Теория решеточной калибровки

редактировать

В физике, теория решеточной калибровки - это изучение калибровочных теорий в пространстве-времени, которое было дискретизировано в решетку.

Калибровочные теории важны в физике элементарных частиц и включают в себя преобладающие теории элементарных частиц : квантовая электродинамика, квантовая хромодинамика (QCD) и физика элементарных частиц 'Стандартная модель. Непертурбативная калибровочная теория вычислений в непрерывном пространстве-времени формально включает вычисление бесконечномерного интеграла по путям, который трудно поддается вычислению. Работая с дискретным пространством-временем, интеграл по путям становится конечномерным и может быть вычислен с помощью методов стохастического моделирования, таких как метод Монте-Карло.. Когда размер решетки берется бесконечно большим, а ее узлы бесконечно близки друг к другу, теория континуума восстанавливается.

Содержание

1 Основы
2 Действие Янга – Миллса
3 Измерения и вычисления
4 Квантовая тривиальность
5 Другие приложения
6 См. Также
7 Ссылки
8 Дополнительная литература
9 Внешние ссылки

Основы

В теории калибровочной решетки пространство-время Фитиль, повернутый в евклидово пространство и дискретизирован в решетку с сайтами, разделенными расстоянием $a {\ displaystyle a}$ $a$ и соединенными ссылками. В наиболее часто рассматриваемых случаях, таких как КХД на решетке, поля фермионов определяются в узлах решетки (что приводит к удвоению фермионов ), а поля калибровочные поля определены на ссылках. То есть каждому звену присваивается элемент U из compact группы Ли G (а не алгебры ). Следовательно, чтобы моделировать КХД с группой Ли SU (3), на каждом звене определена унитарная матрица 3 × 3 . Связи назначается ориентация, при этом обратный элемент соответствует той же ссылке с противоположной ориентацией. И каждому узлу присваивается значение в ℂ (цветной 3-вектор, пространство, в котором действует фундаментальное представление SU (3)), биспинор (4-спинор Дирака), вектор n f и переменная Грассмана .

Таким образом, композиция элементов SU (3) ссылок вдоль пути (то есть упорядоченное умножение их матриц) аппроксимирует экспонента с упорядочением по путям (геометрический интеграл), из которой петля Вильсона могут быть вычислены для замкнутых путей.

Действие Янга – Миллса

Действие Янга – Миллса записывается на решетке с использованием циклов Уилсона (названных в честь Кеннета Г. Wilson ), так что предел $a → 0 {\ displaystyle a \ to 0}$ $a \ to 0$ формально воспроизводит исходное действие континуума. Для верного неприводимого представления ρ группы G действие Янга-Миллса на решетке является суммой по всем узлам решетки (действительной компоненты) следа над n звеньев e 1,..., e n в петле Вильсона,

S = ∑ F - ℜ {χ (ρ) (U (e 1) ⋯ U (en))}. {\ displaystyle S = \ sum _ {F} - \ Re \ {\ chi ^ {(\ rho)} (U (e_ {1}) \ cdots U (e_ {n})) \}.}

S = \ sum _ {F} - \ Re \ {\ chi ^ { {(\ rho)}} (U (e_ {1}) \ cdots U (e_ {n})) \}.

Здесь χ - это символ . Если ρ является реальным (или псевдореальным ) представлением, использование реального компонента является избыточным, потому что даже если ориентация цикла Вильсона перевернута, его вклад в действие остается неизменным.

Существует много возможных решеточных действий Янга-Миллса, в зависимости от того, какие петли Вильсона используются в действии. В простейшем "действии Вильсона" используется только петля Вильсона 1 × 1, и оно отличается от действия континуума "артефактами решетки", пропорциональными небольшому интервалу решетки $a {\ displaystyle a}$ $a$ . Используя более сложные циклы Вильсона для построения «улучшенных действий», артефакты решетки могут быть уменьшены до пропорциональности $a 2 {\ displaystyle a ^ {2}}$ $a ^ {2}$ , что делает вычисления более точными.

Измерения и вычисления

Этот результат вычисления КХД на решетке показывает мезон, состоящий из кварка и антикварка. (По М. Кардосо и др.)

Величины, такие как массы частиц, рассчитываются стохастически с использованием таких методов, как метод Монте-Карло. Конфигурации измерительного поля создаются с вероятностями, пропорциональными $e - β S {\ displaystyle e ^ {- \ beta S}}$ $e ^ {{- \ beta S}}$ , где $S {\ displaystyle S }$ $S$ - действие решетки, а $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ связано с шагом решетки $a {\ displaystyle a}$ $a$ . Интересующее количество рассчитывается для каждой конфигурации и усредняется. Расчеты часто повторяются при разных шагах решетки $a {\ displaystyle a}$ $a$ , так что результат может быть экстраполирован на континуум, $a → 0 {\ displaystyle a \ to 0}$ $a \ to 0$ .

Такие вычисления часто являются чрезвычайно ресурсоемкими и могут потребовать использования самых больших доступных суперкомпьютеров. Чтобы уменьшить вычислительную нагрузку, можно использовать так называемое закаленное приближение, в котором фермионные поля рассматриваются как нединамические «замороженные» переменные. В то время как это было обычным явлением в ранних расчетах КХД на решетке, «динамические» фермионы сейчас являются стандартом. В этих симуляциях обычно используются алгоритмы, основанные на алгоритмах молекулярной динамики или микроканонического ансамбля.

Результаты вычислений решеточной КХД показывают, например, что в мезоне важны не только частицы (кварки и антикварки), но и «флоксовые трубки » глюонных полей.

Квантовая тривиальность

Калибровочная теория решетки также важен для изучения квантовой тривиальности ренормгруппой реального пространства. Самая важная информация в потоке RG - это так называемые фиксированные точки.

Возможные макроскопические состояния системы в большом масштабе задаются этим набором фиксированных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, теория называется тривиальной или невзаимодействующей. Многочисленные неподвижные точки появляются при изучении решеточных теорий Хиггса, но природа квантовых теорий поля, связанных с ними, остается открытым вопросом.

Тривиальность еще предстоит строго доказать, но вычисления на решетке предоставили убедительные доказательства того, что этот. Этот факт важен, поскольку квантовую тривиальность можно использовать для ограничения или даже предсказания таких параметров, как масса бозона Хиггса.

Другие приложения

Первоначально решаемые калибровочные теории на двумерной решетке уже были представлены. в 1971 году как модели с интересными статистическими свойствами, разработанные теоретиком Францем Вегнером, который работал в области фазовых переходов.

Когда в действии появляются только петли Вильсона 1 × 1, калибровочная теория решетки можно показать, что они в точности двойственны моделям спиновой пены.

См. также

Список литературы

Дополнительная литература

M. Кройц, Кварки, глюоны и решетки, Cambridge University Press, 1985.
I. Монтвей и Г. Мюнстер, Квантовые поля на решетке, Cambridge University Press, 1997.
Y. Макеенко, Методы современной калибровочной теории, Cambridge University Press, 2002, ISBN 0-521-80911-8.
J. Смит, Введение в квантовые поля на решетке, Cambridge University Press, 2002.
T. ДеГранд и К. ДеТар, Решеточные методы квантовой хромодинамики, World Scientific 2006.
C. Гаттрингер, К. Б. Ланг, Квантовая хромодинамика на решетке, Springer 2010.
Вайс Петер, Маджумдар Пушан (2012). "Теории калибровочной решетки". Scholarpedia. 7 (4): 8615. Bibcode : 2012SchpJ... 7.8615M. doi : 10.4249 / scholarpedia.8615.

Внешние ссылки