Теорема Букингема π

редактировать
Ключевая теорема в размерном анализе

В инженерии, прикладной математике и физике π Букингема Теорема является ключевой теоремой в анализе измерений. Это формализация метода размерного анализа Рэлея. В общих чертах теорема утверждает, что если существует физически значимое уравнение, включающее определенное число n физических переменных, то исходное уравнение можно переписать в терминах набора безразмерных параметров p = n - k π 1, π 2,..., π p, построенные из исходных переменных. (Здесь k - количество задействованных физических измерений; оно получается как ранг конкретной матрицы.)

Теорема предоставляет метод для вычисления наборов безразмерные параметры из заданных переменных или обезразмеривание, даже если форма уравнения еще неизвестна.

Теорема Бэкингема π указывает, что законность физики не зависит от конкретной системы единиц. Утверждение этой теоремы состоит в том, что любой физический закон может быть выражен как тождество, включающее только безразмерные комбинации (отношения или произведения) переменных, связанных законом (например, давление и объем связаны между собой Закон Бойля - они обратно пропорциональны). Если бы значения безразмерных комбинаций менялись вместе с системами единиц, то уравнение не было бы тождественным, и теорема Бэкингема не выполнялась.

Содержание

  • 1 История
  • 2 Заявление
  • 3 Значимость
  • 4 Доказательство
    • 4.1 Краткое содержание
    • 4.2 Формальное доказательство
  • 5 Примеры
    • 5.1 Скорость
    • 5.2 простой маятник
    • 5.3 Охлаждение напитка кубиками льда
    • 5.4 Другие примеры
  • 6 См. также
  • 7 Ссылки
    • 7.1 Примечания
    • 7.2 Описание
    • 7.3 Первоисточники
  • 8 Внешние ссылки

История

Хотя названа в честь Эдгара Бэкингема, π-теорема была впервые доказана французским математиком Жозефом Бертраном в 1878 году. Бертран рассматривал только частные случаи задач. от электродинамики и теплопроводности, но его статья содержит в различных терминах все основные идеи современного доказательства теоремы и ясно указывает на полезность теоремы для моделирования физических явлений. Техника использования теоремы («метод размерностей») стала широко известна благодаря работам Рэлея. Первое применение π-теоремы в общем случае к зависимости падения давления в трубе от управляющих параметров, вероятно, относится к 1892 году, эвристическое доказательство с использованием разложения в ряд - к 1894 году.

Формальное обобщение Теорема π для случая произвольного числа величин была дана сначала А. Ващи в 1892 г., затем в 1911 г. - по-видимому, независимо - как А. Федерманом, так и Д. Рябушинский, а в 1914 году - Букингем. Именно в статье Бэкингема было введено использование символа «π i » для безразмерных переменных (или параметров), что и является источником названия теоремы.

Утверждение

Более формально количество безразмерных членов, которые могут быть сформированы, p, равно нулевой размерной матрицы , и k - это ранг. Для экспериментальных целей различные системы, которые имеют одинаковое описание в терминах этих безразмерных чисел, эквивалентны.

С математической точки зрения, если у нас есть физически значимое уравнение, такое как

f (q 1, q 2,…, qn) = 0, {\ displaystyle f (q_ {1}, q_ {2 }, \ ldots, q_ {n}) = 0,}{\ displaystyle f (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n}) = 0,}

где q i - это n независимых физических переменных, и они выражены в терминах k независимых физических единиц, тогда приведенное выше уравнение можно переформулировать как

F (π 1, π 2,…, π p) = 0, {\ displaystyle F (\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {p }) = 0,}{\ displaystyle F (\ pi _ { 1}, \ pi _ {2}, \ ldots, \ pi _ {p}) = 0,}

где π i - безразмерные параметры, построенные из q i с помощью p = n - k безразмерных уравнений - так называемых групп Pi - форма

π я = q 1 a 1 q 2 a 2 ⋯ qnan, {\ displaystyle \ pi _ {i} = q_ {1} ^ {a_ {1}} \, q_ {2} ^ {a_ { 2}} \ cdots q_ {n} ^ {a_ {n}},}{\ displaystyle \ pi _ {i} = q_ {1} ^ {a_ {1}} \, q_ {2} ^ {a_ {2}} \ cdots q_ {n} ^ {a_ {n }},}

где показатели a i являются рациональными числами (их всегда можно принять за целые числа, переопределив π i как возведенное в степень, очищающую все знаменатели).

Значение

Теорема Бакингема π обеспечивает метод вычисления наборов безразмерных параметров из заданных переменных, даже если форма уравнения остается неизвестной. Однако выбор безразмерных параметров не уникален; Теорема Бэкингема предоставляет только способ создания наборов безразмерных параметров и не указывает наиболее «физически значимые».

Две системы, у которых эти параметры совпадают, называются подобными (как и в случае подобных треугольников, они отличаются только масштабом); они эквивалентны для целей уравнения, и экспериментатор, желающий определить форму уравнения, может выбрать наиболее удобный. Наиболее важно то, что теорема Бэкингема описывает связь между числом переменных и фундаментальными измерениями.

Доказательство

Схема

Предполагается, что пространство основных и производных физических единиц образует векторное пространство над рациональными числами., с фундаментальными единицами в качестве базисных векторов и с умножением физических единиц в качестве операции «сложения векторов» и возведением в степень в качестве операции «скалярного умножения»: представить размерную переменную как набор показателей, необходимых для основные единицы (со степенью нуля, если конкретная основная единица отсутствует). Например, стандартная сила тяжести g имеет единицы D / T 2 = D 1 T - 2 {\ displaystyle D / T ^ {2} = D ^ {1} T ^ {- 2 }}{\ displaystyle D / T ^ {2} = D ^ {1} T ^ {- 2}} (квадрат расстояния во времени), поэтому он представлен как вектор (1, - 2) {\ displaystyle (1, -2)}(1, -2) относительно основа фундаментальных единиц (расстояние, время).

Обеспечение соответствия физических единиц в наборах физических уравнений может затем рассматриваться как наложение линейных ограничений в векторном пространстве физических единиц.

Формальное доказательство

Дана система из n размерных переменных (с физическими размерами) в k фундаментальных (базовых) измерениях, запишите размерную матрицу M, строки которой являются фундаментальными измерениями, а столбцы - размерности переменных: (i, j) -я запись - это степень i-го фундаментального измерения в j-й переменной. Матрицу можно интерпретировать как комбинацию размеров переменных величин и выдачу размеров этого продукта в основных измерениях. Итак,

M [a 1 ⋮ an] {\ displaystyle M {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\\ vdots \\ a_ {n} \ end {bmatrix}}}M \ begin {bmatrix} a_1 \\ \ vdots \\ a_n \ end {bmatrix}

- это единицы измерения

q 1 a 1 q 2 a 2 ⋯ qnan. {\ displaystyle q_ {1} ^ {a_ {1}} \, q_ {2} ^ {a_ {2}} \ cdots q_ {n} ^ {a_ {n}}.}{\ displaystyle q_ {1} ^ {a_ {1}} \, q_ {2} ^ {a_ {2}} \ cdots q_ {n} ^ {a_ {n}}.}

Безразмерная переменная - это величина с фундаментальными размерностями, возведенными в нулевую степень (нулевой вектор векторного пространства по фундаментальным измерениям), что эквивалентно ядру этой матрицы.

По теореме ранг – недействительность, система из n векторов (столбцов матрицы) в k линейно независимых измерениях (ранг матрицы - это количество фундаментальных измерений) оставляет недействительность, p, удовлетворяющее (p = n - k), где нулевое значение - это количество посторонних измерений, которые могут быть выбраны безразмерными.

Безразмерные переменные всегда можно принять как целочисленные комбинации размерных переменных (посредством очистки знаменателей ). Математически не существует естественного выбора безразмерных переменных; некоторые варианты безразмерных переменных имеют более физический смысл, и именно они используются в идеале.

Международная система единиц определяет k = 7 базовых единиц: ампер, кельвин, секунда, метр, килограмм, кандела и моль. Иногда полезно вводить дополнительные базовые единицы и методы для уточнения техники анализа размеров (см. ориентационный анализ и ссылки)

Примеры

Скорость

Этот пример прост, но служит для демонстрации процедуры.

Предположим, автомобиль движется со скоростью 100 км / ч; сколько времени нужно, чтобы проехать 200 км?

В этом вопросе рассматриваются три размерных переменных: расстояние d, время t и скорость v, и мы ищем некий закон вида t = Продолжительность (v, d). Эти переменные допускают основу из двух измерений: измерения времени T и измерения расстояния D. Таким образом, имеется 3 - 2 = 1 безразмерная величина.

Размерная матрица

M = [1 0 1 0 1 - 1]. {\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} 1 0 \; \; \; 1 \\ 0 1 -1 \ end {bmatrix}}.}{\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} 1 0 \; \; \; 1 \\ 0 1 -1 \ end {bmatrix}}.}

в котором строки соответствуют базовым размерам D и T, а столбцов к рассматриваемым размерам D, T и V, где последний означает размерность скорости. Элементы матрицы соответствуют степеням, до которых должны быть увеличены соответствующие размеры. Например, в третьем столбце (1, −1) указано, что V = DTV, представленный вектором-столбцом v = [0, 0, 1] {\ displaystyle \ mathbf {v} = [0,0, 1]}{\ displaystyle \ mathbf {v} = [0,0,1]} , выражается в терминах основных размеров как V = D 1 T - 1 = D / T {\ displaystyle V = D ^ {1} T ^ {- 1} = D / T}{\ displaystyle V = D ^ {1 } T ^ {- 1} = D / T} , поскольку M v = [1, - 1] {\ displaystyle M \ mathbf {v} = [1, -1]}{ \ Displaystyle M \ mathbf {v} = [1, -1]} .

Для безразмерной константы π = D a 1 T a 2 V a 3 {\ displaystyle \ pi = D ^ {a_ {1}} T ^ {a_ {2}} V ^ {a_ {3}}}\ pi = D ^ {a_1} T ^ {a_2} V ^ {a_3} , мы ищем векторы a = [a 1, a 2, a 3] {\ displaystyle \ mathbf {a} = [a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}]}{\ displaystyle \ mathbf {a} = [a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}]} таким образом, что произведение матрица-вектор M a равно нулевому вектору [0,0]. В линейной алгебре набор векторов с этим свойством известен как ядро ​​ (или пустое пространство) (линейное отображение, представленное) размерной матрицы. В этом частном случае его ядро ​​одномерно. Размерная матрица, как написано выше, находится в сокращенной форме эшелона строк, поэтому можно считать ненулевой вектор ядра с точностью до мультипликативной константы:

a = [- 1 1 1]. {\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ begin {bmatrix} -1 \\\; \; \; 1 \\\; \; \; 1 \\\ end {bmatrix}}.}{\ displaystyle \ mathbf {a} = { \ begin {bmatrix} -1 \\\; \; \; 1 \\\; \; \; 1 \\\ end {bmatrix}}.}

Если размерная матрица еще не была сокращена, можно было выполнить исключение Гаусса – Жордана на размерной матрице, чтобы упростить определение ядра. Отсюда следует, что безразмерная константа, заменяющая размеры соответствующими размерными переменными, может быть записана:

π = d - 1 t 1 v 1 = t v / d. {\ displaystyle \ pi = d ^ {- 1} t ^ {1} v ^ {1} = tv / d.}{\ displaystyle \ pi = d ^ {- 1} t ^ {1} v ^ {1} = tv / d.}

Поскольку ядро ​​определено только с точностью до мультипликативной константы, указанная выше безразмерная константа возведена в любое произвольная мощность дает другую (эквивалентную) безразмерную постоянную.

Анализ размеров, таким образом, предоставил общее уравнение, связывающее три физические переменные:

f (π) = 0, {\ displaystyle f (\ pi) = 0,}{\ displaystyle f (\ pi) = 0,}

или, допуская C {\ displaystyle C}Cобозначает ноль функции f {\ displaystyle f}f ,

π = C, {\ displaystyle \ pi = C,}{\ displaystyle \ pi = C,}

, который можно записать как

t = C dv, {\ displaystyle t = C {\ frac {d} {v}},}{\ displaystyle t = C {\ frac {d} {v}},}

Фактическая связь между тремя переменными просто d = vt {\ displaystyle d = vt}{\ displaystyle d = vt} . Другими словами, в этом случае f {\ displaystyle f}f имеет один физически релевантный корень, и это единица. Тот факт, что подойдет только одно значение C и что оно равно 1, не выявляется методом анализа размеров.

Pendel PT.svg

Простой маятник

Мы хотим определить период T малых колебаний простого маятника. Предполагается, что это функция длины L, массы M и ускорения свободного падения на поверхности Земли g, размер которой равен длине, разделенной на квадрат времени. Модель имеет вид

f (T, M, L, g) = 0. {\ displaystyle f (T, M, L, g) = 0.}{\ displaystyle f (T, M, L, g) = 0.}

(Обратите внимание, что он записывается как отношение, а не как функция: T здесь не записывается как функция от M, L и g.)

В этом уравнении есть 3 основных физических измерения: время t {\ displaystyle t }t , масса м {\ displaystyle m}m и длина ℓ {\ displaystyle \ ell}\ ell , а также 4-мерные переменные, T, M, L и g. Таким образом, нам нужно только 4–3 = 1 безразмерный параметр, обозначенный π, и модель можно перевыразить как

f (π) = 0, {\ displaystyle f (\ pi) = 0,}{\ displaystyle f (\ pi) = 0,}

где π задается как

π = T a 1 M a 2 L a 3 ga 4 {\ displaystyle \ pi = T ^ {a_ {1}} M ^ {a_ {2}} L ^ {a_ {3}} g ^ {a_ {4}}}{\ displaystyle \ pi = T ^ {a_ {1} } M ^ {a_ {2}} L ^ {a_ {3}} g ^ {a_ {4}}}

для некоторых значений a 1,..., a 4.

Размерности размерных величин:

T = t, M = m, L = ℓ, g = ℓ / t 2. {\ displaystyle T = t, M = m, L = \ ell, g = \ ell / t ^ {2}.}{\ displaystyle T = t, M = m, L = \ ell, g = \ ell /t^{2}.}

Размерная матрица:

M = [1 0 0 - 2 0 1 0 0 0 0 1 1]. {\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 -2 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 1 \ end {bmatrix}}.}{\displaystyle M = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 -2 \\ 0 1 0 0 \\ 0 0 1 1 \ end {bmatrix}}.}

(Строки соответствуют размерам t, m {\ displaystyle t, m }{\ displaystyle t, m} и ℓ {\ displaystyle \ ell}\ ell , а столбцы - к размерным переменным T, M, L и g. Например, 4-й столбец, (- 2, 0, 1), говорится, что переменная g имеет размеры t - 2 m 0 ℓ 1 {\ displaystyle t ^ {- 2} m ^ {0} \ ell ^ {1}}t ^ {- 2} m ^ 0 \ ell ^ 1 .)

Мы ищем вектор ядра a = [a 1, a 2, a 3, a 4 ] так, что матричное произведение M на a дает нулевой вектор [0,0,0]. Размерная матрица, как написано выше, имеет вид сокращенного эшелона строк, поэтому можно считать вектор ядра в пределах мультипликативной константы:

a = [2 0 - 1 1]. {\ displaystyle a = {\ begin {bmatrix} 2 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \ end {bmatrix}}.}a = \ begin {bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \ end {bmatrix}.

Если бы он еще не был сокращен, можно было бы выполнить исключение Гаусса – Жордана на размерной матрице, чтобы упростить определение ядра. Отсюда следует, что безразмерную константу можно записать:

π = T 2 M 0 L - 1 g 1 = g T 2 / L. {\ displaystyle {\ begin {align} \ pi = T ^ {2} M ^ {0} L ^ {- 1} g ^ {1} \\ = gT ^ {2} / L \ end {align} }.}{\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ pi = T ^ {2} M ^ {0} L ^ {- 1} g ^ {1} \\ = gT ^ {2} / L \ end {align}}.}

В основных терминах:

π = (t) 2 (m) 0 (ℓ) - 1 (ℓ / t 2) 1 = 1, {\ displaystyle \ pi = (t) ^ {2 } (m) ^ {0} (\ ell) ^ {- 1} (\ ell / t ^ {2}) ^ {1} = 1,}{\ displaystyle \ pi = (t) ^ {2} (м) ^ {0} (\ ell) ^ {- 1} (\ ell / t ^ {2}) ^ {1} = 1,}

безразмерный. Поскольку ядро ​​определяется только с точностью до мультипликативной константы, если вышеупомянутая безразмерная константа возводится в любую произвольную степень, это даст другую эквивалентную безразмерную константу.

Этот пример прост, потому что три размерные величины являются фундаментальными единицами, поэтому последняя (g) представляет собой комбинацию предыдущих. Обратите внимание, что если бы 2 было ненулевым, не было бы возможности отменить значение M; поэтому 2 должен быть равен нулю. Анализ размеров позволил нам сделать вывод, что период маятника не является функцией его массы. (В трехмерном пространстве степеней массы, времени и расстояния мы можем сказать, что вектор для массы линейно независим от векторов для трех других переменных. С точностью до коэффициента масштабирования g → + 2 T → - L → {\ displaystyle {\ vec {g}} + 2 {\ vec {T}} - {\ vec {L}}}{\ displaystyle {\ vec {g}} + 2 {\ vec {T}} - {\ vec {L}}} - единственный нетривиальный способ построить вектор безразмерного параметра.)

Теперь модель можно выразить как:

f (g T 2 / L) = 0. {\ displaystyle f (gT ^ {2} / L) = 0.}{\ displaystyle f (gT ^ {2} / L) = 0.}

Предполагая, что нули f дискретны, мы можем сказать gT / L = C n, где C n - n-й ноль функции f. Если есть только один ноль, то gT / L = C. Требуется больше физического понимания или эксперимента, чтобы показать, что действительно существует только один ноль и что константа на самом деле задается C = 4π.

Для больших колебаний маятника анализ усложняется дополнительным безразмерным параметром - максимальным углом поворота. Приведенный выше анализ является хорошим приближением, так как угол приближается к нулю.

Охлаждение напитка кубиками льда

Напитки, охлажденные с помощью маленьких кубиков льда, охлаждаются быстрее, чем напитки, охлажденные с такой же массой больших кубиков льда. Обычное объяснение этого явления состоит в том, что кубики меньшего размера имеют большую площадь поверхности при одинаковом общем объеме, и эта большая площадь вызывает большую теплопроводность и, следовательно, более быстрое охлаждение. Если бы это объяснение было правильным, то это означало бы, что скорость охлаждения должна быть пропорциональна 1 / L 2 {\ displaystyle 1 / L ^ {2}}{\ displaystyle 1 / L ^ {2}} , где L { \ displaystyle L}L - длина краев куба, поэтому время, за которое напиток остынет, должно быть пропорционально L 2 {\ displaystyle L ^ {2}}L ^ {2} (L { \ displaystyle L}L меньше для меньших кубов). Действительно, это результат анализа размерностей.

Важными размерными величинами являются шкала длины кубов L {\ displaystyle L}L (размер ℓ {\ displaystyle \ ell}\ ell ), время T {\ displaystyle T}T (измерение t {\ displaystyle t}t ), температура Θ {\ displaystyle \ Theta}\ Theta (размер θ {\ displaystyle \ theta}\ theta ), теплопроводность κ {\ displaystyle \ kappa}\ каппа (размеры ℓ 1 t - 3 θ - 1 m 1 {\ displaystyle \ ell ^ {1} t ^ {- 3} \ theta ^ {- 1} m ^ {1}}{\ displaystyle \ ell ^ {1} t ^ {- 3} \ theta ^ {- 1} m ^ {1}} ), и объемное тепло емкость s {\ displaystyle s}s (размеры ℓ - 1 t - 2 θ - 1 м 1 {\ displaystyle \ ell ^ {- 1} t ^ {- 2} \ theta ^ {- 1} м ^ {1}}{\ displaystyle \ ell ^ {- 1} t ^ {- 2} \ theta ^ {- 1} m ^ { 1}} ). Размерная матрица:

M = [1 0 0 1 - 1 0 1 0 - 3 - 2 0 0 1 - 1 - 1 0 0 0 1 1]. {\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 1 -1 \\ 0 1 0 -3 -2 \\ 0 0 1 -1 -1 \\ 0 0 0 0 1 1 \ end {bmatrix}}.}{\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 1 -1 \\ 0 1 0 -3 -2 \\ 0 0 1 -1 -1 \\ 0 0 0 1 1 \ end {bmatrix}}.} Нулевое пространство M является одномерным, а ядро ​​натянуто на вектор a = [2 - 1 0 - 1 1]. {\ displaystyle a = {\ begin {bmatrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \ end {bmatrix}}.}{\ displaystyle a = {\ begin {bmatrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \\ - 1 \\ 1 \ end {bmatrix}}.} и, следовательно, π = L 2 T - 1 κ - 1 s 1 {\ displaystyle \ pi = L ^ {2} T ^ {- 1} \ kappa ^ {- 1} s ^ {1}}{\ displaystyle \ pi = L ^ {2} T ^ {- 1} \ kappa ^ {- 1} s ^ {1}} . (Обратите внимание, что температура Θ {\ displaystyle \ Theta}\ Theta не фигурирует в безразмерной группе.) Следовательно, время охлаждения напитка определяется неявной функцией f (L 2 T - 1 κ - 1 s 1) = 0 {\ displaystyle f (L ^ {2} T ^ {- 1} \ kappa ^ {- 1} s ^ {1}) = 0}{\ displaystyle f (L ^ {2} T ^ {- 1} \ kappa ^ { -1} s ^ {1}) = 0} то есть когда аргумент функции L 2 T - 1 κ - 1 s 1 {\ displaystyle L ^ {2} T ^ {- 1} \ kappa ^ {- 1} s ^ {1}}{\ displaystyle L ^ {2} T ^ {- 1} \ kappa ^ {- 1} s ^ {1}} - некоторая константа c. Следовательно, время охлаждения напитка составляет T = c L 2 κ - 1 с 1 {\ displaystyle T = cL ^ {2} \ kappa ^ {- 1} s ^ {1}}{\ displaystyle T = cL ^ {2} \ kappa ^ {- 1} s ^ {1}} , так что время охлаждения пропорционально масштабу длины кубика льда в квадрате, а не только масштабу длины.

Другие примеры

Простой пример анализа размеров можно найти для случая механики тонкого, твердого и параллельного вращающегося диска. Здесь задействованы пять переменных, которые сводятся к двум безразмерным группам. Взаимосвязь между ними может быть определена численным экспериментом с использованием, например, метода конечных элементов.

Теорема также использовалась не только в физике, но и в спорте.

См. Также

Ссылки

Примечания

  1. ^Bertrand, J. (1878). "Sur l'homogénéité dans les formules de Physique". Comptes Rendus. 86 (15): 916–920.
  2. ^При применении пи-теоремы возникает произвольная функция безразмерных чисел.
  3. ^Рэлей (1892). «К вопросу об устойчивости течения жидкостей». Философский журнал. 34 (206): 59–70. doi : 10.1080 / 14786449208620167.
  4. ^Стратт, Джон Уильям (1896 г.). Теория звука. Том II (2-е изд.). Макмиллан.
  5. ^Цитаты из статьи Ваши с его формулировкой теоремы о пи можно найти в: Macagno, E.O. (1971). «Историко-критический обзор анализа измерений». Журнал Института Франклина. 292 (6): 391–402. doi : 10.1016 / 0016-0032 (71) 90160-8.
  6. ^Федерман, А. (1911). "О некоторых общих методах обращения с частными производными первого порядка". Известия Санкт-Петербургского политехнического института императора Петра Великого. Отдел техники, естествознания и математики. 16 (1): 97–155. (Федерман А., О некоторых общих методах интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, Известия Санкт-Петербургского политехнического института. Раздел техники, естествознания и математики)
  7. ^Рябушинский Д. (1911). «Метод нулевого измерения переменных и его применение в аэродинамике». L'Aérophile: 407–408.
  8. ^Buckingham 1914.
  9. ^Schlick, R.; Ле Сержан, Т. (2006). «Проверка моделей SCADE на правильное использование физических единиц». Компьютерная безопасность, надежность и безопасность. Конспект лекций по информатике. Берлин: Springer. 4166 : 358–371. doi : 10.1007 / 11875567_27. ISBN 978-3-540-45762-6.
  10. ^Рамзи, Ангус. «Анализ размеров и численные эксперименты для вращающегося диска». Ramsay Maunder Associates. Проверено 15 апреля 2017 г.
  11. ^Блондо Дж. (2020). «Влияние размера поля, размера ворот и количества игроков на среднее количество голов за игру в вариантах футбола и хоккея: применение теоремы Пи к командным видам спорта». Журнал количественного анализа в спорте. doi : 10.1515 / jqas-2020-0009.

Exposition

Первоисточники

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-13 03:47:14
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте