Энергия гравитационной связи

минимальная энергия для вывода системы из гравитационно-связанного состояния Скопления галактик являются крупнейшими известными гравитационно-связанными структурами в

гравитационная энергия связи системы - это минимальная энергия, которая должна быть добавлена ​​к ней, чтобы система перестала находиться в гравитационно связанном состоянии. Гравитационно связанная система имеет более низкую (т. Е. Более отрицательную) потенциальную гравитационную энергию, чем сумма энергий ее частей, когда они полностью разделены - это то, что сохраняет систему агрегированной в соответствии с принципом минимальной полной потенциальной энергии.

Для сферического тела с однородной плотностью гравитационная энергия связи U определяется формулой

$U\; =\; 3\; GM\; 2\; 5\; R\; \{\; \backslash \; displaystyle\; U\; =\; \{\backslash \; frac\; \{3GM\; ^\; \{2\}\}\; \{5R\}\}\}$

где G - гравитационная постоянная, M - масса сферы, а R - ее радиус.

Предполагая, что Земля является сферой однородной плотности (что не так, но достаточно близко, чтобы получить оценку порядка ) с M = 5,97 × 10 кг и r = 6,37 × 10 м, тогда U = 2,24 × 10 Дж. Это примерно равно одной неделе полного выхода энергии Солнца. Это 37,5 МДж / кг, 60% от абсолютного значения потенциальной энергии на килограмм у поверхности.

Фактическая зависимость плотности от глубины, полученная из времени прохождения сейсмических волн (см. уравнение Адамса – Вильямсона ), приведена в Предварительной эталонной модели Земли (PREM). Используя это, реальная гравитационная энергия связи Земли может быть вычислена численно как U = 2,49 × 10 Дж.

Согласно теореме вириала, гравитационная энергия связи звезды примерно вдвое превышает ее внутреннюю тепловую энергию, чтобы поддерживать гидростатическое равновесие. Поскольку газ в звезде становится более релятивистским, гравитационная энергия связи, необходимая для гидростатического равновесия, приближается к нулю, и звезда становится нестабильной (очень чувствительной к возмущениям), что может привести к сверхновой в случае звезды большой массы из-за сильного радиационного давления или черной дыры в случае нейтронной звезды.

• 1 Вывод для однородной сферы
• 2 Отрицательная составляющая массы
• 3 Неоднородные сферы
• 4 См. также
• 5 Ссылки

Гравитационная энергия связи сфера с радиусом $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$находится, если представить, что она раздвигается в результате последовательного перемещения сферических оболочек на бесконечность, самая внешняя первая, и определения полной энергии, необходимой для этого.

При постоянной плотности $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$массы оболочки и сферы внутри нее:

$mshell\; =\; 4\; \pi \; r\; 2\; \rho \; dr\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{shell\}\}\; =\; 4\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho\; \backslash ,\; dr\}$и $minterior\; =\; 4\; 3\; \pi \; r\; 3\; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{inner\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\}\}\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{3\}\; \backslash \; rho\}$

Требуемая энергия для оболочки является отрицательной величиной гравитационной потенциальной энергии:

$d\; U\; =\; -\; G\; mshellminteriorr\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; it\; \{dU\}\}\; =\; -\; G\; \{\backslash \; frac\; \{m\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{shell\}\}\; m\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{interior\}\}\}\; \{r\}\}\}$

Интегрирование по всем выходам оболочки :

$U\; =\; -\; G\; \int \; 0\; R\; (4\; \pi \; r\; 2\; \rho )\; (4\; 3\; \pi \; r\; 3\; \rho )\; rdr\; =\; -\; G\; 16\; 3\; \pi \; 2\; \rho \; 2\; \int \; 0\; R\; r\; 4\; dr\; =\; -\; G\; 16\; 15\; \pi \; 2\; \rho \; 2\; R\; 5\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; =\; -G\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{R\}\; \{\backslash \; frac\; \{(4\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho)\; (\{\backslash \; tfrac\; \{4\}\; \{3\}\}\; \backslash \; pi\; r\; ^\; \{3\}\; \backslash \; rho)\}\; \{r\}\}\; dr\; =\; -G\; \{\backslash \; frac\; \{16\}\; \{3\}\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{R\}\; \{r\; ^\; \{4\}\}\; dr\; =\; -G\; \{\backslash \; frac\; \{16\}\; \{15\}\}\; \{\backslash \; pi\}\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; rho\}\; ^\; \{2\}\; R\; ^\; \{5\}\}$

Поскольку $\rho \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$просто равно массе всего d плюс его объем для объектов с однородной плотностью, поэтому

$\rho \; =\; M\; 4\; 3\; \pi \; R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; \{\backslash \; frac\; \{M\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\}\}\; \backslash \; pi\; R\; ^\; \{\; 3\}\}\}\}$

И, наконец, включение этого в наш результат приводит к

$U\; =\; -\; G\; 16\; 15\; \pi \; 2\; R\; 5\; (M\; 4\; 3\; \pi \; R\; 3)\; 2\; =\; -\; 3\; GM\; 2\; 5\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -G\; \{\backslash \; frac\; \{16\}\; \{15\}\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; R\; ^\; \{5\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{M\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\}\}\; \backslash \; pi\; R\; ^\; \{\; 3\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3GM\; ^\; \{2\}\}\; \{5R\}\}\}$

Гравитационная энергия связи

$U\; =\; -\; 3\; GM\; 2\; 5\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3GM\; ^\; \{2\}\}\; \{5R\}\}\}$

Два тела, расположенные на расстоянии R друг от друга и не движущиеся взаимно, оказывают гравитационную силу на третье тело немного меньше, когда R. Это можно рассматривать как компонент с отрицательной массой системы, равный для однородно сферических растворов:

$M\; связывание\; =\; -\; 3\; GM\; 2\; 5\; R\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; binding\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3GM\; ^\; \{2\}\}\; \{5Rc\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Например, тот факт, что Земля является гравитационно-связанной сферой нынешнего размера, стоит 2,49421 × 10 кг массы (примерно одна четвертая массы Фобоса - см. выше для такое же значение в Джоулях ), и если его атомы были редкими в произвольно большом объеме Земля будет весить свою текущую массу плюс 2,49421 × 10 килограмм (и ее гравитационное притяжение над третьим телом будет соответственно сильнее).

Можно легко продемонстрировать, что этот отрицательный компонент никогда не может превышать положительный компонент системы. Отрицательная энергия связи, превышающая массу самой системы, действительно потребует, чтобы радиус системы был меньше, чем:

$R\; \le \; 3\; GM\; 5\; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{3GM\}\; \{5c\; ^\; \{2\}\}\}\}$

, который меньше $3\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{10\}\}\}$его радиус Шварцшильда :

$R\; \le \; 3\; 10\; rs\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{10\}\}\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{s\}\}\}$

и поэтому никогда не видимы для внешнего наблюдателя. Однако это только ньютоновское приближение, и в релятивистских условиях также необходимо учитывать другие факторы.

Планеты и звезды имеют радиальные градиенты плотности от их поверхностей с меньшей плотностью к их гораздо более плотным сжатым ядрам. Объекты вырожденной материи (белые карлики; пульсары нейтронных звезд) имеют радиальные градиенты плотности плюс релятивистские поправки.

Релятивистские уравнения состояния нейтронной звезды включают график зависимости радиуса от массы для различных моделей. Наиболее вероятные радиусы для данной массы нейтронной звезды заключены в скобки моделями AP4 (наименьший радиус) и MS2 (наибольший радиус). BE - отношение массы гравитационной энергии связи, эквивалентной наблюдаемой гравитационной массе нейтронной звезды M с радиусом R,

$BE\; =\; 0,60\; \beta \; 1\; -\; \beta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; BE\; =\; \{\backslash \; frac\; \{0.60\; \backslash ,\; \backslash \; beta\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{2\}\}\}\}\}$$\beta \; =\; GM\; /\; R\; c\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \backslash \; =\; G\; \backslash ,\; M\; /\; R\; \backslash ,\; \{c\}\; ^\; \{2\}.\}$

При текущих значениях

$G\; =\; 6,6743\; \times \; 10\; -\; 11\; м\; 3\; \cdot \; кг\; -\; 1\; \cdot \; с\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; 6.6743\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{-\; 11\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{m\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; cdot\}\; kg\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; cdot\}\; s\; ^\; \{-\; 2\}\}\}$

$с\; 2\; =\; 8.98755\; \times \; 10\; 16\; м\; 2\; \cdot \; s\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; =\; 8.98755\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{16\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{m\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; cdot\}\; s\; ^\; \{-\; 2\}\}\; \}$

$M\; \odot \; =\; 1.98844\; \times \; 10\; 30\; кг\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \_\; \{\backslash \; odot\}\; =\; 1.98844\; \backslash \; times\; 10\; ^\; \{30\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{kg\}\}$

и масса звезды M, выраженная относительно солнечной масса,

$M\; x\; =\; MM\; \odot ,\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{M\}\; \{M\; \_\; \{\backslash \; odot\}\}\},\}$

тогда релятивистская дробная энергия связи нейтронной звезды равна

$BE\; =\; 885,975\; M\; x\; R\; -\; 738,313\; M\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; BE\; =\; \{\backslash \; frac\; \{885.975\; \backslash ,\; M\_\; \{x\}\}\; \{R-738.313\; \backslash ,\; M\_\; \{x\}\}\}\}$

• Теория заговора о подавлении свободной энергии.
• Тензор энергии-напряжения
• Псевдотензор напряжения-энергии-импульса
• Эффект Нордтведта

1. ^«Найдите кластер». www.eso.org. Проверено 31 июля 2017 г.
2. ^ Чандрасекхар, С. 1939, Введение в изучение структуры звезды (Чикаго: Университет Чикаго; перепечатано в Нью-Йорке: Дувр), раздел 9, ур. 90–92, с. 51 (Dover edition)
3. ^Ланг, К. Р. 1980, Астрофизические формулы (Берлин: Springer Verlag), стр. 272
4. ^Дзевонски А.М. ; Андерсон, Д. Л. (1981). «Предварительная эталонная модель Земли». Физика Земли и планетных недр. 25(4): 297–356. Bibcode : 1981PEPI... 25..297D. doi : 10.1016 / 0031-9201 (81) 90046-7.
5. ^Кац, Джозеф; Линден-Белл, Дональд; Бичак, Иржи (27 октября 2006 г.). «Гравитационная энергия в стационарном пространстве-времени». Классическая и квантовая гравитация. 23(23): 7111–7128. arXiv : gr-qc / 0610052. DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 23/23/030. S2CID 1375765.
6. ^Массы и радиусы нейтронных звезд, стр. 9/20, внизу
7. ^«2018 CODATA Value: Ньютоновская постоянная гравитации». Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности. NIST. 20 мая 2019 г. Проверено 20 мая 2019 г. Cite имеет пустой неизвестный параметр: |month=()