Перетащите уравнение

редактировать

В гидродинамике Уравнение сопротивления - это формула, используемая для расчета силы перетаскивания, испытываемой объектом из-за движения через полностью охватывающую жидкость. Уравнение:

$FD = 1 2 ρ u 2 CDA {\ displaystyle F_ {D} \, = \, {\ tfrac {1} {2}} \, \ rho \, u ^ {2} \, C_ {D} \, A}$ $F_ {D} \, = \, {\ tfrac 12} \, \ rho \, u ^ {2} \, C_ {D } \, A$: $FD {\ displaystyle F_ {D}}$ $F_ {D}$ - сила сопротивления сила, которая по определению является составляющей силы в направлении потока. скорость,; $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ - массовая плотность жидкости,; $u {\ displaystyle u}$ $u$ - скорость потока относительно объекта,; $A {\ displaystyle A}$ $A$ - эталонная область, а; $CD {\ displaystyle C_ {D} }$ $C_ {D}$ - коэффициент сопротивления - безразмерный коэффициент, связанный с геометрией объекта и учитывающий как поверхностное трение и образуют перетаскивание. Если текучая среда является жидкостью, $C D {\ displaystyle C_ {D}}$ $C_ {D}$ зависит от числа Рейнольдса ; если жидкость представляет собой газ, $CD {\ displaystyle C_ {D}}$ $C_ {D}$ зависит как от числа Рейнольдса, так и от числа Маха.

. Уравнение приписывается лорду Рэлей, который первоначально использовал L вместо A (где L было линейным размером).

Контрольная область A обычно определяется как область ортогональной проекции объект на плоскости, перпендикулярной направлению движения. Для неполых объектов простой формы, таких как сфера, это точно так же, как площадь поперечного сечения . Для других объектов (например, катящейся трубы или тела велосипедиста) A может быть значительно больше, чем площадь любого поперечного сечения вдоль любой плоскости, перпендикулярной направлению движения. Профили используют квадрат длины хорды в качестве эталонной площади; поскольку хорды аэродинамического профиля обычно определяются длиной 1, эталонная площадь также равна 1. В самолетах используется площадь крыла (или зона лопастей несущего винта) в качестве эталонной площади, что позволяет легко сравнить с подъемной силой. Дирижабли и тела вращения используют объемный коэффициент сопротивления, в котором эталонная площадь является квадратом кубического корня из объема дирижабля. Иногда для одного и того же объекта задаются разные контрольные области, и в этом случае необходимо указать коэффициент сопротивления, соответствующий каждой из этих различных областей.

Для остроугольных обтекаемых тел, таких как квадратные цилиндры и пластины, удерживаемые поперек направления потока, это уравнение применимо с коэффициентом сопротивления как постоянным значением, когда число Рейнольдса больше 1000. Для гладких тел, таких как круглый цилиндр, коэффициент лобового сопротивления может значительно изменяться, пока числа Рейнольдса не достигают 10 (десяти миллионов).

Содержание

1 Обсуждение
2 Связь с динамическим давление
3 Вывод
4 Экспериментальные методы
5 См. также
6 Примечания
7 Ссылки

Обсуждение

Уравнение легче понять для идеализированной ситуации, когда все жидкость падает на эталонную область и полностью останавливается, создавая давление торможения по всей площади. Ни один реальный объект не соответствует такому поведению. C D - отношение сопротивления любого реального объекта к сопротивлению идеального объекта. На практике грубое необтекаемое тело (обрывистое тело) будет иметь C D около 1, более или менее. Более гладкие объекты могут иметь гораздо более низкие значения C D. Уравнение является точным - оно просто обеспечивает определение коэффициента сопротивления C D( ), который изменяется в зависимости от числа Рейнольдса и определяется экспериментально.

Особое значение имеет зависимость $u 2 {\ displaystyle u ^ {2}}$ $u ^ {2}$ от скорости потока, что означает, что сопротивление жидкости увеличивается пропорционально квадрату скорости потока. Когда, например, скорость потока увеличивается вдвое, жидкость ударяется не только с удвоенной скоростью потока, но и с удвоенной массой ударов жидкости в секунду. Следовательно, изменение импульса в секунду умножается на четыре. Сила эквивалентна изменению количества движения, деленному на время. Это отличается от трения твердое тело о твердое тело , которое обычно имеет очень слабую зависимость от скорости потока.

Связь с динамическим давлением

Сила сопротивления также может быть указана как,

$FD ∝ P d A {\ displaystyle F_ {D} \ propto P_ {d} A}$ ${\ displaystyle F_ {D} \ propto P_ {d} A}$

где P d - давление, оказываемое флюидом на область A. Здесь давление P d упоминается как динамическое давление из-за кинетической энергии жидкости, испытывающей относительная скорость потока u. Это определяется в форме, аналогичной уравнению кинетической энергии:

$P d = 1 2 ρ u 2 {\ displaystyle P_ {d} = {\ frac {1} {2}} \ rho u ^ {2}}$ ${\ displaystyle P_ {d} = {\ frac {1} {2}} \ rho u ^ {2}}$

Вывод

Уравнение сопротивления может быть выведено с точностью до мультипликативной константы методом размерного анализа. Если движущаяся жидкость встречает объект, она оказывает на объект силу. Предположим, что жидкость является жидкостью, и участвующие переменные - при некоторых условиях - это:

скорость u,
плотность жидкости ρ,
кинематическая вязкость ν жидкости,
размер тела, выраженный в терминах его фронтальной площади A, и
сила сопротивления F D.

Используя алгоритм π-теоремы Бакингема, эти пять переменных можно свести к двум безразмерным группам:

В качестве альтернативы безразмерные группы посредством прямого управления переменными.

Это становится очевидным, когда сила сопротивления F D выражается как часть функции других переменных в задаче:

fa (FD, u, A, ρ, ν) знак равно 0. {\ Displaystyle F_ {a} (F_ {D}, \, u, \, A, \, \ rho, \, \ nu) \, = \, 0. \,}

f_ {a} (F_ {D}, \, u, \, A, \, \ rho, \, \ nu) \, = \, 0. \,

Эта довольно странная форма выражения используется потому, что не предполагает однозначного отношения. Здесь f a - некоторая (пока неизвестная) функция, которая принимает пять аргументов. Теперь правая часть равна нулю в любой системе единиц; поэтому должна быть возможность выразить взаимосвязь, описываемую f a, в терминах только безразмерных групп.

Существует много способов объединения пяти аргументов f a для образования безразмерных групп, но π-теорема Бакингема утверждает, что таких групп будет две. Наиболее подходящим является число Рейнольдса, задаваемое формулой

R e = u A ν {\ displaystyle \ mathrm {Re} \, = \, {\ frac {u \, {\ sqrt {A}}} {\ nu }}}

{\ mathrm {Re} } \, = \, {\ frac {u \, {\ sqrt {A}}} {\ nu}}

и коэффициент лобового сопротивления, определяемый как

CD = FD 1 2 ρ A u 2. {\ displaystyle C_ {D} \, = \, {\ frac {F_ {D}} {{\ frac {1} {2}} \, \ rho \, A \, u ^ {2}}}.}

C_ {D} \, = \, {\ frac {F_ {D}} {{\ frac 12} \, \ rho \, A \, u ^ {2}}}.

Таким образом, функция пяти переменных может быть заменена другой функцией только двух переменных:

fb (FD 1 2 ρ A u 2, u A ν) = 0. {\ displaystyle f_ {b} \ left ( {\ frac {F_ {D}} {{\ frac {1} {2}} \, \ rho \, A \, u ^ {2}}}, \, {\ frac {u \, {\ sqrt { A}}} {\ nu}} \ right) \, = \, 0.}

{\ displaystyle f_ {b} \ left ({\ frac {F_ {D}} {{\ frac {1}) {2}} \, \ rho \, A \, u ^ {2}}}, \, {\ frac {u \, {\ sqrt {A}}} {\ nu}} \ right) \, = \, 0.}

где f b - некоторая функция двух аргументов. Исходный закон затем сводится к закону, включающему только эти два числа.

Поскольку единственное неизвестное в приведенном выше уравнении - это сила сопротивления F D, ее можно выразить как

FD 1 2 ρ A u 2 = fc (u A ν) {\ displaystyle {\ frac {F_ {D}} {{\ frac {1} {2}} \, \ rho \, A \, u ^ {2}}} \, = \, f_ {c} \ left ({\ frac {u \, {\ sqrt {A}}} {\ nu}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {F_ {D}} {{\ frac {1} {2}} \, \ rho \, A \, u ^ {2}}} \, = \, f_ {c} \ left ({\ frac {u \, {\ sqrt {A}}} {\ nu}} \ right)}

или

FD = 1 2 ρ A u 2 fc (R e), {\ displaystyle F_ {D} \, = \, {\ tfrac {1} {2}} \, \ rho \, A \, u ^ {2} \, f_ {c} (R_ {e}), \,}

F_ {D} \, = \, {\ tfrac 12} \, \ rho \, A \, u ^ {2} \, f_ {c} (R_ {e}), \,

и с

CD = fc (R e). {\ displaystyle C_ {D} \, = \, f_ {c} (R_ {e}).}

C_ {D} \, = \, f_ {c} (R_ {e}).

Таким образом, сила равна ½ ρ A u умноженной на некоторую (пока неизвестную) функцию f c числа Рейнольдса R e - значительно более простая система, чем исходная функция с пятью аргументами, данная выше.

Анализ размеров, таким образом, делает очень сложную задачу (попытка определить поведение функции пяти переменных) намного более простой: определение сопротивления как функции только одной переменной, числа Рейнольдса.

Если текучая среда является газом, определенные свойства газа влияют на сопротивление, и эти свойства также должны быть приняты во внимание. Эти свойства обычно считаются абсолютной температурой газа и отношением его удельной теплоты. Эти два свойства определяют скорость звука в газе при данной температуре. Теорема Бэкингема «Пи» затем приводит к третьей безразмерной группе - отношению относительной скорости к скорости звука, которое известно как число Маха. Следовательно, когда тело движется относительно газа, коэффициент сопротивления изменяется в зависимости от числа Маха и числа Рейнольдса.

Анализ также дает бесплатно, так сказать, другую информацию. Анализ показывает, что при прочих равных сила сопротивления будет пропорциональна плотности жидкости. Такая информация часто оказывается чрезвычайно ценной, особенно на ранних стадиях исследовательского проекта.

Экспериментальные методы

Для эмпирического определения зависимости числа Рейнольдса вместо экспериментов на большом теле с быстро текущими жидкостями (такими как самолеты реальных размеров в аэродинамических трубах ), с таким же успехом можно поэкспериментировать с небольшой моделью в потоке с более высокой скоростью, потому что эти две системы обеспечивают подобие, имея одинаковое число Рейнольдса. Если то же самое число Рейнольдса и число Маха не могут быть достигнуты простым использованием потока с более высокой скоростью, может быть выгодным использовать жидкость большей плотности или меньшей вязкости.

См. Также

Примечания

Список литературы

Бэтчелор, ГК (1967). Введение в динамику жидкости. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66396-2.
Хантли, Х. Э. (1967). Размерный анализ. Дувр. LOC 67-17978.