Функция линейного отклика

редактировать

A Функция линейного отклика описывает ввод-вывод взаимосвязь преобразователя сигнала, такого как радио, превращающее электромагнитные волны в музыку или нейрон, превращающее синаптический вход в ответ. Из-за его многочисленных приложений в теории информации, физике и инженерии существуют альтернативные названия для конкретных функций линейного отклика, такие как восприимчивость, импульсная характеристика или импеданс, см. Также передаточная функция. Понятие функции Грина или фундаментального решения обыкновенного дифференциального уравнения тесно связано.

Содержание

  • 1 Математическое определение
  • 2 Пример
  • 3 Формула Кубо
  • 4 См. Также
  • 5 Ссылки
  • 6 Внешние ссылки

Математическое определение

Обозначение ввод системы посредством h (t) {\ displaystyle h (t)}h (t) (например, force ), а ответ системы посредством x (t) {\ displaystyle x (t)}x (t) (например, должность). Как правило, значение x (t) {\ displaystyle x (t)}x (t) будет зависеть не только от текущего значения h (t) {\ displaystyle h (t)}.h (t) , но и по прошлым значениям. Примерно x (t) {\ displaystyle x (t)}x (t) представляет собой взвешенную сумму предыдущих значений h (t ′) {\ displaystyle h (t ')}h(t')с весами, заданными функцией линейного отклика χ (t - t ′) {\ displaystyle \ chi (t-t ')}\chi (t-t'):

x (t) = ∫ - ∞ tdt ′ χ (t - t ′) h (t ′) +…. {\ displaystyle x (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {t} dt '\, \ chi (t-t') h (t ') + \ dots \,.}x(t)=\int _{{-\infty }}^{t}dt'\,\chi (t-t')h(t')+\dots \,.

явный термин справа находится член ведущего порядка в разложении Вольтерра для полного нелинейного отклика. Если рассматриваемая система сильно нелинейна, члены более высокого порядка в разложении, обозначенные точками, становятся важными, и преобразователь сигнала не может быть адекватно описан только его функцией линейного отклика.

Комплексное преобразование Фурье χ ~ (ω) {\ displaystyle {\ tilde {\ chi}} (\ omega)}{\ tilde {\ chi}} (\ omega) функция линейного отклика очень полезна, поскольку она описывает выходной сигнал системы, если входной сигнал является синусоидой h (t) = h 0 ⋅ sin ⁡ (ω t) {\ displaystyle h (t) = h_ {0} \ cdot \ sin (\ omega t)}h (t) = h_ {0} \ cdot \ sin (\ omega t) с частотой ω {\ displaystyle \ omega}\ omega . На выходе получается

x (t) = | х ~ (со) | ⋅ час 0 ⋅ грех ⁡ (ω T + arg ⁡ χ ~ (ω)), {\ displaystyle x (t) = | {\ tilde {\ chi}} (\ omega) | \ cdot h_ {0} \ cdot \ sin (\ omega t + \ arg {\ tilde {\ chi}} (\ omega)) \,,}x (t) = | {\ tilde {\ chi}} (\ omega) | \ cdot h_ {0} \ cdot \ sin (\ омега т + \ арг {\ тильда {\ чи}} (\ омега)) \,,

с усилением амплитуды | х ~ (со) | {\ displaystyle | {\ тильда {\ chi}} (\ omega) |}| {\ тильда {\ чи}} (\ омега) | и сдвиг фазы arg ⁡ χ ~ (ω) {\ displaystyle \ arg {\ тильда {\ chi}} (\ omega)}\ arg {\ tilde {\ chi}} (\ omega) .

Пример

Рассмотрим затухающий гармонический осциллятор с входом, заданным внешней движущей силой h (t) {\ displaystyle h (t)}h (t) ,

x ¨ (t) + γ x ˙ (t) + ω 0 2 x (t) = h (t). {\ displaystyle {\ ddot {x}} (t) + \ gamma {\ dot {x}} (t) + \ omega _ {0} ^ {2} x (t) = h (t). \,}{\ ddot {x}} (t) + \ gamma {\ dot {x}} (t) + \ omega _ {0} ^ {2} x (t) = h (t). \,

Комплекснозначное преобразование Фурье функции линейного отклика задается как

χ ~ (ω) = x ~ (ω) h ~ (ω) = 1 ω 0 2 - ω 2 + i γ ω. {\ displaystyle {\ tilde {\ chi}} (\ omega) = {\ frac {{\ tilde {x}} (\ omega)} {{\ tilde {h}} (\ omega)}} = {\ frac {1} {\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2} + i \ gamma \ omega}}. \,}{\ tilde {\ chi}} (\ omega) = {\ frac {{\ tilde {x}} (\ omega)} {{\ tilde {h}} (\ omega)}} = {\ frac {1} {\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2} + i \ gamma \ omega}}. \,

Прирост амплитуды определяется величиной комплексного числа χ ~ (ω), {\ displaystyle {\ tilde {\ chi}} (\ omega),}{\ tilde \ chi} (\ omega), и фазовый сдвиг на arctan мнимой части функции, деленной на действительную.

Из этого представления мы видим, что для малых γ {\ displaystyle \ gamma}\ gamma преобразование Фурье χ ~ (ω) {\ displaystyle {\ tilde {\ \ chi}} (\ omega)}{\ tilde {\ chi}} (\ omega) функции линейного отклика дает ярко выраженный максимум («Резонанс ») на частоте ω ≈ ω 0 {\ displaystyle \ omega \ примерно \ omega _ {0}}\ omega \ приблизительно \ omega _ {0} . Функция линейного отклика для гармонического генератора математически идентична функции цепи RLC. Ширина максимума , Δ ω, {\ displaystyle, \ Delta \ omega,}, \ Delta \ omega, обычно намного меньше, чем ω 0, {\ displaystyle \ omega _ {0},}\ omega _ {0}, так, чтобы Фактор качества S: = ω 0 / Δ ω {\ displaystyle S: = \ omega _ {0} / \ Delta \ omega}S: = \ omega _ {0} / \ Дельта \ omega может быть очень большим.

Формула Кубо

Изложение теории линейного отклика в контексте квантовой статистики можно найти в статье Риого Кубо. Это, в частности, определяет формулу Кубо, которая рассматривает общий случай, когда «сила» h (t) является возмущением основного оператора системы, гамильтониана, H ^ 0 → H ^ 0 - час (t ′) B ^ (t ′) {\ displaystyle {\ hat {H}} _ {0} \ to {\ hat {H}} _ {0} -h (t ') {\ hat {B}} (t') \,}{\hat H}_{0}\to {\hat {H}}_{0}-h(t'){\hat {B}}(t')\,где B ^ {\ displaystyle {\ hat {B}}}{\ hat {B}} соответствует измеряемой величине в качестве входных данных, в то время как выход x (t) представляет собой возмущение теплового ожидания другой измеряемой величины A ^ (t) {\ displaystyle {\ hat {A}} (t)}{\ displaystyle { \ hat {A}} (t)} . Затем формула Кубо определяет квантово-статистический расчет восприимчивости χ (t - t ') {\ displaystyle \ chi (t-t')}\chi (t-t')с помощью общего формула, включающая только указанные операторы.

Как следствие принципа причинности комплекснозначная функция χ ~ (ω) {\ displaystyle {\ tilde {\ chi}} (\ omega)}{\ tilde {\ chi}} (\ omega) имеет полюса только в нижней полуплоскости. Это приводит к соотношению Крамерса – Кронига, которое связывает действительную и мнимую части χ ~ (ω) {\ displaystyle {\ tilde {\ chi}} (\ omega)}{\ tilde {\ chi}} (\ omega) путем интеграции. Самый простой пример - еще раз затухающий гармонический осциллятор.

См. Также

Ссылки

  1. ^Кубо Р. Статистическая механическая теория необратимых процессов I, Журнал физического общества Японии, т. 12. С. 570–586 (1957).
  2. ^Де Клозо, Теория линейного отклика, в: Э. Антончик и др., Теория конденсированного состояния, МАГАТЭ, Вена, 1968

Внешние ссылки

  • Функции линейного отклика в Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Воллхардт и Александр Лихтенштейн (ред.): DMFT в 25: бесконечные измерения, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN 978-3-89336-953-9
Последняя правка сделана 2021-05-27 10:32:12
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте