Гранулированный материал

редактировать

Примеры гранулированных материалов

A гранулированный материал представляет собой скопление дискретных твердых веществ, макроскопические частицы, характеризующиеся потерей энергии всякий раз, когда частицы взаимодействуют (наиболее распространенным примером может быть трение, когда зерна сталкиваются). Компоненты, из которых состоит гранулированный материал, имеют достаточно большие размеры и не подвержены колебаниям теплового движения. Таким образом, нижний предел размера зерен в зернистом материале составляет около 1 мкм. Что касается верхнего предела размера, физика гранулированных материалов может быть применена к льдинам, где отдельные частицы представляют собой айсберги, и к поясам астероидов Солнечной системы с отдельные зерна, являющиеся астероидами.

Некоторыми примерами сыпучих материалов являются снег, орехи, уголь, песок, рис, кофе, кукурузные хлопья, удобрения и шарики подшипников. Таким образом, исследования гранулированных материалов применимы напрямую и восходят, по крайней мере, к Шарлю-Огюстену де Кулону, чей закон трения был первоначально установлен для гранулированных материалов. Гранулированные материалы имеют коммерческое значение в таких разнообразных областях, как фармацевтическая промышленность, сельское хозяйство и производство энергии.

Порошки представляют собой особый класс гранулированных материалов из-за их малый размер частиц, что делает их более связными и более легко взвешенными в газе.

солдат / физик Бригадный генерал Ральф Алджер Багнольд был одним из первых пионеров физики гранулированной материи, и чья книга Физика взорвавшихся песков и пустынных дюн до сих пор остается важной ссылкой. Согласно ученому-материаловеду Патрику Ричарду, «Гранулированные материалы встречаются повсеместно в природе и являются вторым по величине материалом для обработки в промышленности (первый - вода )».

В некотором смысле гранулированные материалы не составляют единую фазу вещества, но имеют характеристики, напоминающие твердые вещества, жидкости или газов в зависимости от средней энергии на зерно. Однако в каждом из этих состояний гранулированные материалы также обладают уникальными свойствами.

Гранулированные материалы также демонстрируют широкий диапазон поведения при формировании рисунка при возбуждении (например, при вибрации или растекании). Такие гранулированные материалы при возбуждении можно рассматривать как пример сложной системы.

Содержание

1 Определения
2 Статическое поведение
- 2.1 Закон кулоновского трения
- 2.2 Эффект Янссена
- 2.3 Связь между напряжением Роу и дилатансией
3 Гранулированные газы
- 3.1 Модель Улама
4 Заклинивающий переход
5 Формирование структуры
- 5.1 Акустические эффекты
6 Гранулирование
7 Вычислительное моделирование гранулированного материала материалы
8 См. также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

Определения

Гранулированное вещество - это система, состоящая из множества макроскопических частиц. Микроскопические частицы (атомы \ молекулы) описываются (в классической механике) всеми степенями свободы системы. Макроскопические частицы описываются только степенью свободы движения каждой частицы как твердого тела. В каждой частице много внутренней глубины резкости. Рассмотрим неупругое столкновение двух частиц - энергия от скорости твердого тела передается микроскопической внутренней степени свободы. Получаем «Dissipation » - необратимое тепловыделение. В результате без внешнего воздействия в конечном итоге все частицы перестанут двигаться. В макроскопических частицах тепловые флуктуации не имеют значения.

Когда вещество разбавлено и динамично (возбуждено), оно называется гранулированным газом, и явление рассеяния преобладает.

Когда вещество плотное и статичное, оно называется зернистым твердым телом, и преобладает явление заклинивания.

Когда плотность является промежуточной, это называется гранулированная жидкость .

Статическое поведение

Закон кулоновского трения

Цепь передачи сил напряжения в гранулированной среде

Кулон рассматривал внутренние силы между зернистыми частицами как процесс трения и предложил закон трения, согласно которому сила трения твердых частиц пропорциональна нормальному давлению между ними, а коэффициент статического трения больше, чем коэффициент кинетического трения.. Он изучил обрушение кучи песка и эмпирически нашел два критических угла: максимальный стабильный угол $θ m {\ displaystyle \ theta _ {m}}$ $\ theta _ {m}$ и минимальный угол естественного откоса $θ r {\ displaystyle \ theta _ {r}}$ $\ theta _ {r}$ . Когда наклон отвала достигает максимально стабильного угла, частицы песка на поверхности кучи начинают падать. Процесс останавливается, когда угол наклона поверхности равен углу естественного откоса. Разница между этими двумя углами, $Δ θ = θ m - θ r {\ displaystyle \ Delta \ theta = \ theta _ {m} - \ theta _ {r}}$ $\Delta \theta =\theta _{m}-\theta _{r}$ , и есть угол Багнольда угол, который является мерой гистерезиса гранулированных материалов. Это явление возникает из-за силовых цепей : напряжение в зернистом твердом теле не распределяется равномерно, а отводится по так называемым силовым цепям, которые представляют собой сети зерен, опирающихся друг на друга. Между этими цепочками находятся области с низким напряжением, зерна которых защищены от воздействия вышеперечисленных зерен посредством свода и дугообразного. Когда напряжение сдвига достигает определенного значения, силовые цепи могут разорваться, и частицы на концах цепочек по поверхности начинают скользить. Затем формируются новые силовые цепи до тех пор, пока напряжение сдвига не станет меньше критического значения, и поэтому песчаная куча сохраняет постоянный угол естественного откоса.

Эффект Янссена

В 1895 году Х.А. Янссен обнаружил, что в вертикальном цилиндре, заполненном частицами, давление, измеренное у основания цилиндра, не зависит от высоты заполнения, в отличие от ньютоновского жидкости в состоянии покоя, которые подчиняются закону Стевина. Янссен предложил упрощенную модель со следующими допущениями:

1) Вертикальное давление, $σ zz {\ displaystyle \ sigma _ {zz}}$ ${ \ Displaystyle \ sigma _ {zz}}$ , постоянно в горизонтальной плоскости. ;

2) Горизонтальное давление, $σ rr {\ displaystyle \ sigma _ {rr}}$ $\sigma _{{rr}}$ , пропорционально вертикальному давлению $σ zz {\ displaystyle \ sigma _ {zz}}$ ${ \ Displaystyle \ sigma _ {zz}}$ , где $K = σ rr σ zz {\ displaystyle K = {\ frac {\ sigma _ {rr}} {\ sigma _ {zz}}}}$ $K={\frac {\sigma _{rr}}{\sigma _{zz}}}$ постоянно в пространстве;

3) Статический коэффициент трения стенки $μ = σ rz σ rr {\ displaystyle \ mu = {\ frac {\ sigma _ {rz}} {\ sigma _ {rr}}}}$ ${\ displaystyle \ mu = {\ frac {\ sigma _ {rz}} {\ sigma _ {rr}}}}$ выдерживает вертикальную нагрузку при контакте со стеной;

4) Плотность материала постоянна на всех глубинах.

Давление в сыпучем материале затем описывается другим законом, который учитывает насыщение:

p (z) = p ∞ [1 - exp ⁡ (- z / λ)] {\ displaystyle п (z) знак равно п _ {\ infty} [1- \ exp (-z / \ lambda)]}

{\ displaystyle p (z) = p _ {\ infty} [1- \ exp (-z / \ лямбда)]}

где

λ = R 2 μ K {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {R} { 2 \ mu K}}}

{\ displaystyle \ lambda = { \ frac {R} {2 \ mu K}}}

R {\ displaystyle R}

R

- радиус цилиндра, а в верхней части бункера

z = 0 { \ displaystyle z = 0}

z = 0

Данное уравнение давления не учитывает граничные условия, такие как отношение размера частиц к радиусу бункера. Поскольку внутреннее напряжение материала невозможно измерить, предположения Янссена не были подтверждены ни одним прямым экспериментом.

Связь между напряжением Роу и дилатансией

В начале 1960-х годов Роу изучил влияние дилатансии на прочность на сдвиг в испытаниях на сдвиг и предложил связь между ними.

Механические свойства сборки монодисперсных частиц в 2D могут быть проанализированы на основе репрезентативного элементарного объема с типичными длинами, $ℓ 1, ℓ 2 {\ displaystyle \ ell _ {1}, \ ell _ {2}}$ $\ell _{1},\ell _{2}$ в вертикальном и горизонтальном направлениях соответственно. Геометрические характеристики системы описываются формулой $α = arctan ⁡ (ℓ 1 ℓ 2) {\ displaystyle \ alpha = \ arctan ({\ frac {\ ell _ {1}} {\ ell _ {2}}) })}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ arctan ({\ frac {\ ell _ {1}} {\ ell _ {2}}})}$ и переменная $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ , которая описывает угол, когда точки контакта начинают процесс скольжения. Обозначим через $σ 11 {\ displaystyle \ sigma _ {11}}$ $\ sigma _ {11}$ вертикальное направление, которое является направлением главного главного напряжения, и $σ 22 {\ displaystyle \ sigma _ {22}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {22}}$ горизонтальное направление, которое является направлением незначительного главного напряжения.

Тогда напряжение на границе может быть выражено как сосредоточенная сила, которую переносят отдельные частицы. При двухосном нагружении с равномерным напряжением $σ 12 = σ 21 = 0 {\ displaystyle \ sigma _ {12} = \ sigma _ {21} = 0}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {12} = \ sigma _ {21} Знак равно 0}$ и, следовательно, $F 12 = F 21 = 0 {\ displaystyle F_ {12} = F_ {21} = 0}$ ${\ displaystyle F_ {12 } = F_ {21} = 0}$ .

В состоянии равновесия:

F 11 F 22 = σ 11 ℓ 2 σ 22 ℓ 1 = загар ⁡ (θ + β) { \ Displaystyle {\ frac {F_ {11}} {F_ {22}}} = {\ frac {\ sigma _ {11} \ ell _ {2}} {\ sigma _ {22} \ ell _ {1}} } = \ tan (\ theta + \ beta)}

{\ displaystyle {\ frac {F_ {11}} {F_ {22}}} = {\ frac {\ sigma _ {11} \ ell _ {2}} {\ sigma _ {22} \ ell _ {1}}} = \ tan (\ theta + \ beta)}

где $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , угол трения, представляет собой угол между силой контакта и направлением нормали контакта.

$θ μ {\ displaystyle \ theta _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ mu}}$ , который описывает угол, который описывает угол, под которым, если тангенциальная сила попадает в конус трения, частицы все равно останутся устойчивыми. Он определяется коэффициентом трения $μ = tg ϕ u {\ displaystyle \ mu = tg \ phi _ {u}}$ ${\ displaystyle \ mu = tg \ phi _ {u}}$ , поэтому $θ ≤ θ μ {\ displaystyle \ theta \ leq \ theta _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ theta \ leq \ theta _ {\ mu}}$ . После приложения напряжения к системе $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ постепенно увеличивается, а $α, β {\ displaystyle \ alpha, \ beta}$ $\ альфа, \ бета$ остается неизменным.. Когда $θ ≥ θ μ {\ displaystyle \ theta \ geq \ theta _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ theta \ geq \ theta _ {\ mu}}$ , тогда частицы начнут скользить, что приведет к изменению структуры системы и созданию новых силовых цепочек. $Δ 1, Δ 2 {\ displaystyle \ Delta _ {1}, \ Delta _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {1}, \ Delta _ {2}}$ , горизонтальное и вертикальное смещения соответственно удовлетворяют:

Δ 2 ˙ Δ 1 ˙ = ε 22 ˙ ℓ 2 ε 11 ˙ ℓ 1 = - загар ⁡ β {\ displaystyle {\ frac {\ dot {\ Delta _ {2}}} {\ dot {\ Delta _ {1}}}} = {\ frac {{\ dot {\ varepsilon _ {22}}} \ ell _ {2}} {{\ dot {\ varepsilon _ {11}}} \ ell _ {1}}} = - \ tan \ beta}

{\ displaystyle {\ frac {\ dot {\ Delta _ { 2}}} {\ dot {\ Delta _ {1}}}} = {\ frac {{\ dot {\ varepsilon _ {22}}} \ ell _ {2}} {{\ dot {\ varepsilon _ { 11}}} \ ell _ {1}}} = - \ tan \ beta}

Гранулированные газы

Если гранулированный материал перемещается сильнее, так что контакты между зернами становятся очень редкими, материал переходит в газообразное состояние. Соответственно, можно определить гранулированную температуру, равную среднему квадрату флуктуаций скорости зерна, что аналогично термодинамической температуре. В отличие от обычных газов, гранулированные материалы будут иметь тенденцию к слипанию и слипанию из-за диссипативной природы столкновений между зернами. Эта кластеризация имеет несколько интересных последствий. Например, если частично разделенный ящик из гранулированных материалов энергично встряхнуть, то зерна со временем будут собираться в одной из перегородок, а не равномерно распределяться по обеим перегородкам, как это произошло бы с обычным газом. Этот эффект, известный как гранулированный демон Максвелла, не нарушает никаких принципов термодинамики, поскольку при этом из системы постоянно теряется энергия.

Модель Улама

Рассмотрим N частиц, каждая из которых имеет энергию. $ε i. {\ displaystyle \ varepsilon _ {i}.}$ ${\ d isplaystyle \ varepsilon _ {i}.}$ с некоторой постоянной скоростью в единицу времени случайным образом выберите две частицы с энергиями $ε i, ε j {\ displaystyle \ varepsilon _ {i}, \ varepsilon _ {j}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i}, \ varepsilon _ {j}}$ и вычислите сумму $ε i + ε j {\ displaystyle \ varepsilon _ {i} + \ varepsilon _ {j}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i} + \ varepsilon _ {j}}$ . Теперь случайным образом распределите полную энергию между двумя частицами: случайным образом выберите $z ∈ [0, 1] {\ displaystyle z \ in \ left [0,1 \ right]}$ ${\ displaystyle z \ in \ left [0,1 \ right]}$ так, чтобы первая частица после столкновения имеет энергию $z (ε i + ε j) {\ displaystyle z \ left (\ varepsilon _ {i} + \ varepsilon _ {j} \ right)}$ ${\ displaystyle z \ влево (\ varepsilon _ {i} + \ varepsilon _ {j} \ right)}$ , а второй $(1 - Z) (ε я + ε J) {\ Displaystyle \ left (1-z \ right) \ left (\ varepsilon _ {i} + \ varepsilon _ {j} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (1-z \ справа) \ влево (\ varepsilon _ {i} + \ varepsilon _ {j} \ right)}$ .

уравнение стохастической эволюции :

ε i (t + dt) = {ε i (t) вероятность: 1 - Γ dtz (ε i (t) + ε j (t)) вероятность: Γ dt {\ displaystyle \ varepsilon _ {i} (t + dt) = {\ begin {cases} \ varepsilon _ {i} (t) и вероятность: \, 1- \ Gamma dt \\ z \ left (\ varepsilon _ {i} (t) + \ varepsilon _ {j} (t) \ right) и вероятность: \, \ Gamma dt \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {i} (t + dt) = {\ begin {case} \ varepsilon _ {i} (t) и вероятность: \, 1- \ Gamma dt \\ z \ left (\ varepsilon _ {i} (t) + \ varepsilon _ {j} (t) \ right) и вероятность : \, \ Gamma dt \ end {cases}}}

где

Γ {\ displaystyle \ Gamma}

\ Gamma

- частота столкновений,

z {\ displaystyle z}

z

выбирается случайным образом из

[0, 1] {\ displaystyle \ left [0,1 \ right]}

{\ displaystyle \ left [0,1 \ right]}

(равномерное распределение) и j - индекс, также случайно выбранный из равномерного распределения. Средняя энергия, приходящаяся на одну частицу:

⟨ε (t + dt)⟩ = (1 - Γ dt) ⟨ε (t)⟩ + Γ dt ⋅ ⟨z⟩ (⟨ε i⟩ + ⟨ε j⟩) = ( 1 - Γ dt) ⟨ε (t)⟩ + Γ dt ⋅ 1 2 (⟨ε (t)⟩ + ⟨ε (t)⟩) = ⟨ε (t)⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle \ varepsilon (t + dt) \ right \ rangle = \ left (1- \ Gamma dt \ right) \ left \ langle \ varepsilon (t) \ right \ rangle + \ Gamma dt \ cdot \ left \ langle z \ right \ rangle \ left (\ left \ langle \ varepsilon _ {i} \ right \ rangle + \ left \ langle \ varepsilon _ {j} \ right \ rangle \ right) \\ = \ left (1- \ Gamma dt \ right) \ left \ langle \ varepsilon (t) \ right \ rangle + \ Gamma dt \ cdot {\ dfrac {1} {2}} \ left (\ left \ langle \ varepsilon (t) \ right \ rangle + \ left \ langle \ varepsilon (t) \ right \ rangle \ right) \\ = \ left \ langle \ varepsilon (t) \ right \ rangle \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle \ varepsilon (t + dt) \ right \ rangle = \ left (1- \ Gamma dt \ right) \ left \ langle \ varepsilon (t) \ right \ rangle + \ Gamma dt \ cdot \ left \ langle z \ right \ rangle \ left (\ left \ langle \ varepsilon _ {i} \ right \ rangle + \ left \ langle \ varepsilon _ {j} \ right \ rangle \ right) \\ = \ left (1- \ Gamma dt \ right) \ left \ langle \ varepsilon (t) \ right \ rangle + \ Gamma dt \ cdot {\ dfrac {1} {2}} \ left (\ left \ langle \ varepsilon (t) \ right \ rangle + \ left \ langle \ varepsilon (t) \ right \ rangle \ right) \\ = \ left \ langle \ varepsilon (t) \ right \ rangle \ end {выровнено}}}

Второй момент:

$⟨Ε 2 (t + dt)⟩ = (1 - Γ dt) ⟨ε 2 (t)⟩ + Γ dt ⋅ ⟨z 2⟩ ⟨ε i 2 + 2 ε i ε j + ε j 2⟩ = (1 - Γ dt) ⟨ε 2 (t)⟩ + Γ dt ⋅ 1 3 (2 ⟨ε 2 (t)⟩ + 2 ⟨ε (t)⟩ 2) {\ displaystyle {\ begin {align} \ le ft \ langle \ varepsilon ^ {2} (t + dt) \ right \ rangle = \ left (1- \ Gamma dt \ right) \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} (t) \ right \ rangle + \ Гамма dt \ cdot \ left \ langle z ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle \ varepsilon _ {i} ^ {2} +2 \ varepsilon _ {i} \ varepsilon _ {j} + \ varepsilon _ { j} ^ {2} \ right \ rangle \\ = \ left (1- \ Gamma dt \ right) \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} (t) \ right \ rangle + \ Gamma dt \ cdot {\ dfrac {1} {3}} \ left (2 \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} (t) \ right \ rangle +2 \ left \ langle \ varepsilon (t) \ right \ rangle ^ {2} \ right) \ end {align}}}$ ${ \ Displaystyle {\ begin {align} \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} (t + dt) \ right \ rangle = \ left (1- \ Gamma dt \ right) \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} (t) \ right \ rangle + \ Gamma dt \ cdot \ left \ langle z ^ {2} \ right \ rangle \ left \ langle \ varepsilon _ {i} ^ {2} +2 \ varepsilon _ {i} \ varepsilon _ {j} + \ varepsilon _ {j} ^ {2} \ right \ rangle \\ = \ left (1- \ Gamma dt \ right) \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} (t) \ right \ rangle + \ Gamma dt \ cdot {\ dfrac {1} {3}} \ left (2 \ left \ langle \ varepsilo n ^ {2} (t) \ right \ rangle +2 \ left \ langle \ varepsilon (t) \ right \ rangle ^ {2} \ right) \ end {align}}}$

Теперь производная по времени второго момента:

$d ⟨ε 2⟩ dt = limdt → 0 ⟨ε 2 (t + dt)⟩ - ⟨ε 2 (t)⟩ dt знак равно - Γ 3 ⟨ε 2⟩ + 2 Γ 3 ⟨ε⟩ 2 {\ displaystyle {\ dfrac {d \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} \ right \ rangle} {dt}} = lim_ {dt \ rightarrow 0} {\ dfrac {\ left \ langle \ varepsilon ^ {2} (t + dt) \ right \ rangle - \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} (t) \ right \ rangle} {dt}} = - {\ dfrac {\ Gamma} {3}} \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} \ right \ rangle + {\ dfrac {2 \ Gamma} {3}} \ left \ langle \ varepsilon \ right \ rangle ^ { 2}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {d \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} \ right \ rangle} {dt}} = lim_ {dt \ rightarrow 0} {\ dfrac {\ left \ langle \ varepsilon ^ {2 } (t + dt) \ right \ rangle - \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} (t) \ right \ rangle} {dt}} = - {\ dfrac {\ Gamma} {3}} \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} \ right \ rangle + {\ dfrac {2 \ Gamma} {3}} \ left \ langle \ varepsilon \ right \ ra ngle ^ {2}}$

В установившемся режиме:

$d ⟨ε 2⟩ dt = 0 ⇒ ⟨ε 2⟩ = 2 ⟨ε⟩ 2 {\ displaystyle {\ dfrac {d \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} \ right \ rangle} {dt}} = 0 \ Rightarrow \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} \ right \ rangle = 2 \ left \ langle \ varepsilon \ right \ rangle ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {d \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} \ right \ rangle} {dt}} = 0 \ Rightarrow \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} \ right \ rangle = 2 \ left \ langle \ varepsilon \ right \ rangle ^ {2}}$

Решение дифференциального уравнения для второго момента :

$⟨ε 2⟩ - 2 ⟨ε⟩ 2 знак равно (⟨ε 2 (0)⟩ - 2 ⟨ε (0)⟩ 2) е - Γ 3 t {\ displaystyle \ left \ langle \ varepsilon ^ {2 } \ right \ rangle -2 \ left \ langle \ varepsilon \ right \ rangle ^ {2} = \ left (\ left \ langle \ varepsilon ^ {2} (0) \ right \ rangle -2 \ left \ langle \ varepsilon (0) \ right \ rangle ^ {2} \ right) e ^ {- {\ frac {\ Gamma} {3}} t}}$ ${\ displaystyle \ left \ langle \ varepsilon ^ {2} \ right \ rangle -2 \ left \ langle \ varepsilon \right\rangle ^{2}=\left(\left\langle \varepsilon ^{2}(0)\right\rangle -2\left\langle \vareps ilon (0)\right\rangle ^{2}\right)e^{-{\frac {\Gamma }{3}}t}}$

Однако вместо того, чтобы характеризовать моменты, мы можем аналитически решить распределение энергии, с момента производящей функции. Рассмотрим преобразование Лапласа : $g (λ) = ⟨e - λ ε⟩ = ∫ 0 ∞ e - λ ε ρ (ε) d ε {\ displaystyle g (\ lambda) = \ left \ langle e ^ {- \ lambda \ varepsilon} \ right \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ lambda \ varepsilon} \ rho (\ varepsilon) d \ varepsilon}$ ${\ displaystyle g (\ lambda) = \ left \ langle e ^ {- \ lambda \ varepsilon} \ right \ rangle = \ int _ {0} ^ { \ infty} e ^ {- \ lambda \ varepsilon} \ rho (\ varepsilon) d \ varepsilon}$ .

Где $g (0) = 1 {\ displaystyle g (0) = 1}$ ${\ displaystyle g (0) = 1}$ и $dgd λ = - ∫ 0 ∞ ε e - λ ε ρ (ε) d ε = - ⟨Ε⟩ {\ displaystyle {\ dfrac {dg} {d \ lambda}} = - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ varepsilon e ^ {- \ lambda \ varepsilon} \ rho (\ varepsilon) d \ varepsilon = - \ left \ langle \ varepsilon \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {dg} {d \ lambda}} = - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ varepsilon e ^ {- \ lambda \ varepsilon} \ rho (\ varepsilon) d \ varepsilon = - \ left \ langle \ varepsilon \ right \ rangle}$

производная n:

$dngd λ n = (- 1) n ∫ 0 ∞ ε ne - λ ε ρ (ε) d ε = ⟨ε п⟩ {\ displaystyle {\ dfrac {d ^ {n} g} {d \ lambda ^ {n}}} = \ left (-1 \ right) ^ {n} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ varepsilon ^ {n} e ^ {- \ lambda \ varepsilon} \ rho (\ varepsilon) d \ varepsilon = \ left \ langle \ varepsilon ^ {n} \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {d ^ {n} g} {d \ lambda ^ {n}}} = \ left (-1 \ right) ^ {n} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ varepsilon ^ {n} e ^ {- \ lambda \ varepsilon} \ rho (\ varepsilon) d \ varepsilon = \ left \ langle \ varepsilon ^ {n} \ right \ rangle}$

теперь:

$e - λ ε я (T + dt) знак равно {е - λ ε я (t) 1 - Γ te - λ Z (ε i (t) + ε j (t)) Γ t {\ displaystyle e ^ {- \ lambda \ varepsilon _ {i} (t + dt)} = {\ begin в {случаях} e ^ {- \ lambda \ varepsilon _ {i} (t)} 1- \ Gamma t \\ e ^ {- \ lambda z \ left (\ varepsilon _ {i} (t) + \ varepsilon _ {j} (t) \ right)} \ Gamma t \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ lambda \ varepsilon _ {i} (t + dt)} = {\ begin {cases} e ^ {- \ lambda \ varepsilon _ {i} (t)} 1- \ Gamma t \\ e ^ {- \ lambda z \ left (\ varepsilon _ {i} (t) + \ varepsilon _ {j} (t) \ right)} \ Gamma t \ end {cases}}}$

$e - λ ε (t + dt)⟩ = (1 - Γ dt) ⟨e - λ ε i (t)⟩ + Γ dt ⟨е - λ Z (ε я (T) + ε J (T))⟩ {\ displaystyle \ left \ langle e ^ {- \ lambda \ varepsilon \ left (t + dt \ right)} \ right \ rangle = \ left (1- \ Gamma dt \ right) \ left \ langle e ^ {- \ lambda \ varepsilon _ {i} (t)} \ right \ rangle + \ Gamma dt \ left \ langle e ^ { - \ lambda z \ left (\ varepsilon _ {i} (t) + \ varepsilon _ {j} (t) \ right)} \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left \ langle e ^ {- \ lambda \ varepsilon \ left (t + dt \ right)} \ right \ rangle = \ left (1- \ Gamma dt \ right) \ left \ langle e ^ {- \ lambda \ varepsilon _ {i} (t)} \ right \ rangle + \ Gamma dt \ левый \ langle е ^ {- \ лямбда z \ left (\ varepsilon _ {i} (t) + \ varepsilon _ {j} (t) \ right)} \ right \ rangle}$

$g (λ, t + dt) = (1 - Γ dt) g (λ, t) + Γ dt ∫ 0 1 ⟨e - λ z ε i (t)⟩ ⟨e - λ z ε j (t)⟩ ⏟ = g 2 (λ z, t) dz {\ displaystyle g \ left (\ lambda, t + dt \ right) = \ left (1- \ Gamma dt \ right) g \ left (\ lambda, t \ right) + \ Gamma dt \ int _ {0} ^ {1 } {\ underset {= g ^ {2} (\ lambda z, t)} {\ underbrace {\ left \ langle e ^ {- \ lambda z \ varepsilon _ {i} (t)} \ right \ rangle \ left \ langle e ^ {- \ lambda z \ varepsilon _ {j} (t)} \ right \ rangle}}} dz}$ ${\ displaystyle g \ left (\ lambda, t + dt \ right) = \ left (1- \ Gamma dt \ right) g \ left (\ lambda, t \ right) + \ Gamma dt \ int _ {0} ^ {1} {\ underset {= g ^ {2} (\ lambda z, t)} {\ underbrace {\ left \ langle e ^ {- \ lambda z \ varepsilon _ {i} (t)} \ right \ rangle \ left \ langle e ^ {- \ lambda z \ varepsilon _ {j} (t)} \ right \ rangle}}} dz}$

Решение для $g (λ) {\ displaystyle g (\ lambd a)}$ ${\ displaystyle g (\ lambda)}$ с заменой переменных $δ = λ z {\ displaystyle \ delta = \ lambda z}$ ${\ displaystyle \ delta = \ lambda z}$ :

$λ g (λ) = ∫ 0 λ g 2 (δ) d δ ⇒ λ g ′ (λ) + g (λ) знак равно g 2 (λ) ⇒ g (λ) = 1 λ T + 1 {\ displaystyle \ lambda g (\ lambda) = \ int _ {0} ^ {\ lambda} g ^ {2} (\ delta) d \ delta \ Rightarrow \ lambda g '(\ lambda) + g (\ lambda) = g ^ {2} (\ lambda) \ Rightarrow g (\ lambda) = {\ dfrac { 1} {\ lambda T + 1}}}$ $\lambda g(\lambda)=\int _{0}^{\lambda }g^{2}(\delta)d\delta \Rightarrow \lambda g'(\lambda)+g(\lambda)=g^{2}(\lambda)\Rightarrow g(\lambda)={\dfrac {1}{\lambda T+1}}$

Мы покажем, что $ρ (ε) = 1 T e - ε T {\ displaystyle \ rho (\ varepsilon) = {\ dfrac {1} {T }} e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}}}$ ${\ displaystyle \ rho (\ varepsilon) = {\ dfrac {1} {T}} e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T} }}}$ (Распределение Больцмана ), взяв его преобразование Лапласа и вычислив производящую функцию:

$∫ 0 ∞ 1 T e - ε T ⋅ e - λ ε d ε = 1 T ∫ 0 ∞ e - (λ + 1 T) ε d ε = - 1 T (λ + 1 T) e - (λ + 1 T) ε | 0 ∞ знак равно 1 λ T + 1 знак равно г (λ) {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {T}} e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T }}} \ cdot e ^ {- \ lambda \ varepsilon} d \ varepsilon = {\ dfrac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ left (\ lambda + { \ frac {1} {T}} \ right) \ varepsilon} d \ varepsilon = - {\ dfrac {1} {T \ left (\ lambda + {\ frac {1} {T}} \ right)}} e ^ {- \ left (\ lambda + {\ frac {1} {T}} \ right) \ varepsilon} | _ {0} ^ {\ infty} = {\ dfrac {1} {\ lambda T + 1}} = g (\ lambda)}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ dfrac {1} {T}} e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}} } \ cdot e ^ {- \ lambda \ varepsilon} d \ varepsilon = {\ dfrac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ left (\ lambda + {\ frac {1} {T}} \ right) \ varepsilon} d \ varepsilon = - {\ dfrac {1} {T \ left (\ lambda + {\ frac {1} {T}} \ right)}} e ^ { - \ left (\ lambda + {\ frac {1} {T}} \ right) \ varepsilon} | _ {0} ^ {\ inft y} = {\ dfrac {1} {\ lambda T + 1}} = g (\ lambda)}$

Переход к заклиниванию

Застревание во время разгрузки зернистого материала происходит из-за образования дуги (красные сферы)

Известно, что зернистые системы проявляют заклинивание и подвергаются заклиниванию переход, который рассматривается как термодинамический фазовый переход в застрявшее состояние. Переход происходит от жидкой фазы к твердой фазе и контролируется температурой, $T {\ displaystyle T}$ $T$ , объемной долей, $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ , и напряжение сдвига, $Σ {\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ . Нормальная фазовая диаграмма стеклования находится в плоскости $ϕ - 1 - T {\ displaystyle \ phi ^ {- 1} -T}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {- 1} -T}$ и разделена на область застрявшего состояния и незажатую жидкость. состояние линией перехода. Фазовая диаграмма гранулированного вещества лежит в плоскости $ϕ - 1 - Σ {\ displaystyle \ phi ^ {- 1} - \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {- 1} - \ Sigma}$ , а кривая критического напряжения $Σ (ϕ) {\ displaystyle \ Sigma (\ phi)}$ ${\ displaystyle \ Sigma (\ phi)}$ делит фазу состояния на заблокированную \ незажатую область, которая соответствует гранулированным твердым телам \ жидкостям соответственно. Для изотропно застрявшей гранулированной системы, когда $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ уменьшается вокруг определенной точки, $J {\ displaystyle J}$ $J$ , объем и сдвиг модули приближаются к нулю. Точка $J {\ displaystyle J}$ $J$ соответствует критической объемной доле $ϕ c {\ displaystyle \ phi _ {c}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {c}}$ . Определите расстояние до точки $J {\ displaystyle J}$ $J$ , критическая объемная доля, $Δ ϕ ≡ ϕ - ϕ c {\ displaystyle \ Delta \ phi \ Equiv \ phi - \ phi _ {c}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ phi \ Equiv \ phi - \ phi _ {c}}$ . Эмпирически было обнаружено, что поведение гранулированных систем вблизи точки $J {\ displaystyle J}$ $J$ напоминает переход второго рода : объемный модуль демонстрирует степенной закон масштабирования с $Δ ϕ {\ displaystyle \ Delta \ phi}$ $\Delta \phi$ и есть некоторые длины расходящихся характеристик, когда $Δ ϕ {\ displaystyle \ Delta \ phi}$ $\Delta \phi$ приближается к нулю. В то время как $ϕ c {\ displaystyle \ phi _ {c}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {c}}$ является константой для бесконечной системы, для конечной системы граничные эффекты приводят к распределению $ϕ c {\ displaystyle \ phi _ {c}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {c}}$ в некотором диапазоне.

Алгоритм Любачевского-Стиллинджера позволяет создавать моделируемые гранулярные конфигурации с помехами.

Формирование рисунка

Возбужденное зернистое вещество представляет собой богатую систему формирования рисунка. Некоторые из моделей поведения, наблюдаемых в зернистых материалах, следующие:

Несмешивание или сегрегация непохожих зерен под действием вибрации и потока. Примером этого является так называемый эффект бразильского ореха, когда бразильские орехи поднимаются на вершину пакета смешанных орехов при встряхивании. Причина этого эффекта заключается в том, что при встряхивании сыпучие (и некоторые другие) материалы движутся по кругу. некоторые более крупные материалы (бразильские орехи) застревают при движении по кругу и поэтому остаются наверху.
Образование структурированной поверхности или объемных структур в вибрирующих зернистых слоях. Эти узоры включают, но не ограничиваются ими, полосы, квадраты и шестиугольники. Считается, что эти паттерны образованы фундаментальными возбуждениями поверхности, известными как осциллоны. Формирование упорядоченных объемных структур в гранулированных материалах известно как гранулированная кристаллизация и включает переход от случайной упаковки частиц к упорядоченной упаковке, такой как гексагональная плотноупакованная или объемно-центрированная кубическая. Это чаще всего наблюдается в зернистых материалах с узким распределением по размерам и однородной морфологией зерен.
Формирование песка ряби, дюн и песчаных листов

Некоторые модели поведения, формирующие паттерн, можно было воспроизвести в компьютерном моделировании. Существует два основных вычислительных подхода к такому моделированию и событийно-управляемый, первый из которых наиболее эффективен для более высокой плотности материала и движений с меньшей интенсивностью, а второй - для более низкой плотности материала. материал и движения более высокой интенсивности.

Акустические эффекты

Песчаные дюны

Некоторые песчаные пляжи, такие как песчаные пляжи с метким названием Squeaky Beach, скрипят при ходьбе. Известно, что некоторые пустынные дюны демонстрируют гул во время схода лавины или когда их поверхность иным образом нарушена. Гранулированные материалы, выгружаемые из силосов, производят громкую акустическую эмиссию в процессе, известном как.

Гранулирование

Гранулирование - это действие или процесс, в котором первичные порошковые частицы прилипают к образованию более крупных, многочастичных объектов, называемых гранулами.

Вычислительное моделирование сыпучих материалов

Для моделирования сыпучих материалов доступно несколько методов. Большинство этих методов состоят из статистических методов, с помощью которых извлекаются различные статистические свойства, полученные из точечных данных или изображения, и используются для создания стохастических моделей зернистой среды. Недавний всесторонний обзор таких методов доступен в Tahmasebi and other (2017). Другая альтернатива для создания пакета гранулированных частиц, который недавно был представлен, основан на алгоритме установки уровня, с помощью которого реальная форма частицы может быть захвачена и воспроизведена посредством извлеченного статистика морфологии частиц.

См. также

Ссылки

Внешние ссылки

Основы технологии частиц - бесплатная книга
Лу, Кевин; и другие. (Ноябрь 2007 г.). «Ослабление сдвига переходного режима для гранулированного потока». Дж. Fluid Mech. 587 : 347–372. Bibcode : 2007JFM... 587..347L. doi : 10.1017 / S0022112007007331. S2CID 30744277.
Местер, Л., Новая физико-механическая теория сыпучих материалов. 2009, Homonnai, ISBN 978-963-8343-87-1
Парески, Л., Руссо, Г., Тоскани, Г., Моделирование и численные данные of Kinetic Dissipative Systems, Nova Science Publishers, New York, 2006.