Линдбладиан

Марковское квантовое главное уравнение для матриц плотности (смешанные состояния)

В квантовой механике Уравнение Горини – Косаковского – Сударшана – Линдблада (уравнение ГКСЛ, названное в честь, Анджей Косаковски, Джордж Сударшан и Горан Линдблад ), основное уравнение в форме Линдблада, квантовое лиувиллианское или линдбладианское является наиболее общим типом марковского и основное уравнение, описывающее (в общем, неунитарное) эволюцию матрицы плотности ρ, которая сохраняет законы квантовой механики (т. е. сохраняет след и полностью положительна для любое начальное условие).

Уравнение Шредингера является частным случаем более общего уравнения Линдблада, которое привело к некоторым предположениям, что квантовая механика может быть продуктивно расширена и расширена за счет дальнейшего применения и анализ уравнения Линдблада. Уравнение Шредингера имеет дело с векторами состояний, которые могут описывать только чистые квантовые состояния и, таким образом, являются менее общими, чем матрицы плотности, которые могут описывать смешанные состояния. тоже.

• 1 Мотивация
• 2 Определение
  • 2.1 Квантовая динамическая полугруппа
  • 2.2 Свойства инвариантности
  • 2.3 Картинка Гейзенберга
• 3 Физическое происхождение
• 4 Примеры
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

В канонической формулировке квантовой механики эволюция системы во времени определяется унитарной динамикой. Это означает, что затухания нет и фазовая когерентность сохраняется на протяжении всего процесса, и является следствием того, что учитываются все участвующие степени свободы. Однако любая реальная физическая система не является абсолютно изолированной и будет взаимодействовать со своим окружением. Это взаимодействие со степенями свободы, внешними по отношению к системе, приводит к рассеиванию энергии в окружающую среду, вызывая распад и рандомизацию фазы. Эти эффекты являются причиной того, что квантовую механику трудно наблюдать в макроскопическом масштабе. Более того, понимание взаимодействия квантовой системы с окружающей средой необходимо для понимания многих обычно наблюдаемых явлений, таких как спонтанное излучение света возбужденными атомами или работа многих квантовых технологических устройств, таких как лазер.

Некоторые математические методы были введены для изучения взаимодействия квантовой системы с окружающей средой. Одним из них является использование матрицы плотности и связанного с ней основного уравнения. Хотя в принципе этот подход к решению квантовой динамики эквивалентен картине Шредингера или картине Гейзенберга, он позволяет более легко включить несвязные процессы, которые представляют собой взаимодействия с окружающей средой. Оператор плотности обладает тем свойством, что он может представлять классическую смесь квантовых состояний, и поэтому жизненно важен для точного описания динамики так называемых открытых квантовых систем.

В более общем плане основное уравнение Линдблада для матрицы плотности ρ N-мерной системы может быть записано как (для педагогического введения вы можете обратиться к)

$\rho \; \dot{}\; =\; -\; я\; \hslash \; [H,\; \rho ]\; +\; \sum \; N,\; m\; =\; 1\; N\; 2\; -\; 1\; hnm\; (A\; n\; \rho \; A\; m\; †\; -\; 1\; 2\; \{A\; m\; †\; A\; n,\; \rho \})\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; rho\}\}\; =\; -\; \{i\; \backslash \; over\; \backslash \; hbar\}\; [H,\; \backslash \; rho]\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n,\; m\; =\; 1\}\; ^\; \{N\; ^\; \{2\}\; -1\}\; h\_\; \{nm\}\; \backslash \; left\; (A\_\; \{n\}\; \backslash \; rho\; A\_\; \{m\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{A\_\; \{m\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; A\_\; \{n\},\; \backslash \; rho\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; right)\}$

где H - (эрмитова ) гамильтонова часть, а $\{A\; m\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{A\_\; \{m\}\; \backslash \}\}$- произвольный ортонормированный базис операторов Гильберта-Шмидта на гильбертовом пространстве системы с ограничением, что A N пропорционально тождественному оператору. Наше соглашение подразумевает, что другие A m не имеют следов, и обратите внимание, что суммирование выполняется только до N - 1, таким образом исключая единственную базисную матрицу с ненулевым следом. Матрица коэффициентов h вместе с гамильтонианом определяет динамику системы. Матрица h должна быть положительно полуопределенной, чтобы гарантировать, что уравнение сохраняет след и полностью положительно. антикоммутатор определяется как $\{a,\; b\}\; =\; a\; b\; +\; b\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{a,\; b\; \backslash \}\; =\; ab\; +\; ba.\}$

Если все h mn равны нулю, то это сводится к квантовому уравнению Лиувилля для замкнутого система, $\rho \; \dot{}\; знак\; равно\; -\; (я\; /\; \hslash )\; [H,\; \rho ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; rho\}\}\; =\; -\; (i\; /\; \backslash \; HBAR)\; [H,\; \backslash \; rho]\}$. Это также известно как уравнение фон Неймана и является квантовым аналогом классического уравнения Лиувилля.

. Поскольку матрица h положительно полуопределенная, ее можно диагонализовать с помощью унитарного преобразование u:

$u\; †\; hu\; =\; [\gamma \; 1\; 0\; \cdots \; 0\; 0\; \gamma \; 2\; \cdots \; 0\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; 0\; 0\; \cdots \; \gamma \; N\; 2\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; hu\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; 0\; \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; gamma\; \_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; cdots\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\; N\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

где собственные значения γ i неотрицательны. Если мы определим базис другого ортонормированного оператора

$L\; i\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; N\; 2\; -\; 1\; uji\; A\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\; ^\; \{2\}\; -1\}\; u\_\; \{ji\}\; A\_\; \{j\}\}$

мы можем переписать уравнение Линдблада в диагональной форме

$\rho \; \dot{}\; =\; -\; i\; \hslash \; [H,\; \rho ]\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; 2\; -\; 1\; \gamma \; i\; (L\; i\; \rho \; L\; i\; †\; -\; 1\; 2\; \{L\; i\; †\; L\; i,\; \rho \}).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; точка\; \{\backslash \; rho\}\}\; =\; -\; \{я\; \backslash \; над\; \backslash \; hbar\}\; [H,\; \backslash \; rho]\; +\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{N\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{я\; \}\; \backslash \; left\; (L\_\; \{i\}\; \backslash \; rho\; L\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{L\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; L\_\; \{i\},\; \backslash \; rho\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; right).\}$

Новые операторы L i обычно называют операторами Линдблада или операторами перехода системы.

Квантовая динамическая полугруппа

Карты, сгенерированные линдбладианом за разное время, вместе называются квантовой динамической полугруппой - семейством квантовых динамических отображений $\varphi \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{t\}\}$на пространстве матриц плотности, индексированных одним временным параметром $t\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; geq\; 0\}$, которые подчиняются полугруппе свойству

$\varphi \; s\; (\varphi \; t\; (\rho ))\; =\; \varphi \; t\; +\; s\; (\rho ),\; t,\; s\; \ge \; 0.\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{s\}\; (\backslash \; phi\; \_\; \{t\}\; (\backslash \; rho))\; =\; \backslash \; phi\; \_\; \{t\; +\; s\}\; (\backslash \; rho),\; \backslash \; qquad\; t,\; s\; \backslash \; geq\; 0.\}$

Уравнение Линдблада можно получить следующим образом:

$L\; (\rho )\; =\; lim\; \Delta \; t\; \to \; 0\; \varphi \; \Delta \; t\; (\rho )\; -\; \varphi \; 0\; (\rho )\; \Delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (\backslash \; rho)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{lim\; \}\; \_\; \{\backslash \; Delta\; t\; \backslash \; to\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; \_\; \{\backslash \; Delta\; t\}\; (\backslash \; rho)\; -\; \backslash \; phi\; \_\; \{0\}\; (\backslash \; rho)\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\}$

который, по линейности $\varphi \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{t\}\}$, является линейным супероператором. Полугруппа восстанавливается как

$\varphi \; t\; +\; s\; (\rho )\; =\; e\; L\; s\; \varphi \; t\; (\rho ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{t\; +\; s\}\; (\backslash \; rho)\; =\; e\; ^\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; s\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{t\}\; (\backslash \; rho).\}$

Свойства инвариантности

Уравнение Линдблада инвариантно относительно любого унитарного преобразования v операторов и констант Линдблада,

$\gamma \; i\; L\; i\; \to \; \gamma \; i\; \prime \; L\; i\; \prime \; =\; \sum \; j\; =\; 1\; N\; 2\; -\; 1\; vij\; \gamma \; j\; L\; j,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{\backslash \; gamma\; \_\; \{i\}\}\}\; L\_\; \{i\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; gamma\; \_\; \{i\}\; \text{'}\}\}\; L\_\; \{i\}\text{'}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\; ^\; \{2\; \}\; -1\}\; v\_\; \{ij\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; gamma\; \_\; \{j\}\}\}\; L\_\; \{j\},\}$

, а также при неоднородном преобразовании

$L\; i\; \to \; L\; i\; \prime \; =\; L\; i\; +\; ai\; I,\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{i\}\; \backslash \; к\; L\_\; \{i\}\; \text{'}=\; L\_\; \{i\}\; +\; a\_\; \{i\}\; I,\}$

$H\; \to \; H\text{'}\; =\; H\; +\; 1\; 2\; я\; \sum \; j\; =\; 1\; N\; 2\; -\; 1\; \gamma \; j\; (aj\; \ast \; L\; j\; -\; aj\; L\; j\; †)\; +\; b\; I,\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash \; to\; H\; \text{'}=\; H\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2i\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\; ^\; \{2\; \}\; -1\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{j\}\; \backslash \; left\; (a\_\; \{j\}\; ^\; \{*\}\; L\_\; \{j\}\; -a\_\; \{j\}\; L\_\; \{j\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; right)\; +\; bI,\}$

где a i - комплексные числа, а b - действительное число. Однако первое преобразование нарушает ортонормированность операторов L i (если все γ i не равны), а второе преобразование уничтожает бесследовательность. Следовательно, с точностью до вырождения среди γ i, L i диагональной формы уравнения Линдблада однозначно определяются динамикой, если мы требуем, чтобы они были ортонормированными и бесследными..

Картинка Гейзенберга

Эволюция типа Линдблада матрицы плотности на картине Шредингера может быть эквивалентно описана на картинке Гейзенберга, используя следующее (диагонализованное) уравнение движения для каждой квантовой наблюдаемой X:

$X\; \dot{}\; =\; i\; \hslash \; [H,\; X]\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; N\; 2\; -\; 1\; \gamma \; i\; (L\; i\; †\; XL\; i\; -\; 1\; 2\; \{L\; i\; †\; L\; i,\; X\}).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{X\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; [H,\; X]\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\; i\}\; \backslash \; left\; (L\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; XL\_\; \{i\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{L\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; L\_\; \{i\},\; X\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; right).\}$

Подобное уравнение описывает временную эволюцию ожидаемых значений наблюдаемых, задаваемых теоремой Эренфеста. В соответствии со свойством сохранения следа уравнения Линдблада изображения Шредингера уравнение изображения Гейзенберга является унитальным, т.е. оно сохраняет тождественный оператор.

Основное уравнение Линдблада описывает эволюцию различных типов открытых квантовых систем, например система, слабо связанная с марковским резервуаром. Обратите внимание, что H, фигурирующая в уравнении, не обязательно совпадает с гамильтонианом затравочной системы, но также может включать эффективную унитарную динамику, возникающую в результате взаимодействия системы и окружающей среды.

Эвристический вывод, например, в примечаниях Прескилла, начинается с более общей формы открытой квантовой системы и преобразует ее в форму Линдблада, делая марковское предположение и расширяясь за короткое время. Более физически мотивированная стандартная трактовка охватывает три общих типа выводов линдбладиана, начиная с гамильтониана, действующего как на систему, так и на окружающую среду: предел слабой связи (подробно описанный ниже), приближение низкой плотности и предел сингулярной связи. Каждый из них основан на определенных физических предположениях, касающихся, например, корреляционных функций окружающей среды. Например, при выводе предела слабой связи обычно предполагается, что (а) корреляции системы с окружающей средой развиваются медленно, (б) возбуждения среды, вызванные распадом системы, и (в) члены, которые быстро осциллируют. по сравнению с интересующей системой шкалой времени можно пренебречь. Эти три приближения называются борновской, марковской и вращающейся волной соответственно.

Вывод предела слабой связи предполагает квантовую систему с конечным числом степеней свободы, соединенную с термостатом, содержащим бесконечное количество степеней свободы. свобода. Система и ванна обладают гамильтонианом, записанным в терминах операторов, действующих только на соответствующем подпространстве полного гильбертова пространства. Эти гамильтонианы управляют внутренней динамикой несвязанной системы и ванны. Существует третий гамильтониан, который содержит произведения операторов системы и ванны, таким образом связывая систему и ванну. Самая общая форма этого гамильтониана:

$H\; =\; HS\; +\; HB\; +\; HBS\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; H\_\; \{S\}\; +\; H\_\; \{B\}\; +\; H\_\; \{BS\}\; \backslash ,\}$

Динамика всей системы может описывается уравнением движения Лиувилля, $\chi \; \dot{}\; =\; -\; i\; [H,\; \chi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; chi\}\}\; =\; -\; i\; [H,\; \backslash \; chi]\}$. Это уравнение, содержащее бесконечное количество степеней свободы, невозможно решить аналитически, за исключением очень частных случаев. Более того, при определенных приближениях нет необходимости рассматривать степени свободы ванны, и эффективное главное уравнение может быть получено в терминах матрицы плотности системы, $\rho \; =\; tr\; B\; \; \chi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \_\; \{B\}\; \backslash \; chi\}$. Проблему легче проанализировать, перейдя к картине взаимодействия, определяемой унитарным преобразованием $M\; ~\; =\; U\; 0\; MU\; 0\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{M\}\}\; =\; U\_\; \{0\}\; MU\_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$, где $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- произвольный оператор, а $U\; 0\; =\; ei\; (HS\; +\; HB)\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{0\}\; =\; e\; ^\; \{i\; (H\_\; \{S\}\; +\; H\_\; \{B\})\; t\}\}$. Также обратите внимание, что $U\; (t,\; t\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (t,\; t\_\; \{0\})\}$является полным унитарным оператором всей системы. Несложно подтвердить, что уравнение Лиувилля принимает вид

$\chi \; ~\; \dot{}\; =\; -\; i\; [H\; ~\; BS,\; \chi \; ~]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; chi\}\}\}\; =\; -\; i\; [\{\backslash \; tilde\; \{\; H\}\}\; \_\; \{BS\},\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; chi\}\}]\; \backslash ,\}$

где гамильтониан $H\; ~\; BS\; =\; ei\; (HS\; +\; HB)\; t\; HBS\; e\; -\; i\; (HS\; +\; HB)\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{H\}\}\; \_\; \{BS\}\; =\; e\; ^\; \{i\; (H\_\; \{S\}\; +\; H\_\; \{B\})\; t\}\; H\_\; \{BS\}\; e\; ^\; \{-\; i\; (H\_\; \{S\}\; +\; H\_\; \{B\; \})\; t\}\}$явно зависит от времени. Кроме того, согласно изображению взаимодействия, $\chi \; ~\; =\; UBS\; (t,\; t\; 0)\; \chi \; UBS\; †\; (t,\; t\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; chi\}\}\; =\; U\_\; \{BS\}\; (t,\; t\_\; \{0\})\; \backslash \; чи\; U\_\; \{BS\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (t,\; t\_\; \{0\})\}$, где $UBS\; =\; U\; 0\; †\; U\; (t,\; t\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{BS\}\; =\; U\_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; U\; (t,\; t\_\; \{0\})\}$. Это уравнение можно интегрировать напрямую, чтобы получить

$\chi \; ~\; (t)\; =\; \chi \; ~\; (0)\; -\; i\; \int \; 0\; tdt\; \prime \; [H\; ~\; BS\; (t\; \prime ),\; \chi \; ~\; (t\; \prime )]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; chi\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; chi\}\}\; (0)\; -i\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; dt\; \text{'}[\{\backslash \; tilde\; \{H\}\}\; \_\; \{BS\}\; (t\text{'}),\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; chi\}\}\; (t\; \text{'})]\}$

Это неявное уравнение для $\chi \; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; chi\}\}\}$можно снова подставить в уравнение Лиувилля для получения точного дифференциально-интегрального уравнения

$\chi \; ~\; \dot{}\; =\; -\; i\; [H\; ~\; BS,\; \chi \; ~\; (0)]\; -\; \int \; 0\; tdt\; \prime \; [H\; ~\; BS\; (t),\; [H\; ~\; BS\; (t\; \prime ),\; {\rm X}\; ~\; (t\; \prime )]]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; chi\}\}\}\; =\; -\; я\; [\{\backslash \; tilde\; \{H\}\}\; \_\; \{BS\},\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; chi\}\}\; (0)]\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; dt\; \text{'}[\{\backslash \; tilde\; \{H\}\}\; \_\; \{BS\}\; (t),\; [\{\backslash \; tilde\; \{H\}\}\; \_\; \{BS\}\; (t\text{'}),\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; chi\}\}\; (t\; \text{'})]]\}$

Мы продолжаем вывод, предполагая, что взаимодействие инициируется в $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0\}$, и в то время нет корреляции между системой и ванной. Это означает, что начальное условие факторизуемо как $\chi \; (0)\; =\; \rho \; (0)\; R\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (0)\; =\; \backslash \; rho\; (0)\; R\_\; \{0\}\}$, где $R\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{0\}\}$изначально является оператором плотности ванны.

Трассировка по степеням свободы ванны, $tr\; R\; \; \chi \; ~\; =\; \rho \; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \_\; \{R\}\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; chi\}\}\; =\; \{\backslash \; tilde\; \{\; \backslash \; rho\}\}\}$вышеупомянутого дифференциально-интегрального уравнения дает

$\rho \; ~\; \dot{}\; =\; -\; \int \; 0\; tdt\; \prime \; tr\; R\; \; \{[H\; ~\; BS\; (t),\; [H\; ~\; BS\; (t\; \prime ),\; {\rm X}\; ~\; (t\; \prime )]]\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; rho\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; dt\; \text{'}\backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \_\; \{R\}\; \backslash \; \{[\{\backslash \; tilde\; \{H\}\}\; \_\; \{BS\}\; (t),\; [\{\backslash \; tilde\; \{H\}\}\; \_\; \{BS\}\; (t\; \text{'}),\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; chi\}\}\; (t\text{'})]]\; \backslash \; \}\}$

Это уравнение является точным для временной динамики матрицы плотности системы, но требует полного знания динамики степеней свободы ванны. Упрощающее допущение, называемое приближением Борна, основывается на большом размере ванны и относительной слабости связи, то есть связь системы с ванной не должна существенно изменять собственные состояния ванны. В этом случае полная матрица плотности может быть разложена на все времена как $\chi \; ~\; (t)\; =\; \rho \; ~\; (t)\; R\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; chi\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; rho\; \}\}\; (t)\; R\_\; \{0\}\}$. Основное уравнение принимает вид

$\rho \; ~\; \dot{}\; =\; -\; \int \; 0\; tdt\; \prime \; tr\; R\; \; \{[H\; ~\; BS\; (t),\; [H\; ~\; BS\; (t\; \prime ),\; \rho \; ~\; (t\; \prime )\; R\; 0]]\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; rho\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; dt\; \text{'}\backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \_\; \{R\}\; \backslash \; \{[\{\backslash \; tilde\; \{H\}\}\; \_\; \{BS\}\; (t),\; [\{\backslash \; tilde\; \{H\}\}\; \_\; \{BS\}\; (t\; \text{'}),\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; rho\}\}\; (t\text{'})\; R\_\; \{0\}]]\; \backslash \}\}$

Теперь уравнение явное в системе степеней свободы, но это очень сложно решить. Последним предположением является приближение Борна-Маркова, согласно которому производная по времени матрицы плотности зависит только от ее текущего состояния, а не от ее прошлого. Это предположение справедливо при быстрой динамике ванны, когда корреляции внутри ванны теряются очень быстро, и сводится к замене $\rho \; (t\; \text{'})\; \to \; \rho \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (t\text{'})\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; rho\; (\; t)\}$в правой части уравнения.

$\rho \; ~\; \dot{}\; =\; -\; \int \; 0\; tdt\; \prime \; tr\; R\; \; \{[H\; ~\; BS\; (t),\; [H\; ~\; BS\; (t\; \prime ),\; \rho \; ~\; (t)\; R\; 0]]\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\; \backslash \; tilde\; \{\backslash \; rho\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; dt\; \text{'}\backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \_\; \{R\}\; \backslash \; \{[\{\backslash \; tilde\; \{H\}\}\; \_\; \{BS\}\; (t),\; [\; \{\backslash \; tilde\; \{H\}\}\; \_\; \{BS\}\; (t\; \text{'}),\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; rho\}\}\; (t)\; R\_\; \{0\}]]\; \backslash \}\}$

Если предположить, что гамильтониан взаимодействия имеет вид

$HBS\; =\; \sum \; \alpha \; я\; \Gamma \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{BS\}\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{i\}\}$

для системных операторов $\alpha \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{\; i\}\}$и операторы ванны $\Gamma \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{i\}\}$, основное уравнение принимает вид

$\rho \; ~\; \dot{}\; =\; -\; \sum \; \int \; 0\; tdt\; \prime \; Тр\; р\; \; \{[\alpha \; я\; (t)\; \Gamma \; я\; (t),\; [\alpha \; j\; (t\; \prime )\; \Gamma \; j\; (t\; \prime ),\; \rho \; ~\; (t)\; R\; 0]]\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; rho\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; sum\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; dt\; \text{'}\backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \_\; \{R\}\; \backslash \; \{[\backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; (t)\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{i\}\; (\; t),\; [\backslash \; alpha\; \_\; \{j\}\; (t\; \text{'})\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j\}\; (t\text{'}),\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; rho\}\}\; (t)\; R\_\; \{0\}]]\; \backslash \}\}$

который может раскладывается как

$\rho \; ~\; \dot{}\; =\; -\; \sum \; \int \; 0\; tdt\; \prime \; (\alpha \; i\; (t)\; \alpha \; j\; (t\; \prime )\; \rho \; -\; \alpha \; j\; (t\; \prime )\; \rho \; (t)\; \alpha \; i\; (t))\; ⟨\Gamma \; i\; (\; t)\; \Gamma \; j\; (t\; \prime )⟩\; +\; (\rho \; (t)\; \alpha \; J\; (T\; \prime )\; \alpha \; я\; (T)\; -\; \alpha \; I\; (T)\; \rho \; (t)\; \alpha \; J\; (t\; \prime ))\; ⟨\Gamma \; j\; (t\; \prime )\; \Gamma \; i\; (t)⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; tilde)\; \{\backslash \; rho\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; sum\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; dt\; \text{'}\backslash \; left\; (\backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; (t)\; \backslash \; alpha\; \_\; \{j\}\; (t\text{'})\; \backslash \; rho\; -\; \backslash \; alpha\; \_\; \{j\}\; (t\; \text{'})\; \backslash \; rho\; (t)\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; (t)\; \backslash \; right)\; \backslash \; langle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{i\}\; (t)\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j\}\; (t\text{'})\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; left\; (\backslash \; rho\; (t)\; \backslash \; alpha\; \_\; \{j\}\; (t\; \text{'})\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; (t)\; -\; \backslash \; alpha\; \_\; \{i\}\; (t)\; \backslash \; rho\; (t)\; \backslash \; alpha\; \_\; \{j\}\; (t\text{'})\; \backslash \; right)\; \backslash \; langle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j\}\; (t\; \text{'})\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{i\}\; (t)\; \backslash \; rangle\}$

Ожидаемые значения $⟨\Gamma \; i\; \Gamma \; j⟩\; =\; tr\; \; \{\Gamma \; i\; \Gamma \; j\; R\; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{i\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j\}\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; operatorname\; \{tr\}\; \backslash \; \{\backslash \; Gamma\; \_\; \{i\}\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j\}\; R\_\; \{0\}\; \backslash \}\}$относятся к степеням свободы ванны. Предполагая быстрое затухание этих корреляций (в идеале $⟨\Gamma \; i\; (t)\; \Gamma \; j\; (t\; \prime )⟩\; \propto \; \delta \; (t\; -\; t\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{i\}\; (t)\; \backslash \; Gamma\; \_\; \{j\}\; (t\; \text{'})\; \backslash \; rangle\; \backslash \; propto\; \backslash \; delta\; (t-t\text{'})\}$) достигается указанная выше форма супероператора Lindblad L.

Для одного $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$и без единой эволюции супероператор Lindblad , действующий на матрица плотности $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$, равно

$D\; [F]\; (\rho )\; =\; F\; \rho \; F\; †\; -\; 1\; 2\; (F\; †\; F\; \rho \; +\; \rho \; F\; †\; F)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; [F]\; (\backslash \; rho)\; =\; F\; \backslash \; rho\; F\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (F\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; F\; \backslash \; rho\; +\; \backslash \; rho\; F\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; F\; \backslash \; right)\}$

Такой член регулярно встречается в уравнении Линдблада, используемом в квантовой оптике, где он может выражать поглощение или излучение фотоны из резервуара. Если кто-то хочет иметь и поглощение, и излучение, для каждого потребуется оператор перехода. Это приводит к наиболее распространенному уравнению Линдблада, описывающему затухание квантового гармонического осциллятора (представляющего, например, резонатор Фабри – Перо ), соединенного с термостатом, с операторы скачка

$F\; 1\; =\; a,\; \gamma \; 1\; =\; \gamma \; 2\; (n\; ¯\; +\; 1),\; F\; 2\; =\; a\; †,\; \gamma \; 2\; =\; \gamma \; 2\; n\; ¯.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; F\_\; \{1\}\; =\; a,\; \backslash \; gamma\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; gamma\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; overline\; \{n\}\}\; +\; 1\; \backslash \; справа),\; \backslash \backslash \; F\_\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\},\; \backslash \; gamma\; \_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{\backslash \; gamma\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{n\}\}.\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

Здесь $n\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{n\}\}\}$- это среднее число возбуждений в резервуаре, подавляющее осциллятор, а γ - скорость затухания. Если мы также добавим дополнительную унитарную эволюцию, генерируемую квантовым гармоническим осциллятором с частотой $\omega \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\}$, мы получим

$\rho \; \dot{}\; =\; -\; i\; [\omega \; ca\; †\; a,\; \rho ]\; +\; D\; [F\; 1]\; (\rho )\; +\; D\; [F\; 2]\; (\rho ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; rho\}\}\; =\; -\; я\; [\backslash \; omega\; \_\; \{c\}\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a,\; \backslash \; rho]\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; [F\_\; \{1\}]\; (\backslash \; rho)\; +\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; [F\_\; \{2\}]\; (\backslash \; rho).\}$

Дополнительные операторы Линдблада могут быть включены для моделирования различных форм дефазировки и колебательной релаксации. Эти методы были включены в методы распространения матрицы плотности на основе сетки.

• Квантовое главное уравнение
• Уравнение Редфилда
• Открытая квантовая система
• Метод квантового скачка

• Хрушинский, Дариуш; Паскацио, Саверио. «Краткая история уравнения ГКЛС». arXiv : 1710.05993.
• Косаковский, А. (1972). «О квантовой статистической механике негамильтоновых систем». Rep. Math. Phys. 3 (4): 247. Bibcode : 1972RpMP.... 3..247K. doi : 10.1016 / 0034-4877 (72) 90010-9.
• Белавин, A.A.; Зельдович, Б. Я.; Переломов, А.М.; Попов, В. (1969). «Релаксация квантовых систем с эквидистантными спектрами». ЖЭТФ. 29 : 145. Bibcode : 1969JETP... 29..145B.
• Линдблад, Г. (1976). «О генераторах квантовых динамических полугрупп». Commun. Математика. Phys. 48 (2): 119. Bibcode : 1976CMaPh..48..119L. doi : 10.1007 / BF01608499.
• Gorini, V.; Косаковский, А.; Сударшан, E.C.G. (1976). «Вполне положительные полугруппы N-уровневых систем». J. Math. Phys. 17 (5): 821. Bibcode : 1976JMP.... 17..821G. doi : 10.1063 / 1.522979.
• Banks, T.; Сасскинд, Л.; Пескин, М.Е. (1984). «Трудности эволюции чистых состояний в смешанные». Ядерная физика Б. 244 : 125–134. Bibcode : 1984NuPhB.244..125B. doi : 10.1016 / 0550-3213 (84) 90184-6.
• Аккарди, Луиджи; Лу, Юнь Ган; Волович, И. (2002). Квантовая теория и ее стохастический предел. Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-3-5404-1928-0.
• Алики, Роберт. «Приглашение в квантовые динамические полугруппы». arXiv : Quant-ph / 0205188.
• Алики, Роберт; Ленди, Карл (1987). Квантовые динамические полугруппы и приложения. Берлин: Springer Verlag. ISBN 978-0-3871-8276-6.
• Атталь, Стефан; Джой, Ален; Пилле, Клод-Ален (2006). Открытые квантовые системы II: марковский подход. Springer. ISBN 978-3-5403-0992-5.
• Gardiner, C.W.; Золлер, Питер (2010). Квантовый шум. Серия Спрингера в синергетике (3-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06094-6.
• Ingarden, Roman S.; Косаковский, А.; Охя, М. (1997). Информационная динамика и открытые системы: классический и квантовый подход. Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-4473-5.
• Линдблад, Г. (1983). Неравновесная энтропия и необратимость. Дордрехт: Дельта Рейдел. ISBN 1-4020-0320-X.; Comm. Математика. Phys. 48 (1976), 119-130. онлайн
• Тарасов, Василий Евгеньевич (2008). Квантовая механика негамильтоновых и диссипативных систем. Амстердам, Бостон, Лондон, Нью-Йорк: Elsevier Science. ISBN 978-0-0805-5971-1.
• Перл, П. (2012). «Простой вывод уравнения Линдблада». European Journal of Physics, 33 (4), 805.

• Quantum Optics Toolbox для Matlab
• mcsolve Решатель квантового прыжка (Монте-Карло) от QuTiP.
• QuantumOptics.jl набор инструментов квантовой оптики в Джулии.
• Основное уравнение Линдблада