Функция Грина (теория многих тел)

В теории многих тел термин функция Грина (или функция Грина ) иногда используется взаимозаменяемо с корреляционной функцией, но относится конкретно к корреляторам полевых операторов или операторов создания и уничтожения.

Название происходит от функций Грина, используемых для решения неоднородных дифференциальных уравнений, с которыми они слабо связаны. (В частности, только двухточечные `` функции Грина '' в случае невзаимодействующей системы являются функциями Грина в математическом смысле; линейный оператор, который они инвертируют, является оператором Гамильтона, который в случае невзаимодействия квадратичен по отношению к поля.)

• 1 Пространственно однородный корпус
  • 1.1 Основные определения
  • 1.2 Двухточечные функции
    • 1.2.1 Упорядочение в мнимом времени и β- периодичность
  • 1.3 Спектральное представление
    • 1.3.1 преобразование Гильберта
    • 1.3.2 Доказательство спектрального представления
    • 1.3.3 Невзаимодействующий случай
    • 1.3.4 Предел нулевой температуры
• 2 Общий случай
  • 2.1 Основные определения
  • 2.2 Двухточечные функции
  • 2.3 Спектральное представление
    • 2.3.1 Невзаимодействующий случай
• 3 См. Также
• 4 ссылки
  • 4.1 Книги
  • 4.2 Статьи
• 5 Внешние ссылки

Основные определения

Мы рассматриваем теорию многих тел с полевым оператором (оператор уничтожения, записанный в позиционном базисе). ${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x})}$

Операторы Гейзенберга могут быть записаны в терминах операторов Шредингера как

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, t) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} Kt} \ psi (\ mathbf {x}) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i } Kt},}$

а оператор рождения есть, где - великий канонический гамильтониан. ${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {x}, t) = [\ psi (\ mathbf {x}, t)] ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle K = H- \ mu N}$

Аналогичным образом для операторов мнимого времени

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, \ tau) = \ mathrm {e} ^ {K \ tau} \ psi (\ mathbf {x}) \ mathrm {e} ^ {- K \ tau}}$

${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {x}, \ tau) = \ mathrm {e} ^ {K \ tau} \ psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {x}) \ mathrm { e} ^ {- K \ tau}.}$

[Обратите внимание, что оператор создания мнимого времени не является эрмитово сопряженным оператором уничтожения.] ${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {x}, \ tau)}$ ${\ Displaystyle \ пси (\ mathbf {х}, \ тау)}$

В реальном времени -точечная функция Грина определяется выражением ${\ displaystyle 2n}$

${\ Displaystyle G ^ {(n)} (1 \ ldots n \ mid 1 '\ ldots n') = i ^ {n} \ langle T \ psi (1) \ ldots \ psi (n) {\ bar {\ psi}} (n ') \ ldots {\ bar {\ psi}} (1') \ rangle,}$

где мы использовали сокращенные обозначения, в которых означает "означает" и " означает". Оператор обозначает порядок времени и указывает, что следующие за ним операторы поля должны быть упорядочены так, чтобы их аргументы времени увеличивались справа налево. ${\ displaystyle j}$${\ displaystyle (\ mathbf {x} _ {j}, t_ {j})}$${\ displaystyle j '}$${\ displaystyle (\ mathbf {x} _ {j} ', t_ {j}')}$${\ displaystyle T}$

В мнимом времени соответствующее определение:

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} ^ {(n)} (1 \ ldots n \ mid 1 '\ ldots n') = \ langle T \ psi (1) \ ldots \ psi (n) {\ bar { \ psi}} (n ') \ ldots {\ bar {\ psi}} (1') \ rangle,}$

где означает. (Переменные мнимого времени ограничены диапазоном от до обратной температуры.) ${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {j}, \ tau _ {j}}$${\ displaystyle \ tau _ {j}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {k_ {B} T}}}$

Примечание относительно знаков и нормировки, используемых в этих определениях: знаки функций Грина были выбраны таким образом, чтобы преобразование Фурье двухточечной () тепловой функции Грина для свободной частицы было ${\ displaystyle n = 1}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {k}, \ omega _ {n}) = {\ frac {1} {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} + \ xi _ {\ mathbf {k}}}},}$

а запаздывающая функция Грина равна

${\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ frac {1} {- (\ omega + \ mathrm {i} \ eta) + \ xi _ {\ mathbf {k}}}},}$

куда

${\ displaystyle \ omega _ {n} = {[2n + \ theta (- \ zeta)] \ pi} / {\ beta}}$

это частота Мацубары.

На всем протяжении, это для бозонов и для фермионов и обозначает либо коммутатор, либо антикоммутатор, в зависимости от ситуации. ${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle +1}$ ${\ displaystyle -1}$ ${\ Displaystyle [\ ldots, \ ldots] = [\ ldots, \ ldots] _ {- \ zeta}}$

(Подробнее см. Ниже. )

Двухточечные функции

Функция Грина с одной парой аргументов () называется двухточечной функцией или пропагатором. При наличии как пространственной, так и временной трансляционной симметрии она зависит только от различия ее аргументов. Преобразование Фурье по пространству и времени дает ${\ displaystyle n = 1}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x} \ tau \ mid \ mathbf {x} '\ tau') = \ int _ {\ mathbf {k}} d \ mathbf {k} {\ frac {1} {\ beta}} \ sum _ {\ omega _ {n}} {\ mathcal {G}} (\ mathbf {k}, \ omega _ {n}) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm { i} \ mathbf {k} \ cdot (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} ') - \ mathrm {i} \ omega _ {n} (\ tau - \ tau')},}$

где сумма находится по соответствующим частотам Мацубары (а интеграл, как обычно, включает неявный множитель). ${\ Displaystyle (L / 2 \ pi) ^ {d}}$

В реальном времени мы будем явно указывать упорядоченную по времени функцию надстрочным индексом T:

${\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {T}} (\ mathbf {x} t \ mid \ mathbf {x} 't') = \ int _ {\ mathbf {k}} d \ mathbf {k} \ int { \ frac {\ mathrm {d} \ omega} {2 \ pi}} G ^ {\ mathrm {T}} (\ mathbf {k}, \ omega) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ mathbf {k} \ cdot (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} ') - \ mathrm {i} \ omega (t-t')}.}.$

Двухточечная функция Грина в реальном времени может быть записана в терминах «запаздывающих» и «продвинутых» функций Грина, которые, как оказывается, обладают более простыми свойствами аналитичности. Запаздывающие и продвинутые функции Грина определяются

${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {x} t \ mid \ mathbf {x} 't') = - \ mathrm {i} \ langle [\ psi (\ mathbf {x}, т), {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {x} ', t')] _ {\ zeta} \ rangle \ Theta (t-t ')}$

и

${\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {A}} (\ mathbf {x} t \ mid \ mathbf {x} 't') = \ mathrm {i} \ langle [\ psi (\ mathbf {x}, t), {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {x} ', t')] _ {\ zeta} \ rangle \ Theta (t'-t),}$

соответственно.

Они связаны с упорядоченной по времени функцией Грина соотношением

${\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {T}} (\ mathbf {k}, \ omega) = [1+ \ zeta n (\ omega)] G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) - \ zeta n (\ omega) G ^ {\ mathrm {A}} (\ mathbf {k}, \ omega),}$

куда

${\ Displaystyle п (\ omega) = {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {\ beta \ omega} - \ zeta}}}$

- функция распределения Бозе – Эйнштейна или Ферми – Дирака.

Упорядочение в мнимом времени и β- периодичность

Тепловые функции Грина определяются только тогда, когда оба аргумента мнимого времени находятся в диапазоне до. Двухточечная функция Грина обладает следующими свойствами. (Аргументы позиции или импульса в этом разделе опущены.) ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ beta}$

Во-первых, это зависит только от разницы мнимых времен:

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ tau, \ tau ') = {\ mathcal {G}} (\ tau - \ tau').}$

Аргументу разрешено запускать от до. ${\ Displaystyle \ тау - \ тау '}$${\ displaystyle - \ beta}$${\ displaystyle \ beta}$

Во-вторых, является (анти) периодическим относительно сдвигов. Из-за небольшого размера области, в которой определяется функция, это означает, что ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ тау)}$${\ displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ tau - \ beta) = \ zeta {\ mathcal {G}} (\ tau),}$

для. Упорядочение по времени имеет решающее значение для этого свойства, что можно напрямую доказать, используя цикличность операции трассировки. ${\ Displaystyle 0 lt;\ тау lt;\ бета}$

Эти два свойства позволяют использовать представление преобразования Фурье и его обратное,

${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ omega _ {n}) = \ int _ {0} ^ {\ beta} \ mathrm {d} \ tau \, {\ mathcal {G}} (\ tau) \, \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ omega _ {n} \ tau}.}$

Наконец, обратите внимание, что имеет разрыв в ; это согласуется с поведением на большом расстоянии. ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ тау)}$${\ Displaystyle \ тау = 0}$${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ omega _ {n}) \ sim 1 / | \ omega _ {n} |}$

Спектральное представление

В пропагаторах в реальном и мнимое время оба могут быть связаны со спектральной плотностью (или спектральным веса), заданной

${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha, \ alpha '} 2 \ pi \ delta (E _ {\ alpha} -E _ {\ alpha '} - \ omega) | \ langle \ alpha \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha' \ rangle | ^ {2} \ left ( \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha '}} - \ zeta \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha}} \ right),}$

где | amp; alpha ; ⟩ относится к (многим телам) собственное состоянию гранда-канонической гамильтоновой H  -  мкНо, с собственным значением Е amp; alpha ;.

Тогда пропагатор мнимого времени определяется выражением

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {k}, \ omega _ {n}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} \ omega ' } {2 \ pi}} {\ frac {\ rho (\ mathbf {k}, \ omega ')} {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} + \ omega'}} ~,}$

а замедленный пропагатор -

${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} \ omega '} { 2 \ pi}} {\ frac {\ rho (\ mathbf {k}, \ omega ')} {- (\ omega + \ mathrm {i} \ eta) + \ omega'}},}$

где подразумевается предел. ${\ displaystyle \ eta \ rightarrow 0 ^ {+}}$

Расширенный пропагатор задается тем же выражением, но со знаком в знаменателе. ${\ displaystyle - \ mathrm {i} \ eta}$

Упорядоченную по времени функцию можно найти в терминах и. Как заявлено выше, и обладают простыми свойствами аналитичности: первые (вторые) имеют все свои полюсы и разрывы в нижней (верхней) полуплоскости. ${\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {R}}}$${\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {A}}}$${\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {R}} (\ omega)}$${\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {A}} (\ omega)}$

Тепловой пропагатор имеет все полюса и разрывы на мнимой оси. ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ omega _ {n})}$${\ displaystyle \ omega _ {n}}$

Спектральная плотность может быть найдена очень просто из, используя теорему Сохацкого – Вейерштрасса ${\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {R}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ eta \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x \ pm \ mathrm {i} \ eta}} = P {\ frac {1} {x}} \ mp я \ пи \ дельта (х),}$

где P обозначает главную часть Коши. Это дает

${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {k}, \ omega) = 2 \ operatorname {Im} \, G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega).}$

Кроме того, это означает, что соблюдаются следующие отношения между его реальной и мнимой частями: ${\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Re} G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) = - 2P \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm { d} \ omega '} {2 \ pi}} {\ frac {\ operatorname {Im} \, G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega')} {\ omega - \ omega '}},}$

где обозначает главное значение интеграла. ${\ displaystyle P}$

Спектральная плотность подчиняется правилу сумм,

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} \ omega} {2 \ pi}} \ rho (\ mathbf {k}, \ omega) = 1,}$

который дает

${\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {R}} (\ omega) \ sim {\ frac {1} {| \ omega |}}}$

как. ${\ displaystyle | \ omega | \ rightarrow \ infty}$

Преобразование Гильберта

Сходство спектральных представлений мнимых функций Грина и функций Грина реального времени позволяет определить функцию

${\ Displaystyle G (\ mathbf {k}, z) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} x} {2 \ pi}} {\ frac {\ rho (\ mathbf {k}, x)} {- z + x}},}$

которая связана и с помощью ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {R}}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {k}, \ omega _ {n}) = G (\ mathbf {k}, \ mathrm {i} \ omega _ {n})}$

и

${\ displaystyle G ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) = G (\ mathbf {k}, \ omega + \ mathrm {i} \ eta).}$

Аналогичное выражение, очевидно, справедливо для. ${\ Displaystyle G ^ {\ mathrm {A}}}$

Связь между и называется преобразованием Гильберта. ${\ Displaystyle G (\ mathbf {k}, z)}$${\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {к}, х)}$

Доказательство спектрального представления

Мы демонстрируем доказательство спектрального представления пропагатора в случае тепловой функции Грина, определяемой как

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x}, \ tau \ mid \ mathbf {x} ', \ tau') = \ langle T \ psi (\ mathbf {x}, \ tau) {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {x} ', \ tau') \ rangle.}$

Из - за трансляционной симметрии, необходимо только рассмотреть для, задаваемый ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x}, \ tau \ mid \ mathbf {0}, 0)}$${\ displaystyle \ taugt; 0}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x}, \ tau \ mid \ mathbf {0}, 0) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha '} \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha'}} \ langle \ alpha '\ mid \ psi (\ mathbf {x}, \ tau) {\ bar {\ psi}} (\ mathbf { 0}, 0) \ mid \ alpha '\ rangle.}$

Вставка полного набора собственных состояний дает

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x}, \ tau \ mid \ mathbf {0}, 0) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha, \ alpha '} \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha'}} \ langle \ alpha '\ mid \ psi (\ mathbf {x}, \ tau) \ mid \ alpha \ rangle \ langle \ alpha \ mid {\ bar {\ psi}} (\ mathbf {0}, 0) \ mid \ alpha '\ rangle.}$

Поскольку и являются собственными состояниями операторов Гейзенберга, можно переписать в терминах операторов Шредингера, давая ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle | \ alpha '\ rangle}$${\ Displaystyle H- \ mu N}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {x}, \ tau | \ mathbf {0}, 0) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha, \ alpha '} \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha'}} \ mathrm {e} ^ {\ tau (E _ {\ alpha '} -E _ {\ alpha})} \ langle \ alpha' \ mid \ psi (\ mathbf {x}) \ mid \ alpha \ rangle \ langle \ alpha \ mid \ psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {0}) \ mid \ alpha '\ rangle.}$

Затем выполнение преобразования Фурье дает

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} (\ mathbf {k}, \ omega _ {n}) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha, \ alpha '} \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha '}} {\ frac {1- \ zeta \ mathrm {e} ^ {\ beta (E _ {\ alpha'} -E _ {\ alpha})}} {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} + E _ {\ alpha} -E _ {\ alpha '}}} \ int _ {\ mathbf {k}'} d \ mathbf {k} '\ langle \ alpha \ mid \ psi (\ mathbf {k}) \ mid \ alpha '\ rangle \ langle \ alpha' \ mid \ psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {k} ') \ mid \ alpha \ rangle.}$

Сохранение моментума позволяет записать последний член в виде (с точностью до возможных коэффициентов объема)

${\ Displaystyle | \ langle \ alpha '\ mid \ psi ^ {\ dagger} (\ mathbf {k}) \ mid \ alpha \ rangle | ^ {2},}$

что подтверждает выражения для функций Грина в спектральном представлении.

Правило сумм можно доказать, рассматривая математическое ожидание коммутатора,

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha} \ langle \ alpha \ mid \ mathrm {e} ^ {- \ beta (H- \ mu N)} [\ psi _ {\ mathbf {k}}, \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger}] _ {- \ zeta} \ mid \ alpha \ rangle,}$

а затем вставляем полный набор собственных состояний в оба члена коммутатора:

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha, \ alpha '} \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha}} \ left (\ langle \ alpha \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} \ mid \ alpha '\ rangle \ langle \ alpha' \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha \ rangle - \ zeta \ langle \ alpha \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha '\ rangle \ langle \ alpha' \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} \ mid \ alpha \ rangle \ right).}$

Замена меток в первом термине дает

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {\ alpha, \ alpha '} \ left (\ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha'}} - \ zeta \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha}} \ right) | \ langle \ alpha \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha '\ рангл | ^ {2} ~,}$

что и есть результат интегрирования ρ.

Случай невзаимодействия

В случае отсутствия взаимодействия - это собственное состояние с (большой канонической) энергией, где - одночастичное дисперсионное соотношение, измеренное по химическому потенциалу. Таким образом, спектральная плотность становится ${\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha '\ rangle}$${\ displaystyle E _ {\ alpha '} + \ xi _ {\ mathbf {k}}}$${\ displaystyle \ xi _ {\ mathbf {k}} = \ epsilon _ {\ mathbf {k}} - \ mu}$

${\ displaystyle \ rho _ {0} (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \, 2 \ pi \ delta (\ xi _ {\ mathbf {k }} - \ omega) \ sum _ {\ alpha '} \ langle \ alpha' \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha '\ rangle (1- \ zeta \ mathrm {e} ^ {- \ beta \ xi _ {\ mathbf {k}}}) \ mathrm {e} ^ {- \ beta E _ {\ alpha'}}.}.$

Из коммутационных соотношений

${\ Displaystyle \ langle \ alpha '\ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha' \ rangle = \ langle \ alpha '\ mid (1+ \ zeta \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ psi _ {\ mathbf {k}}) \ mid \ alpha '\ rangle,}$

с возможными факторами объема снова. Сумма, которая включает термическое среднее числового оператора, затем дает просто, оставляя ${\ displaystyle [1+ \ zeta n (\ xi _ {\ mathbf {k}})] {\ mathcal {Z}}}$

${\ displaystyle \ rho _ {0} (\ mathbf {k}, \ omega) = 2 \ pi \ delta (\ xi _ {\ mathbf {k}} - \ omega).}$

Таким образом, пропагатор мнимого времени

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {0} (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ frac {1} {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} + \ xi _ {\ mathbf {k}}}}}$

а запаздывающий пропагатор

${\ Displaystyle G_ {0} ^ {\ mathrm {R}} (\ mathbf {k}, \ omega) = {\ frac {1} {- (\ omega + \ mathrm {i} \ eta) + \ xi _ {\ mathbf {k}}}}.}$

Предел нулевой температуры

При β → ∞ спектральная плотность принимает вид

${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {k}, \ omega) = 2 \ pi \ sum _ {\ alpha} \ left [\ delta (E _ {\ alpha} -E_ {0} - \ omega) | \ langle \ alpha \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid 0 \ rangle | ^ {2} - \ zeta \ delta (E_ {0} -E _ {\ alpha} - \ omega) | \ langle 0 \ mid \ psi _ {\ mathbf {k}} ^ {\ dagger} \ mid \ alpha \ rangle | ^ {2} \ right]}$

где α = 0 соответствует основному состоянию. Обратите внимание, что только первый (второй) член дает вклад, когда ω положительно (отрицательно).

Основные определения

Мы можем использовать «полевые операторы», как указано выше, или операторы рождения и уничтожения, связанные с другими одночастичными состояниями, возможно, собственными состояниями (невзаимодействующей) кинетической энергии. Затем мы используем

${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {x}, \ tau) = \ varphi _ {\ alpha} (\ mathbf {x}) \ psi _ {\ alpha} (\ tau),}$

где - оператор аннигиляции для одночастичного состояния, а - волновая функция этого состояния в базисе положения. Это дает ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ varphi _ {\ alpha} (\ mathbf {x})}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alpha _ {1} \ ldots \ alpha _ {n} | \ beta _ {1} \ ldots \ beta _ {n}} ^ {(n)} (\ tau _ {1} \ ldots \ tau _ {n} | \ tau _ {1} '\ ldots \ tau _ {n}') = \ langle T \ psi _ {\ alpha _ {1}} (\ tau _ {1}) \ ldots \ psi _ {\ alpha _ {n}} (\ tau _ {n}) {\ bar {\ psi}} _ {\ beta _ {n}} (\ tau _ {n} ') \ ldots {\ bar {\ psi}} _ {\ beta _ {1}} (\ tau _ {1} ') \ rangle}$

с аналогичным выражением для. ${\ Displaystyle G ^ {(п)}}$

Двухточечные функции

Они зависят только от разницы их временных аргументов, так что

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ tau \ mid \ tau ') = {\ frac {1} {\ beta}} \ sum _ {\ omega _ {n}} { \ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ omega _ {n}) \, \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} (\ tau - \ tau ') }}$

и

${\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} (t \ mid t ') = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} \ omega} {2 \ pi}} \, G _ {\ alpha \ beta} (\ omega) \, \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ omega (t-t ')}.}$

Мы снова можем очевидным образом определять отсталые и продвинутые функции; они связаны с упорядоченной по времени функцией так же, как указано выше.

Те же свойства периодичности, что описаны выше, применимы к. Конкретно, ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ tau \ mid \ tau ') = {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ tau - \ tau')}$

и

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ tau) = {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ tau + \ beta),}$

для. ${\ Displaystyle \ тау lt;0}$

Спектральное представление

В этом случае,

${\ displaystyle \ rho _ {\ alpha \ beta} (\ omega) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {m, n} 2 \ pi \ delta (E_ {n} - E_ {m} - \ omega) \; \ langle m \ mid \ psi _ {\ alpha} \ mid n \ rangle \ langle n \ mid \ psi _ {\ beta} ^ {\ dagger} \ mid m \ rangle \ left (\ mathrm {e} ^ {- \ beta E_ {m}} - \ zeta \ mathrm {e} ^ {- \ beta E_ {n}} \ right),}$

где и - многочастичные состояния. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

Выражения для функций Грина видоизменяются очевидным образом:

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ omega _ {n}) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} \ omega '} {2 \ pi}} {\ frac {\ rho _ {\ alpha \ beta} (\ omega')} {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} + \ omega '}}}$

и

${\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} ^ {\ mathrm {R}} (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} \ omega '} { 2 \ pi}} {\ frac {\ rho _ {\ alpha \ beta} (\ omega ')} {- (\ omega + \ mathrm {i} \ eta) + \ omega'}}.}.$

Их свойства аналитичности идентичны. Доказательство проводится точно так же, за исключением того, что два матричных элемента больше не являются комплексно сопряженными.

Невзаимодействующий случай

Если выбранные конкретные одночастичные состояния являются "собственными состояниями одночастичной энергии", т. Е.

${\ displaystyle [H- \ mu N, \ psi _ {\ alpha} ^ {\ dagger}] = \ xi _ {\ alpha} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ dagger},}$

затем для собственного состояния: ${\ displaystyle | п \ rangle}$

${\ displaystyle (H- \ mu N) \ mid n \ rangle = E_ {n} \ mid n \ rangle,}$

так это: ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ mid n \ rangle}$

${\ Displaystyle (H- \ mu N) \ psi _ {\ alpha} \ mid n \ rangle = (E_ {n} - \ xi _ {\ alpha}) \ psi _ {\ alpha} \ mid n \ rangle, }$

и так это: ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ mid n \ rangle}$

${\ Displaystyle (H- \ mu N) \ psi _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ mid n \ rangle = (E_ {n} + \ xi _ {\ alpha}) \ psi _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ mid n \ rangle.}$

Поэтому у нас есть

${\ Displaystyle \ langle m \ mid \ psi _ {\ alpha} \ mid n \ rangle \ langle n \ mid \ psi _ {\ beta} ^ {\ dagger} \ mid m \ rangle = \ delta _ {\ xi _ {\ alpha}, \ xi _ {\ beta}} \ delta _ {E_ {n}, E_ {m} + \ xi _ {\ alpha}} \ langle m \ mid \ psi _ {\ alpha} \ mid n \ rangle \ langle n \ mid \ psi _ {\ beta} ^ {\ dagger} \ mid m \ rangle.}$

Затем мы переписываем

${\ displaystyle \ rho _ {\ alpha \ beta} (\ omega) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {m, n} 2 \ pi \ delta (\ xi _ {\ alpha} - \ omega) \ delta _ {\ xi _ {\ alpha}, \ xi _ {\ beta}} \ langle m \ mid \ psi _ {\ alpha} \ mid n \ rangle \ langle n \ mid \ psi _ {\ beta} ^ {\ dagger} \ mid m \ rangle \ mathrm {e} ^ {- \ beta E_ {m}} \ left (1- \ zeta \ mathrm {e} ^ {- \ beta \ xi _ {\ alpha}} \ right),}$

следовательно

${\ displaystyle \ rho _ {\ alpha \ beta} (\ omega) = {\ frac {1} {\ mathcal {Z}}} \ sum _ {m} 2 \ pi \ delta (\ xi _ {\ alpha} - \ omega) \ delta _ {\ xi _ {\ alpha}, \ xi _ {\ beta}} \ langle m \ mid \ psi _ {\ alpha} \ psi _ {\ beta} ^ {\ dagger} \ mathrm {e} ^ {- \ beta (H- \ mu N)} \ mid m \ rangle \ left (1- \ zeta \ mathrm {e} ^ {- \ beta \ xi _ {\ alpha}} \ right), }$

использовать

${\ displaystyle \ langle m \ mid \ psi _ {\ alpha} \ psi _ {\ beta} ^ {\ dagger} \ mid m \ rangle = \ delta _ {\ alpha, \ beta} \ langle m \ mid \ zeta \ psi _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ psi _ {\ alpha} +1 \ mid m \ rangle}$

и тот факт, что термическое среднее числового оператора дает функцию распределения Бозе – Эйнштейна или Ферми – Дирака.

Наконец, спектральная плотность упрощается и дает

${\ displaystyle \ rho _ {\ alpha \ beta} = 2 \ pi \ delta (\ xi _ {\ alpha} - \ omega) \ delta _ {\ alpha \ beta},}$

так что тепловая функция Грина

${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {\ alpha \ beta} (\ omega _ {n}) = {\ frac {\ delta _ {\ alpha \ beta}} {- \ mathrm {i} \ omega _ {n} + \ xi _ {\ beta}}}}$

а запаздывающая функция Грина равна

${\ displaystyle G _ {\ alpha \ beta} (\ omega) = {\ frac {\ delta _ {\ alpha \ beta}} {- (\ omega + \ mathrm {i} \ eta) + \ xi _ {\ beta }}}.}$

Обратите внимание, что невзаимодействующая функция Грина диагональна, но во взаимодействующем случае это не так.

• Теорема флуктуации
• Отношения Грина – Кубо
• Функция линейного отклика
• Уравнение Линдблада
• Пропагатор
• Корреляционная функция (квантовая теория поля)
• Численно-аналитическое продолжение

Книги

• Бонч-Бруевич В.Л., Тябликов С.В. (1962): Метод функции Грина в статистической механике. North Holland Publishing Co.
• Абрикосов, А.А., Горьков, Л.П., Дзялошинский, И.Е. (1963): Методы квантовой теории поля в статистической физике Энглвудские скалы: Прентис-Холл.
• Негеле, Дж. У. и Орланд, Х. (1988): Квантовые системы многих частиц, Аддисон-Уэсли.
• Зубарев Д.Н., Морозов В., Ропке Г. (1996): Статистическая механика неравновесных процессов: основные понятия, кинетическая теория (том 1). Джон Вили и сыновья. ISBN   3-05-501708-0.
• Мэттак Ричард Д. (1992), Руководство по диаграммам Фейнмана в проблеме многих тел, Dover Publications, ISBN   0-486-67047-3.

Статьи

• Боголюбов Н.Н., Тябликов С.В. Запаздывающие и расширенные функции Грина в статистической физике, Докл. 4, стр. 589 (1959).
• Зубарев Д. Н., Двухвременные функции Грина в статистической физике, УМН 3 (3), 320–345 (1960).

• Функции линейного отклика у Евы Паварини, Эрика Коха, Дитера Фоллхардта и Александра Лихтенштейна (редакторы): DMFT в 25: бесконечные измерения, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN   978-3-89336-953-9