Неразложимое распределение

В теории вероятностей неразложимое распределение представляет собой распределение вероятностей которое не может быть представлено как распределение суммы двух или более непостоянных независимых случайных величин : Z ≠ X + Y. Если это можно так выразить, оно равно разложимый: Z = X + Y. Если, кроме того, его можно выразить как распределение суммы двух или более независимых одинаково распределенных случайных величин, то оно делимо: Z = X 1 + X 2.

• 1 Примеры
  • 1.1 Неразъемный
  • 1.2 Разложимый
• 2 Понятия, связанные с данным
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Неразложимые

• Простейшими примерами являются распределения Бернулли : если

$X\; =\; \{1\; с\; вероятностью\; p,\; 0\; с\; вероятностью\; 1\; -\; p,\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 1\; \{\backslash \; text\; \{с\; вероятностью\}\}\; p,\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{с\; вероятностью\}\}\; 1-p,\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

тогда распределение вероятностей X неразложимо.

Доказательство: Учитывая непостоянные распределения U и V, так что U предполагает, что минимум два значения a, b и V принимают два значения c, d, с a < b and c < d, then U + V assumes at least three distinct values: a + c, a + d, b + d (b + c may be equal to a + d, for example if one uses 0, 1 and 0, 1). Thus the sum of non-constant distributions assumes at least three values, so the Bernoulli distribution is not the sum of non-constant distributions.

• Предположим, что a + b + c = 1, a, b, c ≥ 0, и

$X\; =\; \{2\; с\; вероятностью\; a,\; 1\; с\; вероятностью\; b,\; 0\; с\; вероятностью\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 2\; \{\backslash \; text\; \{с\; вероятностью\}\}\; a,\; \backslash \backslash \; 1\; \{\backslash \; text\; \{с\; вероятностью\}\}\; b,\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{с\; вероятностью\}\}\; c.\; \backslash \; end\; \{case\}\}\}$

Это распределение вероятностей разложимо (как сумма двух распределений Бернулли), если

$a\; +\; c\; \le \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\}\}\; \backslash \; leq\; 1\; \backslash \}$

и иначе неразложим. Чтобы убедиться в этом, предположим, что U и V - независимые случайные величины, а U + V имеет это распределение вероятностей. Тогда у нас должно быть

$U\; =\; \{1\; с\; вероятностью\; p,\; 0\; с\; вероятностью\; 1\; -\; p\; и\; V\; =\; \{1\; с\; вероятностью\; q,\; 0\; с\; вероятностью\; 1\; -\; q,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; U\; =\; \{\; \backslash \; begin\; \{cases\}\; 1\; \{\backslash \; text\; \{с\; вероятностью\}\}\; p,\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{с\; вероятностью\}\}\; 1-p,\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\; \{\backslash \; t\_dv\; \{and\}\}\; V\; =\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; 1\; \{\backslash \; text\; \{с\; вероятностью\}\}\; q,\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{с\; вероятностью\}\}\; 1-q,\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\}$

для некоторых p, q ∈ [0, 1], рассуждая аналогично случаю Бернулли (иначе сумма U + V примет более трех значений). Отсюда следует, что

$a\; =\; pq,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; pq,\; \backslash ,\}$

$c\; =\; (1\; -\; p)\; (1\; -\; q),\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; (1-p)\; (1-q),\; \backslash ,\}$

$Ь\; =\; 1\; -\; а\; -\; с.\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; 1-ac.\; \backslash ,\}$

Эта система двух квадратных уравнений с двумя переменными p и q имеет решение (p, q) ∈ [0, 1] тогда и только тогда, когда

$a\; +\; c\; \le \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\}\}\; \backslash \; leq\; 1.\; \backslash \}$

Таким образом, например, дискретное равномерное распределение на множестве { 0, 1, 2} является неразложимым, но биномиальное распределение для трех испытаний, каждое из которых имеет вероятности 1/2, 1/2, что дает соответствующие вероятности a, b, c как 1/4, 1/2, 1/4, разложимо.

• Абсолютно непрерывное неразложимое распределение. Можно показать, что распределение, функция плотности которого is

$f\; (x)\; =\; 1\; 2\; \pi \; x\; 2\; e\; -\; x\; 2/2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{1\; \backslash \; over\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash ,\}\}\}\; x\; ^\; \{2\}\; e\; ^\; \{-\; x\; ^\; \{2\}\; /\; 2\}\}$

неразложимо.

Разложимое

• Все бесконечно делимые распределения а тем более разложимый; в частности, это включает стабильные распределения, такие как нормальное распределение.
• . равномерное распределение на интервале [0, 1] является разложимым, поскольку оно сумма переменной Бернулли, которая принимает 0 или 1/2 с равными вероятностями и равномерным распределением на [0, 1/2]. Итерирование этого дает бесконечное разложение:

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; X\; n\; 2\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{X\_\; \{n\}\; \backslash \; over\; 2\; ^\; \{n\}\},\; \}$

где каждая независимая случайная величина X n равна 0 или 1 с равными вероятностями - это испытание Бернулли каждой цифры двоичного разложения.

• Сумма неразложимых случайных величин обязательно разложим (так как это сумма), и на самом деле a fortiori может быть бесконечно делимым распределением (а не просто разложимым как заданная сумма). Предположим, что случайная величина Y имеет геометрическое распределение

$Pr\; (Y\; =\; n)\; =\; (1\; -\; p)\; np\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pr\; (Y\; =\; n)\; =\; (1-p)\; ^\; \{n\}\; p\; \backslash ,\}$

на {0, 1, 2,...}. Для любого положительного целого числа k существует последовательность отрицательно-биномиально распределенных случайных величин Y j, j = 1,..., k, такая, что Y 1 +... + Y k имеет это геометрическое распределение. Следовательно, это распределение безгранично делимо. Но теперь пусть D n будет n-й двоичной цифрой Y для n ≥ 0. Тогда D независимы и

$Y\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; D\; n\; 2\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{D\_\; \{n\}\; \backslash \; over\; 2\; ^\; \{n\}\},\}$

и каждый член в этой сумме неразложим.

Другой крайностью от неразложимости является бесконечная делимость.

• Теорема Крамера показывает, что, хотя нормальное распределение бесконечно делимо, его можно разложить только на нормальные распределения.
• Теорема Кохрана показывает, что члены разложения суммы квадратов нормальных случайных величин на суммы квадратов линейных комбинаций этих переменных всегда имеют независимые распределения хи-квадрат.

• теорему Крамера
• теорему Кохрана
• Бесконечная делимость (вероятность)
• Теорема Хинчина о факторизации распределений

• Линник Ю. В., Островский И. В. Разложение случайных величин и векторов, Америк. Математика. Soc., Providence RI, 1977.

• Лукач, Юджин, Характерные функции, Нью-Йорк, Hafner Publishing Company, 1970.