Уравнение Адамса – Вильямсона

Уравнение Адамса – Вильямсона , названное после Лисона Х. Адамса и Э. D. Williamson - это уравнение, используемое для определения плотности как функции радиуса, чаще используется для определения связи между скоростями сейсмических волн и плотностью Внутри Земли. Учитывая среднюю плотность горных пород на поверхности Земли и профили скоростей P-волны и S-волны как функции глубины, он может предсказать, как плотность увеличивается с глубиной. Предполагается, что сжатие является адиабатическим и что Земля сферически симметрична, однородна и находится в гидростатическом равновесии. Его также можно применить к сферическим оболочкам с этим свойством. Это важная часть моделей недр Земли, таких как Предварительная эталонная модель Земли (PREM).

Уильямсон и Адамс впервые разработали теорию в 1923 году. Они пришли к выводу, что «поэтому невозможно объяснить высокую плотность Земли только на основе сжатия. Плотная внутренняя часть не может состоять из обычных горных пород, сжатых до небольшого объема; поэтому мы должны вернуться к единственной разумной альтернативе, а именно:, наличие более тяжелого материала, предположительно некоторого металла, который, судя по его распространению в земной коре, в метеоритах и ​​на Солнце, вероятно, является железом ".

два типа объемных сейсмических волн - это волны сжатия (P-волны ) и поперечные волны (S-волны ). Оба имеют скорости, которые определяются упругими свойствами среды, в которой они проходят, в частности, модулем объемной упругости K, модулем сдвига μ и плотность ρ. В терминах этих параметров скорость v p P-волны и скорость v s S-волны равны

$vp\; =\; K\; +\; (4/3)\; \mu \; \rho \; vs\; =\; \mu \; \rho .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; v\_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{K\; +\; (4/3)\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; rho\}\}\}\; \backslash \backslash \; v\_\; \{s\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\}\; \{\backslash \; rho\}\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Эти две скорости могут быть объединены в сейсмический параметр.

$\Phi \; =\; vp\; 2\; -\; 4\; 3\; vs\; 2\; =\; K\; \rho .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; =\; v\_\; \{p\}\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\}\}\; v\_\; \{s\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{K\}\; \{\backslash \; rho\}\}.\}$

(1)

.

Определение объемного модуля,

$K\; =\; -\; V\; d\; P\; d\; V,\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; -V\; \{\backslash \; frac\; \{dP\}\; \{dV\}\},\}$

эквивалентно

$К\; =\; \rho \; d\; P\; d\; \rho .\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \backslash \; rho\; \{\backslash \; frac\; \{dP\}\; \{d\; \backslash \; rho\}\}.\}$

(2)

Предположим, что область на расстоянии r от центра Земли может считаться жидкостью в гидростатическое равновесие, на него действует гравитационное притяжение со стороны находящейся под ней части Земли и давление со стороны над ней. Также предположим, что сжатие является адиабатическим (таким образом, тепловое расширение не влияет на изменения плотности). давление P (r) изменяется в зависимости от r как

$d\; P\; dr\; =\; -\; \rho \; (r)\; g\; (r),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dP\}\; \{dr\}\}\; =\; -\; \backslash \; rho\; (r)\; g\; (r),\}$

(3)

где g (r) - ускорение свободного падения на радиусе r.

Если уравнения 1,2и 3, получаем уравнение Адамса – Вильямсона:

$d\; \rho \; dr\; =\; -\; \rho \; (r)\; g\; (r)\; \Phi \; (r).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; rho\}\; \{dr\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; (r)\; g\; (r)\}\; \{\backslash \; Phi\; (r)\}\}.\}$

Это уравнение можно интегрировать в получить

$пер\; \; (\rho \; \rho \; 0)\; знак\; равно\; -\; \int \; р\; 0\; rg\; (r)\; \Phi \; (r)\; dr,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{r\_\; \{0\}\}\; ^\; \{r\}\; \{\backslash \; frac\; \{g\; (r)\}\; \{\backslash \; Phi\; (r)\}\}\; dr,\}$

где r 0 - радиус на поверхности Земли, а ρ 0 - плотность на поверхности. Учитывая ρ 0 и профили скоростей продольных и поперечных волн, радиальная зависимость плотности может быть определена численным интегрированием.