Войти
Бесконечная делимость возникает по-разному в философии, физике, экономике, теории порядка (раздел математики) и теория вероятностей (также раздел математики). Можно говорить о бесконечной делимости или ее отсутствии материи, пространства, времени, денег или абстрактных математических объектов, таких как как континуум .
Происхождение идеи в западной традиции можно проследить до V века до нашей эры, начиная с древнегреческого философа-досократа Демокрита и его учитель Левкипп, который теоретизировал делимость материи за пределы того, что может быть воспринято чувствами, пока в конечном итоге не кончится неделимым атомом. Индийский философ Канада также предложил атомистическую теорию, однако существует двусмысленность относительно того, когда жил этот философ, в промежутке между VI веком и II веком до нашей эры. Атомизм исследуется в Платоне диалоге Тимей, а также был поддержан Аристотелем. Эндрю Пайл дает ясный отчет о бесконечной делимости на первых нескольких страницах своего «Атомизма и его критиков». Там он показывает, как бесконечная делимость включает в себя идею о том, что есть что-то, например яблоко, которое можно разделить бесконечно много раз, при этом никто никогда не делится до точки или на атомы любого вида. Многие профессиональные философы утверждают, что бесконечная делимость включает в себя либо набор из бесконечного числа элементов (поскольку существует бесконечное количество делений, должно быть бесконечное количество объектов), либо (реже) элементы размером с точку, либо и то, и другое. Пайл утверждает, что математика бесконечно делимых расширений не включает ни то, ни другое - что есть бесконечные подразделения, но только конечные наборы объектов, и они никогда не делятся на элементы без точечных расширений.
Зенон спросил, как стрела может двигаться, если в один момент она здесь и неподвижна, а в более поздний момент находится в другом месте и неподвижна.
Однако рассуждения Зенона ошибочны, когда он говорит, что если все, занимая одинаковое пространство, находится в состоянии покоя и если то, что находится в движении, всегда занимает такое пространство в любой момент, летящая стрела, следовательно, неподвижна.. Это неверно, поскольку время не состоит из неделимых моментов, как и любая другая величина состоит из неделимых.
— Аристотель, Физика VI: 9, 239b5В отношении парадокса Зенона стрелка в полете, Альфред Норт Уайтхед пишет, что «бесконечное количество актов становления может иметь место за конечное время, если каждое последующее действие будет меньше в сходящейся серии»:
Аргумент, пока поскольку это действительно так, вызывает противоречие из двух предпосылок: (i) что в становлении что-то (res vera) становится, и (ii) что каждый акт становления делится на более ранние и последующие части, которые сами по себе являются актами становления. Рассмотрим, например, акт становления в течение одной секунды. Действие делится на два действия, одно в течение первой половины секунды, а другое - во второй половине секунды. Таким образом, то, что становится в течение целой секунды, предполагает то, что становится в течение первой полсекунды. Аналогично, то, что становится в течение первой полусекунды, предполагает то, что становится в течение первой четверти секунды, и так до бесконечности. Таким образом, если мы рассмотрим процесс становления до начала второго рассматриваемого вопроса и спросим, что тогда становится, мы не сможем ответить. Ведь какое бы существо мы ни указывали, оно предполагает более раннее существо, которое стало после начала второго и предшествовало указанному существу. Следовательно, нет ничего, что могло бы вызвать переход во вторую рассматриваемую.
— А.Н. Уайтхед, Процесс и реальностьДо открытия квантовой механики не было различия между вопросом о том, является ли материя бесконечно делимой, и вопросом о том, является ли материю можно разрезать на более мелкие части до бесконечности.
В результате греческое слово átomos (ἄτομος), которое буквально означает «неразрезанный», обычно переводится как «неделимый». В то время как современный атом действительно делим, он на самом деле неразрезан: не существует разделения пространства, такого, чтобы его части соответствовали материальным частям атома. Другими словами, квантово-механическое описание материи больше не соответствует парадигме формочки для печенья. Это проливает новый свет на древнюю загадку делимости материи. Множественность материального объекта - количество его частей - зависит от существования не ограничивающих поверхностей, а внутренних пространственных отношений (относительных положений между частями), которые не имеют определенных значений. Согласно Стандартной модели физики элементарных частиц, частицы, составляющие атом - кварки и электроны - являются точечными частицами : они не занимают места. Тем не менее, атом заставляет занимать пространство не какой-то пространственно протяженный «материал», который «занимает пространство» и который можно разрезать на все более мелкие части, а неопределенность его внутренних пространственных отношений.
Физическое пространство часто рассматривается как бесконечно делимое: считается, что любая область в пространстве, независимо от ее размера, может быть дополнительно разделена. Время аналогично считается бесконечно делимым.
Однако новаторская работа Макса Планка (1858–1947) в области квантовой физики предполагает, что на самом деле существует минимальное измеримое расстояние (теперь оно называется Планковская длина, 1,616229 (38) × 10 метров) и, следовательно, минимальный временной интервал (количество времени, которое требуется свету, чтобы пройти это расстояние в вакууме, 5,39116 (13) × 10 секунд, известное как Планковское время ) меньше, чем то, что осмысленное измерение невозможно.
Один доллар или один евро делится на 100 центов; можно платить только с шагом в один цент. Довольно часто цены на некоторые товары, такие как бензин, устанавливаются с шагом в одну десятую цента за галлон или литр. Если бензин стоит 3,979 доллара за галлон и покупается 10 галлонов, то «лишние» 9/10 цента будут в десять раз больше: «лишние» 9 центов, так что в этом случае цент оплачивается. Деньги бесконечно делимы в том смысле, что они основаны на действительной системе счисления. Однако современные монеты не делятся (в прошлом некоторые монеты взвешивались с каждой транзакцией и считались делимыми без особого ограничения). В каждой транзакции есть точка точности, которая бесполезна, потому что такие небольшие суммы денег несущественны для людей. Чем больше умножается цена, тем большее значение имеет точность. Например, при покупке миллиона акций покупатель и продавец могут быть заинтересованы в разнице в цене в одну десятую цента, но это только выбор. Все остальное, что касается бизнес-измерения и выбора, аналогично делится в зависимости от заинтересованности сторон. Например, финансовые отчеты могут составляться ежегодно, ежеквартально или ежемесячно. Некоторые бизнес-менеджеры создают отчеты о движении денежных средств более одного раза в день.
Хотя время может делиться бесконечно, данные о ценах на ценные бумаги сообщаются в дискретные моменты времени. Например, если посмотреть на записи о ценах на акции в 1920-х годах, можно найти цены в конце каждого дня, но, возможно, не на трехсотых долях секунды после 12:47. Однако новый метод теоретически мог бы сообщать с удвоенной скоростью, что не помешало бы дальнейшему увеличению скорости представления отчетов. Как это ни парадоксально, но техническая математика, применяемая к финансовым рынкам, часто оказывается проще, если в качестве приближения использовать бесконечно делимое время. Даже в этих случаях выбирается точность, с которой нужно работать, и измерения округляются до этого приближения. С точки зрения человеческого взаимодействия, деньги и время делятся, но только до такой степени, когда дальнейшее деление не имеет значения, и какой момент нельзя точно определить.
Сказать, что поле рациональных чисел бесконечно делимо (т.е. теоретически порядок плотный ) означает, что между любыми двумя рациональными числами есть другое рациональное число. Напротив, кольцо из целых чисел не является бесконечно делимым.
Бесконечная делимость не подразумевает отсутствие промежутков: рациональные элементы не обладают свойством наименьшей верхней границы. Это означает, что если бы кто-то разделил рациональные числа на два непустых множества A и B, где A содержит все рациональные числа, меньшие некоторого иррационального числа (например, π ), а B - все рациональные числа больше, то у A нет самого большого члена, а у B нет самого маленького члена. Поле вещественных чисел, напротив, является как бесконечно делимым, так и непрерывным. Любое линейно упорядоченное множество, которое бесконечно делимо и без зазоров и имеет более одного члена, является бесконечно бесконечным. Для доказательства см. первое доказательство несчетности Кантора. Сама по себе бесконечная делимость предполагает бесконечность, но не несчетность, как показывают рациональные числа.
Сказать, что распределение вероятностей F на вещественной прямой бесконечно делимо, означает, что если X любое случайная величина, распределение которой равно F, то для каждого натурального числа n существует n независимых одинаково распределенных случайных величин X 1,..., X n, сумма которых по распределению равна X (эти n других случайных величин обычно не имеют того же распределения вероятностей, что и X).
Распределение Пуассона, распределение Пуассона с заиканием, отрицательное биномиальное распределение и Гамма-распределение являются примерами бесконечно делимых распределений - как являются нормальным распределением, распределением Коши и всеми другими членами семейства стабильного распределения. Косонормальное распределение является примером бесконечно делимого распределения. (См. Domínguez-Molina and Rocha Arteaga (2007).)
Каждое бесконечно делимое распределение вероятностей естественным образом соответствует процессу Леви, то есть стохастическому процессу {X t : t ≥ 0} со стационарными независимыми приращениями (стационарный означает, что для s < t, the распределение вероятностей от X t - X s зависит только от t - s; независимые приращения означают, что эта разница не зависит от соответствующей разности на любом интервале, не перекрывающемся с [s, t], и аналогично для любого конечного числа интервалов).
Эта концепция бесконечной делимости вероятностных распределений была введена в 1929 году Бруно де Финетти.
