backslash \; qquad\; i\; =\; 1,\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; n\}$

(9)

, а затем обрабатываются как независимые переменные. Величины

$q\; 1,\dots ,\; qn,\; w\; 1,\dots ,\; wn\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; q\; ^\; \{n\},\; \backslash ,\; w\; ^\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; w\; ^\; \{n\}\}$

(10)

используются как внутренние координаты точки фазового пространства $TM\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; TM\}$Ньютоновской динамической системы со связями.

Геометрически вектор-функция (7) реализует встраивание пространства конфигурации $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; M\}$ограниченной динамической системы Ньютона в $3\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; 3\; \backslash ,\; N\}$-мерное плоское конфигурационное пространство неограниченной ньютоновской динамической системы (3). Благодаря этому вложению евклидова структура объемлющего пространства индуцирует риманову метрику на многообразии $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; M\}$. Компоненты метрического тензора этой индуцированной метрики задаются формулой

$gij\; =\; (\partial \; r\; \partial \; qi,\; \partial \; r\; \partial \; qj)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; g\_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{j\}\}\}\; \backslash \; right)\}$,

(11)

где $(,)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; (\backslash ,\; \backslash )\}$- скалярное произведение, связанное с евклидовой структурой (4).

Поскольку евклидова структура неограниченной системы из $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; N\}$частиц вводится через их кинетическая энергия, индуцированная риманова структура в конфигурационном пространстве $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; N\}$системы с ограничениями сохраняет эту связь с кинетической энергией:

$T\; =\; 1\; 2\; \sum \; i\; Знак\; равно\; 1\; N\; \sum \; J\; =\; 1\; ngijwiwj\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; g\_\; \{ij\; \}\; \backslash ,\; w\; ^\; \{i\}\; \backslash ,\; w\; ^\; \{j\}\}$.

(12)

Формула (12) выводится заменой (8) на (4) и учетом счет (11).

Для ограниченной ньютоновской динамической системы ограничения, описываемые уравнениями (6), обычно реализуются некоторой механической структурой. Эта структура создает некоторые вспомогательные силы, включая силу, которая поддерживает систему в ее конфигурационном коллекторе $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; M\}$. Такая поддерживающая сила перпендикулярна $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; M\}$. Это называется нормальной силой. Сила $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\}$из (6) подразделяется на две составляющие

$F\; =\; F\; \parallel \; +\; F\; \perp \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\; F\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{\backslash \; perp\}\}$.

(13)

Первый компонент в (13) касается конфигурационного многообразия $М\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Displaystyle\; M\}$. Второй компонент перпендикулярен $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; M\}$. In совпадает с нормальной силой $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{N\}\}$.. Как и вектор скорости (8), касательная сила $F\; \parallel \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\}$имеет внутреннее представление

$F\; \parallel \; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \partial \; r\; \partial \; qi\; F\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\; \}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash ,\; F\; ^\; \{i\}\}$.

(14)

Величины $F\; 1,\dots ,\; F\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; F\; ^\; \{n\}\}$в ( 14) называются внутренними составляющими вектора силы.

Ньютоновская динамическая система (3), ограниченная конфигурационным многообразием $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; M\}$уравнениями связи (6) описывается дифференциальными уравнениями

$dqsdt\; =\; ws,\; dwsdt\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; \Gamma \; ijswiwj\; =\; F\; s,\; s\; =\; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dq\; ^\; \{s\}\}\; \{dt\}\}\; =\; w\; ^\; \{s\},\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; frac\; \{dw\; ^\; \{s\}\}\; \{dt\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{s\}\; \backslash ,\; w\; ^\; \{i\}\; \backslash ,\; w\; ^\; \{j\}\; =\; F\; ^\; \{s\},\; \backslash \; qquad\; s\; =\; 1,\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; n\}$,

(15)

где $\Gamma \; ijs\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{s\}\}$- символы Кристоффеля метрической связи, созданной римановой метрикой (11).

Механические системы со связями обычно описываются уравнениями Лагранжа :

$dqsdt\; =\; ws,\; ddt\; (\partial \; T\; \partial \; ws)\; -\; \partial \; T\; \partial \; qs\; =\; Q\; s,\; s\; =\; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dq\; ^\; \{s\}\}\; \{dt\}\}\; =\; w\; ^\; \{s\},\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; w\; ^\; \{s\}\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; T\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{s\}\}\}\; =\; Q\_\; \{s\},\; \backslash \; qquad\; s\; =\; 1,\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; n\}$,

(16)

где $T\; =\; T\; (q\; 1,\dots ,\; qn,\; w\; 1,\dots ,\; wn)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; T\; (q\; ^\; \{\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; q\; ^\; \{n\},\; w\; ^\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; w\; ^\; \{n\})\}$- кинетическая энергия динамической системы со связями, определяемая формулой (12). Величины $Q\; 1,\dots ,\; Q\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; Q\_\; \{n\}\}$в (16) являются внутренними ковариантные компоненты вектора касательной силы $F\; \parallel \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\}$(см. (13) и (14)). Они создаются из внутренних контравариантных компонентов $F\; 1,\dots ,\; F\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; F\; ^\; \{n\}\}$вектора $F\; \parallel \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\}$с помощью стандартной процедуры понижения индекса с использованием метрики (11):

$Q\; s\; =\; \sum \; r\; =\; 1\; ngsr\; F\; r,\; s\; =\; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{s\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{r\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; g\_\; \{sr\}\; \backslash ,\; F\; ^\; \{r\},\; \backslash \; qquad\; s\; =\; 1,\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; n\}$,

(17)

Уравнения (16) эквивалентны уравнениям (15). Однако метрика (11) и другие геометрические характеристики конфигурационного многообразия $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; M\}$не являются явными в (16). Метрика (11) может быть восстановлена ​​из кинетической энергии $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; T\}$с помощью формулы

$gij\; =\; \partial \; 2\; T\; \partial \; wi\; \partial \; wj\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; T\}\; \{\backslash \; partial\; w\; ^\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; w\; ^\; \{j\}\}\}\}$.

(18)

• Модифицированная ньютоновская динамика